關于圓中常用輔助線的添加

俞光清

中圖分類號：G633 文獻標志碼：A 文章編號：2095-9214（2015）10-0037-01

圓的知識是初中數(shù)學中的重點內(nèi)容之一，是中考?？純?nèi)容之一，在中考中關于圓的問題，很多需要添加輔助線幫助解題，下面是關于圓中輔助線的添加的一些小結(jié)。

一、 遇到弦時，作圓心到弦的距離

遇到關于弦的問題時，常作圓心到弦的距離，再利用圓心角、弦心距、弦、垂經(jīng)定理等相關的知識進行解決問題

例1 如圖1，MN是⊙O的直徑，AO⊥MN交⊙O于A點，弦AC與MN相交于點D。

求證：AD·AC=2AO2。

分析：要證明AD·AC=2AO2，即證明AD·AB =AO2，過O點作OB⊥AC于B，由垂經(jīng)定理可知 AB=BC，只需證明AD·AB =AO2，要證明AD·AB =AO2只需證明Rt△AOB∽Rt△ADO。然后根據(jù)對應邊的比率關系就可以得出結(jié)果。

二、遇到有直徑時，作直徑所對的圓周角

在解決有關直徑的問題時，常常作直徑所對的圓周角，以利用直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)。

例2 如圖2所示，在△MAN中，∠AMN=90°，以AM上一點O為圓心，以OA為半徑的圓分別與NA、MA相交于點C、B兩點.（1）求證：CA·NA=BA·MA；（2）若CM與⊙O相切，B是MO的中點，當NM為3時，求NA的長度。

分析：（1）要證AN·AC=AM·AB，只需要證明△AMN∽△ACB，而∠M=90°，所以需要△ACB中有個直角，而AB是圓O的直徑，所以連結(jié)BC可得∠BCA=90°。然后根據(jù)對應邊的比率關系就可以得出結(jié)果。（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊中點到直角頂點的距離等于斜邊的一半，可以知道△CBO為等邊三角形，然后根據(jù)共弧圓周角與圓心角的關系可得出∠A=30°，從而得出結(jié)果。

三、連結(jié)半徑

半徑是圓的重要組成部分，圓中的許多知識如：“同圓的半徑相等”以及“過切點的半徑垂直過該切點的切線”等都與圓的半徑有關，利用半徑是常用的添加輔助線方法之一。

例3 如圖3所示，△ACD中，∠CAD=90°，B是AC上一點，以AB為直徑的圓與DC相切于M點，MC=2，BC=1，求MD的長。

分析：M為切點，連結(jié)OM，則∠OMC=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)，有DM=DA，MO=BO=半徑r，在Rt△CMO中根據(jù)勾股定理或Rt△AMO∽Rt△CAD，即可求出DM。

四、連結(jié)公共弦

在遇到有關相交圓的問題時，做公共弦有著極大的意義，所以“遇到相交圓，連接公共弦”。

例4 如圖4所示，⊙O1與⊙O2相交于點M、N，O2O1的延長線與⊙O1相交于B點，MB、NB的延長線和⊙O2分別交于點C和點D，求證：ND=MC。

分析：⊙O1和⊙O2是相交的兩圓，由連心線與公共弦的關系可知BO2為角平分線，然后利用全等三角形可得出BM=BN和BC=BD，從而得出結(jié)果。

五、作圓心連接線

兩圓相交時，圓心連接線垂直平分兩圓的公共弦；兩圓相切時，圓心連接線一定經(jīng)過切點。通過作兩圓的圓心連接線，可以將公共弦、兩圓半徑、圓心距之間的關系緊密聯(lián)系。因此兩圓相交時，圓心連接線也是常用添加輔助線的方法之一。

例5 如圖5所示：⊙ O1與⊙ O2相切于點M，⊙ O1的半徑為r，⊙O2的半徑為3r， AB是⊙O1和⊙O2的公共切線，A和B分別是兩圓的切點，求：（1）切線AB的長度； （2）切線AB與弧MA弧、MB所構(gòu)成陰影部分的面積。

分析：（1）連結(jié)O1O2、O1A、O2B，由題意可知O1 N=AB，然后利用兩圓半徑關系和勾股定律可得出結(jié)果；（2） 陰影部分面積為梯形面積減去倆弧形面積。

圖1 圖2 圖3 圖4

圖5 圖6 圖7 圖8

六、作公共切線

分析：兩圓相切時，過公共切點有一條公共切線，該公切線在在兩圓之中有著橋梁的作用，在例6中作公切線MN，可以緊密聯(lián)系兩圓，所以，兩圓相切時，過切點作公共切線是常用添加輔助線的方法。

例6 如圖6所示，⊙O1與⊙O2外切于點P，MN是⊙O1與⊙O2的公共切線，M、N分別為兩圓切點。求證：MP⊥NP

分析：過切點P作公切線PA交MN于A點，由切線性質(zhì)可知AM=AP=AN，然后三角形內(nèi)角和可知∠MPN= 90 °

七、判定切線有兩種情況：是否與圓相交未知的情況下作垂線；確定與圓相交作半徑，由切線的判定定理：“經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。”可知，要判定一條直線是否是切線，應同時滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線與半徑垂直。因此，證明直線與圓相切時，經(jīng)常要通過作合適的輔助線，才能有效、快速地解決問題，以下是常用輔助線的添加方法。

（一）無交點作垂線。如果條件沒有指出與圓有交點，則聯(lián)系切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂線段的長度與半徑相等。

例7 如圖7，MN是⊙O的直徑，AM⊥MN于M， BN⊥MN于N，若∠AOB= 90°。求證：AB是⊙O的切線。

分析：過圓心O作OD⊥AB，只要證明OD與半徑相等。因為OM是半徑，若能證OD與OM相等即可。而OD和OM分別在△ADO和△AMO中，只需證明△AMO與△ADO全等，取AB的中點C，連結(jié)OC可知OC∥AM，∠AOB為直角可知CO=CA，再聯(lián)系平行線的性質(zhì)可得到AO為角平分線，可證明ADO≌△AMO。

（二）園上有點連接圓心。當直線與圓相交時時，聯(lián)系切線的判定定理，只要連接交點和圓心，再判定直線與半徑是否垂直。

例8 如圖8，以MN為直徑做⊙O，BN與⊙O相切， N是切點，OB與弦MA平行，求證：BA與⊙O相切。

分析：A是⊙O上的點，有點連接圓心，連接AO，只需證明OA⊥AB。由平行線的性質(zhì)可推理出∠BOA=∠AOB，從而得出△AOB≌△NOB。

（作者單位：江西省鄱陽縣凰崗鎮(zhèn)太陽學校）endprint