空間曲梁單邊懸索橋的振動舒適性評估及減振設計*

孫利民 楊偉 于軍峰 于 超

1.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室 上海 200092；2.上海現(xiàn)代建筑設計（集團）有限公司 上海 200041；3.上海申迪（集團）有限公司 上海 200041

以上海國際旅游度假區(qū)空間曲梁單邊懸索橋西橋為例，介紹了人致振動舒適性評估過程，并根據(jù)評估結(jié)果進行了基于調(diào)頻質(zhì)量阻尼器（TMD）的減振設計。

1 人行橋人致振動舒適度評估理論

1.1 人行荷載的力學模型

人行激勵振動的特性取決于人行荷載的特殊性。人的行走由連續(xù)的步子形成，具有周期性。這種周期性激勵在豎向和側(cè)向都可以用傅立葉級數(shù)的形式表示，級數(shù)中高階頻率是基頻的整數(shù)倍，但基頻的大小在豎向和側(cè)向不同。豎向振動由人行走時重心的上下起伏對橋面產(chǎn)生的垂直方向上的動力荷載引起。單人行走時，基于步行力的周期性，豎向力和側(cè)向力可用傅立葉級數(shù)的形式表示。

根據(jù)現(xiàn)有的研究結(jié)論，各階諧波的動載因子取值不同，其中豎向力一階諧波動載因子最大，高階諧波動載因子迅速減小，一般只需考慮前三階或四階諧波。如Kajikawa較早建立了αν,1（豎向、側(cè)向動載因子）隨步頻變化的規(guī)律；Rainer[1]等對步行、跑步及跳躍產(chǎn)生的豎向力隨步頻變化的關(guān)系進行了系統(tǒng)的試驗研究，得出各階諧波的動載因子隨步頻變化的規(guī)律。步行豎向力αν1和αν2隨步頻變化較顯著，αν1在2.4Hz時達到最大；而αν3和αν4隨步頻變化不明顯；Allen[2]根據(jù)Rainer的研究成果，在一般步頻范圍內(nèi)對動載因子偏安全取值；Kerr[3]對40個人的步頻介于1～3 Hz的步行力數(shù)據(jù)進行分析，表明αν1隨步頻增大，但高階諧波動載因子的變化非常離散；Ellis[4]在研究大跨度輕質(zhì)樓板的人致振動問題過程中，從試驗樓板的振動位移和加速度響應得出人行激勵，對通常步頻范圍內(nèi)（1.7～2.4 Hz）的各階諧波動載因子作了更仔細的研究，其中αν1與步頻的關(guān)系和Rainer的結(jié)果比較接近。

德國人行橋設計指南[5]規(guī)定，計算人行荷載時，豎向動載因子αν可取0.40，橫向動載因子可取0.05，取行人的標準體重G為700 N，則ανG及αlG分別可取280 N和35 N。另外，考慮到行人步頻接近人行橋振動頻率變化范圍臨界值的概率，須對人行荷載引入折減系數(shù)ψ，最終指南中對步頻為fp的人行荷載定義為：

折減系數(shù)ψ按照步頻的不同取值有所不同，ψ取值如圖1所示。

當人群在橋上行走時，人步行對橋面產(chǎn)生周期性的作用力，一般情況下只引起較小的振動響應，但當步行側(cè)向力的頻率接近人行橋側(cè)振固有頻率時，將引起橋面明顯的可感振動，人與橋之間開始發(fā)生強烈的相互作用過程。

圖1 人行荷載折減系數(shù)ψ

橋梁發(fā)生側(cè)向振動會引起人群中一定比例的行人步行與振動同步，產(chǎn)生更大的共振荷載。行人步行發(fā)生同步與振動頻率有關(guān)，僅當振動頻率接近行人的側(cè)向晃動頻率時，行人才有可能調(diào)整步伐與振動同步，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)人行橋發(fā)生的大幅度側(cè)向振動的頻率都在1.3 Hz以內(nèi)。同時，步行同步的發(fā)生還與振動強度有關(guān)，只有當振動達到影響行人的步行舒適性的程度時，行人才會相應調(diào)整步伐，可見存在一個引發(fā)同步調(diào)步行的所謂最小振幅，小于該振幅時，行人為完全隨機步行。

德國人行橋設計指南指出，人群荷載等效行人數(shù)Ne與橋上人流的密集程度有關(guān)。當人群密度很小時，人群相當于自由行走。然而在高密度人流情況下時，行人行走阻塞，人流向前移動速度減緩而同步調(diào)概率增大，此時的等效行人數(shù)量的計算方法將與小密度人群時不一樣。設計指南中規(guī)定計算公式如式（2）所示：

式中：d——人群密度，人/m2；

ξ——結(jié)構(gòu)的阻尼比；

S——橋面人行面積。

因此步頻為fp的單位面積有效人群荷載可表示為：

1.2 人行橋舒適性評價指標

人行激勵振動帶來的是橋梁的適用性問題，舒適性指標是未引起行人感覺不適的加速度允許值。參考國內(nèi)外的一些規(guī)范中的描述，如英國規(guī)范BSI，其豎向加速度的允許值可表示為由于行人對側(cè)向振動更敏感，側(cè)向加速度的允許值也相對更為嚴格，允許值表示為其中，f為結(jié)構(gòu)振動的頻率。

2 人行橋人致振動分析

2.1 人行橋橋梁概況

上海國際旅游度假區(qū)空間曲梁單邊懸索橋西橋橋梁結(jié)構(gòu)體系主要由內(nèi)、外側(cè)主梁及空間主纜、吊索、背索和索塔組成。內(nèi)、外側(cè)主梁組成橋面系，兩端固結(jié)于橋臺，跨中由懸掛于主纜上的柔性吊索提供豎直向彈性支撐。主纜為空間懸鏈線布置，位于外側(cè)主梁外側(cè)；每個索塔頂部布置1根背索，背索與主跨、邊跨主纜一起，保證成橋時索塔頂部的整體平衡。橋梁的總體布置如圖2所示。

2.2 人行橋自振特性分析

人行橋人致振動與結(jié)構(gòu)的頻率相關(guān)，只有靠近人行荷載步頻的結(jié)構(gòu)模態(tài)才可能會被激起共振，所以需要分析橋梁結(jié)構(gòu)的動力特性。圖3所示為對該橋建立的全橋有限元模型?？紤]結(jié)構(gòu)二期恒載的影響，得到人行橋的頻率、振型如表1及圖4所示。

圖2 人行橋（西橋）總體布置

圖3 全橋有限元模型

表1 成橋狀態(tài)下頻率與振型

圖4 人行橋各階振型示意

2.3 人行振動舒適性評估

根據(jù)動力特性分析的結(jié)果，對該人行橋頻率落入與人行激勵頻率較接近的范圍內(nèi)的振型可按單自由度振動系統(tǒng)簡化分析[6]。振型坐標表示的單自由度運動方程如式（4）所示：

式中：Yn——第n階振型的廣義振型坐標；

Mn——振型質(zhì)量；

Pn——步行振型力。

人行橋人致豎向振動和側(cè)向振動都可采用振型分解后按單自由度系統(tǒng)分析，且一般情況下豎向振動和側(cè)向振動對應不同的振型，因此可分別單獨考慮。對該橋動力特性的分析表明，該橋側(cè)向剛度較大，側(cè)向振動的基頻已超出5 Hz，已超過側(cè)向人行荷載頻率范圍，因此，本文針對該橋人致振動評估將不涉及側(cè)向振動。

在一般的情況下，人群激勵荷載可以取2種工況，一種是正常使用荷載，按照我國《城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范》相關(guān)規(guī)定，天橋與地道的設計通行能力應滿足2 400 人/（h·m），若取行人平均步速為1.50 m/s，則該橋在滿足設計通行能力的正常使用情況下，人群荷載的人群密度可取為0.444人/m2；另外一種工況是最不利荷載，參考國外的相關(guān)研究成果，當人群密度超過1.50人/m2時，行人行走是不可能的，其動力作用將顯著地減小，因此，在計算最不利人群荷載時，可取人群密度為1.50人/m2。計算得到人群隨機荷載作用下的各階振型加速度響應如表2所示。

由表2可見，該橋在2種工況人群諧波荷載作用下所產(chǎn)生的最大共振加速度均超過了規(guī)范規(guī)定的振動加速度限值。當人群密度為0.444人/m2時，豎向振動加速度最大值達到0.8118 m/s2；當人群密度增大至1.50人/m2時，人群共振荷載所產(chǎn)生的最大豎向加速度達到3.4975 m/s2。因此，該橋在正常使用人行荷載作用以及最不利人行荷載作用下，可能會發(fā)生橋面振動過大，行人通行舒適性不佳的情況，所以有必要在設計階段預備減振措施。

表2 單自由度系統(tǒng)最大加速度響應（ξ=0.01）

3 TMD減振設計

3.1 TMD設計理論基礎(chǔ)

TMD（Tuned Mass Damper）系統(tǒng)就是安裝在主結(jié)構(gòu)上的調(diào)頻質(zhì)量阻尼器，屬于結(jié)構(gòu)被動減振控制體系的一類。如圖5所示，它由固體質(zhì)量塊、彈簧減振器和阻尼器組成。通過改變TMD的質(zhì)量或者剛度來調(diào)整其自振頻率，使其盡量接近主結(jié)構(gòu)的激振頻率，當主結(jié)構(gòu)受到激勵而振動時，TMD就會產(chǎn)生一個與結(jié)構(gòu)振動方向相反的慣性力作用在結(jié)構(gòu)上，使主結(jié)構(gòu)的振動反應衰減并受到控制[7]。

圖5 TMD結(jié)構(gòu)示意

對于圖5所示的在作用力P(t)作用下的單自由度結(jié)構(gòu)體，其運動方程如式（5）、式（6）所示：

式中：m、c、k——分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼以及剛度；

md、cd、kd——分別為TMD的質(zhì)量、阻尼以及剛度；

P(t)——外部激勵荷載。

當P(t)為諧波荷載，以主結(jié)構(gòu)最小加速度為優(yōu)化準則，TMD的頻率比和阻尼比優(yōu)化值如式（7）、式（8）所示：

式中：μ——TMD質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比；

ξs——主結(jié)構(gòu)阻尼比；

γopt——TMD優(yōu)化頻率比（TMD頻率/主結(jié)構(gòu)頻率）；

ξopt——TMD優(yōu)化阻尼比。

如果在主結(jié)構(gòu)上安裝TMD，則對于如公式（4）所示由振型坐標表示的單自由度運動方程將會變?yōu)楣剑?）：

式中：Pc(t)和Pk(t)——分別為TMD對主結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的阻尼力和彈簧力。

假設TMD安裝位置為結(jié)構(gòu)i點，i點對應的振型向量值為φni，則TMD運動方程如公式（10）所示：

因此，TMD對主結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的阻尼力和彈簧力公式分別為式（11）、（12）：

若假設Cd=2Mdξdωd，Kd=Mdω2d，Xd(t)=則公式（13）及（14）變?yōu)楣剑?5）、（16）：

當P(t)為諧波荷載，以主結(jié)構(gòu)最小加速度為優(yōu)化準則，TMD的頻率ωopt和阻尼比ξopt優(yōu)化值公式如式（17）、（18）所示：

式中：μ=Md/Mn。

3.2 TMD參數(shù)設計

以最不利人行荷載作用下的橋梁振動舒適性為控制目標，該橋第1階振型頻率ωn=12.587 6 rad/s，振型阻尼比ξn=0.01，因為結(jié)構(gòu)動力特性分析對振型按質(zhì)量歸一化處理，即Mn=1。取TMD與主結(jié)構(gòu)振型質(zhì)量比μ=0.029 5，可以算得，TMD的最優(yōu)頻率ωopt=12.422 7 rad/s，最優(yōu)阻尼比ξopt=0.105 9。最終設計將TMD安裝于主梁跨中，其質(zhì)量塊的質(zhì)量為3 958.2 kg，彈簧剛度為6.108 4×105N/m，阻尼系數(shù)為1.041 8×104N·s/m，跨中截面的TMD安裝示意如圖6所示。

圖6 主橋跨中截面TMD安裝示意

3.3 TMD減振效果仿真

借助MATLAB中的Simulink軟件來模擬TMD減振系統(tǒng)，以獲取由公式（15）和（16）組成的常系數(shù)非線性微分方程組的數(shù)值解。當該橋人行橋面最大豎向及側(cè)向加速度出現(xiàn)在人群共振荷載頻率為2.003 4 Hz時，取主結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ=0.01，人群密度為1.50人/m2，對未安裝以及安裝了TMD系統(tǒng)的橋梁施加相同的人群共振荷載，由Simulink模擬出的人行橋面豎向最大加速度時程如圖7所示。

圖7 人行橋面豎向最大加速度時程

由圖7可知，該橋安裝TMD減振系統(tǒng)之后，人行橋面豎向最大加速度由原來的3.49 m/s2減小到0.44 m/s2，減振效率達到80%，減振效果明顯。

4 結(jié)語

本文通過考慮人橋相互作用的人行荷載模型，綜合國內(nèi)外有關(guān)人行橋設計規(guī)范的規(guī)定，闡述了上海國際旅游度假區(qū)空間曲梁單邊懸索橋西橋人致振動的舒適性評估過程，并結(jié)合實際情況進行了TMD參數(shù)設計。結(jié)果表明，該人行橋在人群密集的情況下，可能會發(fā)生過大的人致振動，在安裝TMD的情況下，可以保證人行橋在正常運營過程中的使用性和舒適性。