基于射影定理分層控制的次同步阻尼控制器設(shè)計(jì)

李 寬，李興源，李保宏，陳 實(shí)

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065）

0 引言

高壓直流輸電HVDC（High Voltage Direct Current）作為一種大電網(wǎng)互聯(lián)的有效手段，在國(guó)內(nèi)外都得到了廣泛發(fā)展[1]。HVDC可以解決大容量、高壓電、遠(yuǎn)距離輸電問(wèn)題，有效減小了電能損耗。但直流輸電整流站定電流控制的等間隔脈沖觸發(fā)方式有可能對(duì)鄰近大型火電機(jī)組引入負(fù)阻尼，進(jìn)而有可能引起發(fā)電機(jī)軸系的次同步振蕩SSO（SubSynchronous Oscillation）現(xiàn)象，從而對(duì)發(fā)電機(jī)組以及電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行造成影響[2-3]。

SSO的發(fā)生有可能造成發(fā)電機(jī)組軸系斷裂、電網(wǎng)失穩(wěn)等情況，因此對(duì)次同步阻尼控制器的研究有重要意義。抑制SSO的手段有很多種，可通過(guò)附加勵(lì)磁系統(tǒng)阻尼控制SEDC（Supplementary Excitation Damping Controller）[4-5]、FACTS 裝置[6-9]等方法抑制，此外，隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的不斷提高，也可以通過(guò)一些智能算法設(shè)計(jì)阻尼控制器抑制SSO，并取得了不錯(cuò)的控制效果[10-11]。當(dāng)直流引起SSO時(shí)，附加次同步阻尼控制器SSDC（Supplementary SubSynchronous Damping Controller）[12-13]作為一種經(jīng)濟(jì)有效的方法而被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[14]提出利用Prony辨識(shí)得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后進(jìn)行設(shè)計(jì)SSDC，但Prony存在定階困難的缺點(diǎn)，得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)階數(shù)較高，不利于實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[15]提出利用系統(tǒng)傳遞函數(shù)Bode圖設(shè)計(jì)SSDC，但未給出詳細(xì)的控制結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[16]提出基于TLS-ESPRIT辨識(shí)出SSO的振蕩頻率和阻尼信息，然后基于辨識(shí)結(jié)果得到振蕩模態(tài)的相位補(bǔ)償量，設(shè)計(jì)出SEDC。國(guó)內(nèi)外大部分文獻(xiàn)主要是集中在基于數(shù)學(xué)算法、SSO發(fā)生機(jī)理進(jìn)行相位補(bǔ)償?shù)确椒ㄔO(shè)計(jì)SSDC，從系統(tǒng)狀態(tài)方程角度設(shè)計(jì)SSDC的研究較少。

根據(jù)發(fā)電機(jī)軸系剛體系數(shù)、軸系扭轉(zhuǎn)系數(shù)及軸系慣性時(shí)間常數(shù)等參數(shù)，可直接得到發(fā)電機(jī)軸系的固有扭振頻率（fc）[2]。 本文從系統(tǒng)狀態(tài)方程角度出發(fā)，提出基于射影定理[17]進(jìn)行降階處理來(lái)設(shè)計(jì)SSDC。首先利用TLS-ESPRIT算法[16]得到每個(gè)fc下的系統(tǒng)線性模型，然后通過(guò)射影定理保留閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模態(tài)，將狀態(tài)反饋轉(zhuǎn)換為輸出反饋，最后得到每個(gè)fc降階處理后的控制器傳遞函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)每個(gè)振蕩模態(tài)分層控制。

本文以某電網(wǎng)直流系統(tǒng)作為實(shí)例仿真模型，先通過(guò)TLS-ESPRIT算法求得每個(gè)fc下的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，然后基于射影定理分別針對(duì)每個(gè)fc求得SSDC的傳遞函數(shù)，最后將設(shè)計(jì)的SSDC加入到直流整流側(cè)的定電流控制器上。以PSCAD／EMTDC作為實(shí)例仿真軟件，仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的控制器可有效抑制直流輸電引起的SSO。

1 基本原理

1.1 射影控制

射影控制是保留參考系統(tǒng)主導(dǎo)特征根的條件下，將狀態(tài)反饋控制器映射為低階靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的輸出反饋控制器。當(dāng)設(shè)計(jì)的射影控制器的階數(shù)多時(shí)，更多的參考系統(tǒng)特征根將被保留下來(lái)，更能反映參考系統(tǒng)的實(shí)際信息，這使得射影控制器的設(shè)計(jì)更為靈活，但控制器階數(shù)過(guò)高不利于實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)。

在SSDC的設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于發(fā)電機(jī)組軸系的固有扭振頻率可以通過(guò)計(jì)算得到，故而基于射影控制設(shè)計(jì)的控制器直接保留固有模態(tài)下的特征根即可，即針對(duì)振蕩模態(tài)的阻尼比為負(fù)或較小的特征根設(shè)計(jì)控制器。

被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程可用式（1）表示：

其中，x為狀態(tài)向量；y為輸出向量；u為控制向量；A為狀態(tài)矩陣；B為控制矩陣；C為輸出矩陣。

系統(tǒng)狀態(tài)反饋可表示為：

其中，K為狀態(tài)反饋增益矩陣。加入狀態(tài)反饋后可得閉環(huán)系統(tǒng)：

將式（3）表示的系統(tǒng)進(jìn)行特征根分解得到：

其中，Λ為特征根三角陣；X為特征向量構(gòu)成的矩陣。

令基于射影定理得到的SSDC的狀態(tài)方程為：

其中，z 為 SSDC 的狀態(tài)向量；Au、Bu和 Cu分別為SSDC的狀態(tài)矩陣、控制矩陣和輸出矩陣。

聯(lián)立式（1）和（5）得：

式（6）可表示為被控系統(tǒng)式（1）基于射影控制式（5）得到的閉環(huán)反饋系統(tǒng)。式（6）可簡(jiǎn)化為：

對(duì)A′進(jìn)行特征根分解得：

其中，W′為引入的特征向量；Λ′為式（4）求得的主導(dǎo)特征根保留值；X′為所保留主導(dǎo)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量。即存在：

式（8）中，由于引入狀態(tài)反饋形成閉環(huán)系統(tǒng)導(dǎo)致系統(tǒng)階數(shù)增加。

由式（8）知：

由式（10）可推得：

定義 P＝W′－1Bu，則有：

鑒于Λ′為式（4）求得的主導(dǎo)特征根保留值，則由式（8）聯(lián)立式（9）亦可推得：

即可求得：

由式（12）、（13）、（15）知，只要求得狀態(tài)反饋增益矩陣K，即可求得SSDC的狀態(tài)矩陣、控制矩陣和輸出矩陣，進(jìn)而得到SSDC的傳遞函數(shù)。

由于W′表示引入的特征向量，可能為任何矩陣，故而可直接取W′為單位矩陣。但考慮引入的特征向量后，系統(tǒng)的輸出向量y除了包含參考系統(tǒng)的變量，還包含加入反饋后增加的變量。由文獻(xiàn)[17]知，矩陣P為一個(gè)可調(diào)的自由參數(shù)對(duì)稱矩陣，因而可以通過(guò)矩陣P的選擇降低引入特征向量對(duì)原系統(tǒng)的影響。

1.2 直接代入法求狀態(tài)反饋增益

由于SSDC的設(shè)計(jì)是針對(duì)每個(gè)軸系固有扭振頻率分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器實(shí)現(xiàn)分層控制，故而每個(gè)控制器只針對(duì)1對(duì)或2對(duì)保留共軛特征根，因此可以用直接代入法[18]求得狀態(tài)反饋增益矩陣K。

假設(shè)控制器階數(shù)為4階，可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫(xiě)為：

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)式（3）所期望的特征根的位置分別為 s=μ1、s=μ2、s=μ3、s=μ4，將 K 代入閉環(huán)系統(tǒng)式（3）可得：

由式（17）知該方程兩端均為s的多項(xiàng)式，故而可通過(guò)其兩端的s同次冪系數(shù)相當(dāng)來(lái)確定k1、k2、k3和k4，進(jìn)而可求得狀態(tài)反饋增益矩陣K。

1.3 控制器設(shè)計(jì)

首先取得待研究發(fā)電機(jī)端轉(zhuǎn)速，經(jīng)過(guò)4階巴特沃斯濾波器得到相應(yīng)的固有扭振頻率，然后基于射影控制設(shè)計(jì)SSDC的傳遞函數(shù)G（s），最終將針對(duì)每個(gè)振蕩模態(tài)所設(shè)計(jì)的SSDC輸出疊加后，加入到直流整流側(cè)的主控制器上，控制框圖如圖1所示。其中，k為附加控制器增益；Δω為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速偏差；I和Iord分別為直流電流的測(cè)量值和整定值；α為整流側(cè)觸發(fā)角。

圖1 SSDC結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of SSDC

2 仿真算例

在PSCAD／EMTDC仿真軟件中搭建某電網(wǎng)直流輸電系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，此直流輸電系統(tǒng)額定電流為3 kA，雙極運(yùn)行額定傳輸功率為3000 MW。當(dāng)此系統(tǒng)在孤島情況下降壓70%運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生擾動(dòng)會(huì)引發(fā)整流側(cè)發(fā)電機(jī)組的SSO。拓?fù)鋱D如圖2所示，其中發(fā)電廠A機(jī)組軸系參數(shù)如下：高壓缸（HP）、中壓缸（IP）、低壓缸（LP）、發(fā)電機(jī)（GEN）的慣性常數(shù)分別為0.2125、1.5965、1.7125、0.731；HP-IP、IP-LP、LP-GEN的彈性系數(shù)分別為12544、16500、22161，轉(zhuǎn)矩力矩分別為 0.53 p.u.、0.235 p.u.、0.235 p.u.。

圖2 孤島系統(tǒng)Fig.2 Islanded system

經(jīng)計(jì)算得知該發(fā)電機(jī)系統(tǒng)存在13.38Hz、24.44 Hz和29.97 Hz3個(gè)振蕩模態(tài)。在直流整流側(cè)主控制器上施加幅值為10%的階躍，再分別通過(guò)TLS-ESPRIT算法辨識(shí)出這3個(gè)振蕩模態(tài)頻率作為控制器輸入時(shí)，所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

根據(jù)辨識(shí)出的每個(gè)扭振模態(tài)下的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，選擇期望特征值后，利用直接代入法求得相應(yīng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：

根據(jù)式（21）得到的狀態(tài)反饋增益矩陣，基于射影控制原理求出每層控制器傳遞函數(shù)為：

最后將所求的每層SSDC疊加后加入到整流側(cè)的主控制器上。

2.1 未加SSDC

在2s時(shí)在整流側(cè)換流母線上施加三相接地短路故障，故障持續(xù)時(shí)間為0.02 s。系統(tǒng)未加入SSDC的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速時(shí)域仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 未加SSDC的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速Fig.3 Speed of generator without SSDC

由圖3知，在系統(tǒng)發(fā)生擾動(dòng)后，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速發(fā)生振蕩且為放大趨勢(shì)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生次同步放大現(xiàn)象。發(fā)電機(jī)軸系各缸體間的轉(zhuǎn)矩（標(biāo)幺值）如圖4所示。

圖4 未加SSDC的扭振轉(zhuǎn)矩圖Fig.4 Torsional vibration torques of generator without SSDC

由圖4知，發(fā)電機(jī)的4個(gè)模塊間有3個(gè)扭振模態(tài)，每個(gè)扭振模態(tài)都是呈發(fā)散狀態(tài)。采用TLS-ESPRIT算法同樣可以辨識(shí)出每個(gè)振蕩模態(tài)的詳細(xì)參數(shù)，辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

表1 未加SSDC的TLS-ESPRIT辨識(shí)結(jié)果Table 1 Mode parameters identified by TLS-ESPRIT without SSDC

由表1知，直流系統(tǒng)存在3個(gè)振蕩模態(tài)，模態(tài)1和模態(tài)2為負(fù)阻尼，容易造成SSO發(fā)散，模態(tài)3為弱阻尼，當(dāng)發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)速發(fā)生波動(dòng)時(shí)，這個(gè)頻率的模態(tài)衰減較為緩慢，不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.2 加SSDC

根據(jù)式（22）—（24）基于射影控制設(shè)計(jì)的SSDC傳遞函數(shù)，加入到直流整流側(cè)主控制器，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速的時(shí)域仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 加入SSDC的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速Fig.5 Speed of generator with SSDC

由圖5知，加入SSDC以后，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速波動(dòng)很快平穩(wěn)，說(shuō)明設(shè)計(jì)的SSDC有效。發(fā)電機(jī)軸系各缸體間的轉(zhuǎn)矩（標(biāo)幺值）如圖6所示。

圖6 加入SSDC的扭振轉(zhuǎn)矩圖Fig.6 Torsional vibration torques of generator with SSDC

由圖6知，在加入SSDC以后，發(fā)電機(jī)各模塊之間的扭振轉(zhuǎn)矩可實(shí)現(xiàn)快速平穩(wěn)。由圖4和圖6的對(duì)比分析，充分說(shuō)明所設(shè)計(jì)SSDC的有效性，且控制器階數(shù)較低，利于實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)。

采用TLS-ESPRIT算法同樣可以辨識(shí)出每個(gè)振蕩模態(tài)的詳細(xì)參數(shù)，辨識(shí)結(jié)果如表2所示。

表2 加入SSDC的TLS-ESPRIT辨識(shí)結(jié)果Table 2 Mode parameters identified by TLS-ESPRIT with SSDC

將表2與表1對(duì)比分析知，加入SSDC以后，各個(gè)模態(tài)的阻尼比均有大幅度的提高。

3 結(jié)論

提出利用射影定理可將原系統(tǒng)的主導(dǎo)特征根保留并映射到低階反饋控制器上的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)SSDC。首先利用TLS-ESPRIT算法得到每個(gè)固有扭振模態(tài)下的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，然后選擇保留特征根基于射影控制設(shè)計(jì)出每個(gè)扭振模態(tài)的控制器傳遞函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)各模態(tài)的分層控制。

根據(jù)某電網(wǎng)直流系統(tǒng)的實(shí)例仿真模型，得到3個(gè)振蕩模態(tài)所對(duì)應(yīng)的控制器傳遞函數(shù)，經(jīng)計(jì)算知所設(shè)計(jì)的控制器階數(shù)較低，有利于實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)。且仿真結(jié)果表明，加入SSDC后，發(fā)電機(jī)軸系的振蕩可快速平穩(wěn)，系統(tǒng)阻尼比有很大提高，表明所設(shè)計(jì)控制器的有效性。