基于預(yù)測函數(shù)與線性多變量反饋控制的同步發(fā)電機(jī)勵(lì)磁控制

肖健梅，張 科，王錫淮

（上海海事大學(xué) 電氣自動(dòng)化系，上海 201306）

0 引言

同步發(fā)電機(jī)勵(lì)磁控制系統(tǒng)是電力系統(tǒng)的重要組成部分，其控制性能的好壞直接影響電力系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性和穩(wěn)定性[1]。目前對(duì)勵(lì)磁系統(tǒng)所用的控制方法通常還是運(yùn)用常規(guī)PID算法進(jìn)行控制。隨著電力系統(tǒng)的規(guī)模越來越大，常規(guī)PID控制已不能滿足系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)運(yùn)行性能要求。近幾年，魯棒控制、迭代學(xué)習(xí)控制，預(yù)測控制、自適應(yīng)控制等新型勵(lì)磁控制方法得到了廣泛的研究[2-7]。

本文首先對(duì)預(yù)測函數(shù)控制（PFC）算法進(jìn)行研究分析，將PFC應(yīng)用到勵(lì)磁系統(tǒng)的機(jī)端電壓控制中，設(shè)計(jì)出一種PFC勵(lì)磁控制器；并設(shè)計(jì)了一種線性多變量勵(lì)磁控制器，能有效地控制發(fā)電機(jī)有功功率、發(fā)電機(jī)功角以及轉(zhuǎn)子角速度，但是對(duì)機(jī)端電壓的控制不太理想。因此，將2種控制方法并行對(duì)勵(lì)磁系統(tǒng)進(jìn)行控制。改進(jìn)后的PFC和線性多變量并行的勵(lì)磁控制器能在保證電力系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)穩(wěn)定發(fā)電機(jī)端電壓。最后，通過仿真驗(yàn)證了其有效性。

1 同步發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文采用單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)模型來研究發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁控制問題。其模型如圖1所示。圖中，G為發(fā)電機(jī)；Ut為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓；xT為變壓器電抗；xL為線路電抗；Us為無窮大母線電壓。

圖1 單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)模型Fig.1 Model of single-machine infinite-bus power system

圖1所示的發(fā)電機(jī)勵(lì)磁控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用式（1）來表示[5，8]：

其中，δ為發(fā)電機(jī)功角；ω為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度；ω0為發(fā)電機(jī)穩(wěn)態(tài)角速度；H為機(jī)械轉(zhuǎn)子慣量；Eq′為q軸暫態(tài)電勢；D為阻尼系數(shù)；xd和xd′分別為發(fā)電機(jī)d軸同步電抗和瞬變電抗；Td0為發(fā)電機(jī)定子開路時(shí)勵(lì)磁繞組的時(shí)間常數(shù)；T′d為發(fā)電機(jī)定子閉路時(shí)勵(lì)磁繞組時(shí)間常數(shù)；xd∑=xd+xT+xL；x′d∑=xd′+xT+xL；Uf為勵(lì)磁控制輸出電壓；Pm為發(fā)電機(jī)的機(jī)械功率；Pe為發(fā)電機(jī)電磁有功功率。

2 線性多變量勵(lì)磁控制器設(shè)計(jì)

式（1）中，發(fā)電機(jī)電磁有功功率Pe的表達(dá)式為：

其中，xq為發(fā)電機(jī) q 軸同步電抗；xq∑=xq+xT+xL。

若忽略瞬變的凸極效應(yīng)，則 xd′=xq，Pe可表示為：

把式（1）的發(fā)電機(jī)三階狀態(tài)方程用矩陣形式表示為：

其中，u為系統(tǒng)的控制量輸入。

為了保證發(fā)電機(jī)外部的動(dòng)態(tài)品質(zhì)和發(fā)電機(jī)功角的穩(wěn)定，也為了能更容易地實(shí)現(xiàn)控制，把第1個(gè)坐標(biāo)變換方程寫為：

經(jīng)過李導(dǎo)數(shù)的分析計(jì)算可得：

因此在發(fā)電機(jī)運(yùn)行范圍內(nèi)h（x）對(duì)系統(tǒng)的關(guān)系度為3，所以原三階系統(tǒng)可以通過三階反饋線性化來實(shí)現(xiàn)。

由微分幾何理論，可以得出第2及第3個(gè)坐標(biāo)方程式為：

結(jié)合這3個(gè)坐標(biāo)變換方程得到了z=Φ（x）的坐標(biāo)變換，接著檢驗(yàn)此變換是否為同胚變換。首先計(jì)算Φ（x）的雅可比矩陣，即：

根據(jù)現(xiàn)代控制理論可得式（10）的最優(yōu)線性控制規(guī)律，即：

其中，k1、k2、k3為最優(yōu)反饋增益系數(shù)。

將式（10）和（11）表示為矩陣形式：

選擇李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)[2-3]為：

其中，P為正定實(shí)對(duì)稱矩陣，那么V（z）也是正定的。

若要保證系統(tǒng)能在原點(diǎn)漸近進(jìn)入穩(wěn)定，可以通過參數(shù) k1、k2、k3的選擇使得 Q＞0。

通過式（11）可更進(jìn)一步得到：

其中，kδ、kω、kP為最優(yōu)反饋增益系數(shù)。

3 PFC勵(lì)磁控制器設(shè)計(jì)

預(yù)測控制算法與經(jīng)典控制算法的不同在于其不依賴于精確的模型作為參考，還可以同現(xiàn)代控制的最優(yōu)方法進(jìn)行結(jié)合，目前在工業(yè)過程控制中也取得了非常良好的控制效果。但是其也存在著一些自身的不足，例如對(duì)實(shí)時(shí)性要求較低的系統(tǒng)的控制效果較好，但是對(duì)實(shí)時(shí)性要求高的系統(tǒng)的控制卻不盡如人意，且存在算法過于復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間過長等問題。因此，提出了一種改進(jìn)的預(yù)測控制方法，即PFC算法[9-16]。PFC相比于傳統(tǒng)的預(yù)測控制擁有算法簡便、計(jì)算量不大、跟蹤迅速且精度高等優(yōu)點(diǎn)。

3.1 PFC算法

由于PFC屬于預(yù)測控制的一種，因此它也具有預(yù)測控制的3個(gè)基本特征（預(yù)測模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正）。不同的是PFC中引入了基函數(shù)這個(gè)重要的概念。在PFC中，新加入的未來控制作用被表示為若干已知函數(shù) fj（i）（j=1，2，…，nB）的線性組合，即：

其中，μ（k+i）為在 k+i時(shí)刻的控制量；nB為基函數(shù)的個(gè)數(shù)；fj（i）為第 j個(gè)基函數(shù)在 t=iT時(shí)刻的值，T為采樣周期；μj（n）為基函數(shù)的線性組合系數(shù)。

PFC的參考軌跡可以取多種形式，對(duì)于一個(gè)漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，通常采用一階指數(shù)形式：

2.4.8儲(chǔ)存將每次滅菌的天麻放入儲(chǔ)藏室，溫度控制在18～22攝氏度，放置約10天，觀察其變化情況，若無漲袋，雜菌，方能入庫裝袋，裝箱。

其中，yr（k+i）為 k+i時(shí)刻的參考軌跡值；c（k+i）為k+i時(shí)刻的設(shè)定值；yp（k）為k時(shí)刻的模型預(yù)測輸出；β為衰減系數(shù)，一般取），T為參考軌跡r的期望閉環(huán)響應(yīng)時(shí)間。

目前PFC的預(yù)測模型常采用離散狀態(tài)空間模型。預(yù)測模型狀態(tài)空間表達(dá)式可寫為：

其中，Xm為預(yù)測模型的狀態(tài)向量；ym為預(yù)測模型的輸出；Gm、Hm、Cm為預(yù)測模型狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣。

將式（19）推導(dǎo)可得：

如果基函數(shù)已經(jīng)確定，可以通過式（21）來離線算出 gkj（k）：

對(duì)于線性系統(tǒng)，經(jīng)過誤差補(bǔ)償后的預(yù)測輸出可表示為：

其中，ej（k）為過程與模型的預(yù)測誤差，它是由k時(shí)刻的誤差和一個(gè)修正誤差組成，這個(gè)過程稱為自補(bǔ)償；ns為誤差補(bǔ)償?shù)碾A數(shù)。

其中，nH為擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)，它應(yīng)該大于或等于 nB；hi（i=1，2，…，nH）為選定的擬合點(diǎn)。

其中，系數(shù) k0、km可在離線下先計(jì)算出來；c（k）、y（k）為已知函數(shù)。所以，在PFC中需要在線計(jì)算的只有模型狀態(tài)值 Xm（k）和控制量 u（k），預(yù)測函數(shù)的計(jì)算相對(duì)其他控制而言簡化了很多。

PFC的原理圖如圖2所示，圖中d為擾動(dòng)。

圖2 預(yù)測函數(shù)控制的原理圖Fig.2 Schematic diagram of predictive function control

3.2 預(yù)測模型的建立

預(yù)測模型是PFC非常重要的部分，只有選定好預(yù)測模型才能實(shí)現(xiàn)PFC。PFC算法是在傳統(tǒng)的預(yù)測控制算法上改進(jìn)得到的，所以它也具備預(yù)測控制算法的特點(diǎn)，即被控對(duì)象并不需要其精確的數(shù)學(xué)模型。在預(yù)測模型失配的情況下，PFC仍然可以很好地進(jìn)行控制。這就為許多數(shù)學(xué)模型不易獲得的大型系統(tǒng)或者數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)提供了一種簡便且有效的控制方法。

勵(lì)磁系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，因此要獲得被控量和狀態(tài)變量之間的傳遞函數(shù)是十分困難的。先對(duì)一個(gè)具體的非線性勵(lì)磁系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，得到系統(tǒng)的近似線性傳遞函數(shù)；然后將得到的傳遞函數(shù)作為預(yù)測模型來設(shè)計(jì)一種PFC勵(lì)磁控制器。

根據(jù)式（1）所表示的單機(jī)無窮大系統(tǒng)的狀態(tài)方程，在MATLAB／Simulink中用S-函數(shù)編寫一個(gè)非線性勵(lì)磁系統(tǒng)，其中系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)取值如下：同步發(fā)電機(jī)參數(shù)[13]，H=12.922 s，D=0.15 p.u.，Us=1.0 p.u.，Td0=6.55 s，xd=0.8258 p.u.，xd′=0.1045 p.u.；線路及變壓器參數(shù)，xT=0.029 2 p.u.，xL=0.026 6 p.u.；系統(tǒng)平衡點(diǎn)的參數(shù)，δ0=0.743 9 rad，ω0=314.16 rad／s，E′q0=0.9361 p.u.，Ut0=1.0253 p.u.，Uf0=1.838 p.u.。

在狀態(tài)方程（1）中，勵(lì)磁繞組電壓Uf為被控量，要控制的是輸出量機(jī)端電壓Ut，所以需要獲得Ut和Uf之間的傳遞函數(shù)。

基于最小二乘法，在MATLAB仿真環(huán)境下，將上述勵(lì)磁系統(tǒng)模型的輸入輸出數(shù)據(jù)導(dǎo)入工具箱中提供交互式的圖形界面工具，能方便地實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的預(yù)處理、模型類型的選擇、參數(shù)的估計(jì)以及模型驗(yàn)證和比較等功能。

針對(duì)所建勵(lì)磁系統(tǒng)，對(duì)輸入端加入噪聲測試，并將輸入輸出數(shù)據(jù)都導(dǎo)入系統(tǒng)辨識(shí)工具箱，在工具箱中可以估計(jì)出系統(tǒng)的階數(shù)為三階；然后針對(duì)導(dǎo)入的數(shù)據(jù)采用最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，其中模型采用自回歸各態(tài)經(jīng)歷（ARX）模型。經(jīng)過估算可以得到傳遞函數(shù)為：

3.3 PFC的勵(lì)磁控制器設(shè)計(jì)

通過系統(tǒng)辨識(shí)得到了預(yù)測模型的傳遞函數(shù)，接下來對(duì)所得預(yù)測模型設(shè)計(jì)PFC勵(lì)磁控制器。設(shè)計(jì)步驟如下。

a.由于式（19）的PFC的預(yù)測模型表達(dá)式采用的是離散的狀態(tài)空間模型，因此將式（25）的傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化，取采樣周期T=0.005s。離散化后，所得各項(xiàng)系數(shù)矩陣為：

b.根據(jù)釆樣周期T=0．005s和參考軌跡的期望閉環(huán)響應(yīng)時(shí)間Tr=0．5s，確定參考軌跡的衰減系數(shù)

c.取 3 個(gè)擬合點(diǎn)，分別為 h1=3、h2=5、h3=7。 基函數(shù)采用一個(gè)階躍響應(yīng)，即nB=1。將上述所得參數(shù)Gm、Hm、Cm代入式（21），可得：g1（3）=6.0433×10-4；g1（5）=0.001；g1（7）=0.0014。

d.進(jìn)而離線算出：

e.通過編寫S-函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)測模型的狀態(tài)向量Xm（k）的計(jì)算，因?yàn)槭且粋€(gè)三階模型，所以S-函數(shù)是一個(gè)單輸入三輸出模型。

f.將所得 Xm（k）和所求 k0、km，通過編寫嵌入式MATLAB函數(shù)模塊實(shí)現(xiàn)PFC，其中PFC的控制輸出量 u（k）的計(jì)算式如式（24）所示。

g.將控制輸出量u（k）連接到勵(lì)磁系統(tǒng)的輸入端Uf來對(duì)機(jī)端電壓Ut進(jìn)行PFC，對(duì)其控制規(guī)律用Uf2來表示。

3.4 基于PFC和線性多變量并行的勵(lì)磁控制器設(shè)計(jì)

在式（16）中線性多變量反饋控制能有效地控制發(fā)電機(jī)功角δ、轉(zhuǎn)子角速度ω以及發(fā)電機(jī)電磁有功功率Pe，但對(duì)發(fā)電機(jī)端電壓的控制效果不太理想。

對(duì)此，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的勵(lì)磁控制器，即PFC和線性多變量并行的勵(lì)磁控制器。這種勵(lì)磁控制器在保證發(fā)電機(jī)功角、轉(zhuǎn)子角速度以及電磁有功功率穩(wěn)定的同時(shí)，能對(duì)機(jī)端電壓實(shí)現(xiàn)有效控制。用Uf1表示線性多變量勵(lì)磁控制，用Uf2來表示PFC勵(lì)磁控制，則改進(jìn)后的勵(lì)磁控制器的控制規(guī)律可表示為：

4 仿真研究

對(duì) 3種勵(lì)磁控制器進(jìn)行MATLAB／Simulink仿真實(shí)驗(yàn)。勵(lì)磁系統(tǒng)的仿真模型采用3.2節(jié)中所建立模型，并對(duì)此勵(lì)磁系統(tǒng)設(shè)置三相短路、機(jī)械功率小擾動(dòng)和機(jī)械功率大擾動(dòng)3種故障[8]。觀察當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)突發(fā)故障時(shí)，3種勵(lì)磁控制器對(duì)機(jī)端電壓Ut、發(fā)電機(jī)電磁有功功率Pe、發(fā)電機(jī)功角δ以及轉(zhuǎn)子角速度ω的控制效果。

4.1 三相短路實(shí)驗(yàn)

勵(lì)磁系統(tǒng)0.5s發(fā)生三相短路故障，0.2 s后切除，機(jī)端電壓Ut（標(biāo)幺值）、發(fā)電機(jī)電磁有功功率Pe（標(biāo)幺值）、發(fā)電機(jī)功角δ及轉(zhuǎn)子角速度ω的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖3—6所示（圖中粗實(shí)線表示PFC和線性多變量并行控制，虛線表示線性多變量控制，細(xì)實(shí)線表示PFC；后同）。從圖3中可以很明顯看出，線性多變量控制機(jī)端電壓時(shí)，超調(diào)大，振蕩次數(shù)多且收斂速度慢，對(duì)機(jī)端電壓的控制確實(shí)不理想；PFC和線性多變量并行控制有很大的改善，超調(diào)明顯小于線性多變量控制，振蕩次數(shù)是3種控制中最少的，收斂速度也是最快的，雖然在初階段的超調(diào)稍稍大于PFC，但在振蕩次數(shù)和收斂時(shí)間方面相對(duì)于PFC有著很明顯的改善。從圖4—6中都能明顯看到改進(jìn)后的勵(lì)磁控制器是最好的，PFC是最差的。通過仿真對(duì)比可以明顯看出，PFC對(duì)機(jī)端電壓的控制有著不錯(cuò)的效果，線性多變量控制對(duì)其他3個(gè)參量的控制比較有優(yōu)勢，而改進(jìn)后的PFC和線性多變量并行控制結(jié)合了2種控制方法的優(yōu)點(diǎn)，在穩(wěn)定系統(tǒng)的同時(shí)，也能保證機(jī)端電壓的穩(wěn)定。綜上所述，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生三相短路故障時(shí)，PFC和線性多變量并行勵(lì)磁控制器在勵(lì)磁控制方面最為理想。

圖3 三相短路時(shí)機(jī)端電壓仿真波形Fig.3 Simulative curves of generator terminal voltage for three-phase short circuit

圖4 三相短路時(shí)有功功率仿真波形Fig.4 Simulative curves of active power for three-phase short circuit

圖5 三相短路時(shí)發(fā)電機(jī)功角仿真波形Fig.5 Simulative curves of generator phase angle for three-phase short circuit

圖6 三相短路時(shí)轉(zhuǎn)子角速度仿真波形Fig.6 Simulative curves of angular velocity for three-phase short circuit

4.2 機(jī)械功率小擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

發(fā)電機(jī)機(jī)械功率Pm在t=0.5s時(shí)發(fā)生ΔPm=5%的階躍擾動(dòng)。機(jī)端電壓Ut（標(biāo)幺值）、發(fā)電機(jī)電磁有功功率Pe（標(biāo)幺值）、發(fā)電機(jī)功角 δ及轉(zhuǎn)子角速度ω的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖7—10所示。從圖7可以看到，PFC和線性多變量并行控制在系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械功率小擾動(dòng)時(shí)，對(duì)機(jī)端電壓的控制在超調(diào)方面相對(duì)于線性多變量控制有所改善，在振蕩次數(shù)及收斂時(shí)間方面相比其他2種控制都有很明顯的改善。從圖8—10中可以看到，PFC和線性多變量并行控制在超調(diào)量、振蕩次數(shù)和收斂時(shí)間方面相比其他2種控制都有著很明顯的優(yōu)勢，而在電磁有功功率、發(fā)電機(jī)功角以及轉(zhuǎn)子角速度的控制方面，線性多變量控制相對(duì)于PFC有很大的改善，這也證明了線性多變量控制對(duì)有功功率、發(fā)電機(jī)功角和轉(zhuǎn)子角速度有不錯(cuò)的控制效果。因此，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械功率小擾動(dòng)故障時(shí)，PFC和線性多變量并行的勵(lì)磁控制器也是最有效的。

圖7 機(jī)械功率小擾動(dòng)時(shí)機(jī)端電壓仿真波形Fig.7 Simulative curves of generator terminal voltage for small mechanical power disturbance

圖8 機(jī)械功率小擾動(dòng)時(shí)有功功率仿真波形Fig.8 Simulative curves of active power for small mechanical power disturbance

圖9 機(jī)械功率小擾動(dòng)時(shí)發(fā)電機(jī)功角仿真波形Fig.9 Simulative curves of generator phase angle for small mechanical power disturbance

圖10 機(jī)械功率小擾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子角速度仿真波形Fig.10 Simulative curves of angular velocity for small mechanical power disturbance

4.3 機(jī)械功率大擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

發(fā)電機(jī)機(jī)械功率在t=0.5s發(fā)生20%階躍擾動(dòng)，機(jī)端電壓Ut（標(biāo)幺值）、發(fā)電機(jī)電磁有功功率Pe（標(biāo)幺值）、發(fā)電機(jī)功角δ及轉(zhuǎn)子角速度ω的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖11—14所示。從圖11中可以看到，當(dāng)系統(tǒng)機(jī)械功率發(fā)生大擾動(dòng)故障時(shí)，線性多變量控制對(duì)機(jī)端電壓的控制發(fā)生了偏離，而在PFC和線性多變量并行的勵(lì)磁控制器的控制下，機(jī)端電壓不僅能回到之前的穩(wěn)定狀態(tài)，而且收斂時(shí)間比PFC還要短，且振蕩次數(shù)也有減少。所以，當(dāng)系統(tǒng)面臨大擾動(dòng)時(shí)，PFC和線性多變量并行控制對(duì)勵(lì)磁系統(tǒng)機(jī)端電壓的控制是最為有效的。從圖13中看到，對(duì)于發(fā)電機(jī)功角，線性多變量控制也存在著偏離的現(xiàn)象，而PFC和線性多變量并行控制基本沒有超調(diào)，收斂時(shí)間也大幅減少，并且振蕩也幾乎沒有出現(xiàn)。從圖12和圖14中可以看到，對(duì)于有功功率和轉(zhuǎn)子角速度，PFC和線性多變量并行控制不管是在超調(diào)、振蕩次數(shù)還是收斂時(shí)間方面相對(duì)于PFC都有著非常明顯的改善，且相對(duì)于線性多變量控制也有相對(duì)的改善。綜上所述，PFC和線性多變量并行的勵(lì)磁控制器在勵(lì)磁控制方面確實(shí)有很大的提高。

圖11 機(jī)械功率大擾動(dòng)時(shí)機(jī)端電壓仿真波形Fig.11 Simulative curves of generator terminal voltage for large mechanical power disturbance

圖12 機(jī)械功率大擾動(dòng)時(shí)有功功率仿真波形Fig.12 Simulative curves of active power for large mechanical power disturbance

圖13 機(jī)械功率大擾動(dòng)時(shí)發(fā)電機(jī)功角仿真波形Fig.13 Simulative curves of generator phase angle for large mechanical power disturbance

圖14 機(jī)械功率大擾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子角速度仿真波形Fig.14 Simulative curves of angular velocity for large mechanical power disturbance

5 結(jié)論

本文將PFC應(yīng)用到勵(lì)磁系統(tǒng)的機(jī)端電壓控制中；同時(shí)還提出了一種線性多變量控制，它能很好地控制勵(lì)磁系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)電磁有功功率、發(fā)電機(jī)功角以及轉(zhuǎn)子角速度，但是對(duì)機(jī)端電壓的控制卻不理想，尤其是在系統(tǒng)遭遇大擾動(dòng)時(shí)，甚至發(fā)生了偏離的現(xiàn)象。在此基礎(chǔ)上，本文將PFC和線性多變量控制進(jìn)行結(jié)合，這種并行勵(lì)磁控制器能在保證有功功率、發(fā)電機(jī)功角以及轉(zhuǎn)子角速度穩(wěn)定的情況下有效地控制機(jī)端電壓。