關(guān)于確定θ2極小多項(xiàng)式的幾個(gè)定理

胡懷蘭(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331)

關(guān)于確定θ2極小多項(xiàng)式的幾個(gè)定理

胡懷蘭
(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331)

在已有定理的基礎(chǔ)上，巧妙地利用初等數(shù)論的方法，得出在一些特定情況下由θ的極小多項(xiàng)式求得θ2的極小多項(xiàng)式的幾個(gè)相關(guān)定理.這些定理對(duì)于確定域的判別式以及整基有重要作用.

極小多項(xiàng)式;代數(shù)整數(shù);整系數(shù)多項(xiàng)式

1　關(guān)鍵符號(hào)、定義與引理

Z:{自然數(shù)，自然數(shù)的相反數(shù)};Q:有理數(shù)集;Z［x］:系數(shù)屬于Z的多項(xiàng)式組成的集合;Q［x］:系數(shù)屬于Q的多項(xiàng)式組成的集合.

定義1［1］代數(shù)數(shù)α叫做代數(shù)整數(shù)(簡(jiǎn)稱作整數(shù))，如果存在一個(gè)系數(shù)屬于Ζ的首1多項(xiàng)式f(x)，使得f(α)=0.

引理1［2］設(shè)α為代數(shù)數(shù)，f(x)為α在Q上的極小多項(xiàng)式，則α為整數(shù)的充要條件是f(x)∈Z［x］.

引理2［3］如果f(x)是Z［x］中的首1多項(xiàng)式，而g(x)∈Q(x)是f(x)的首1多項(xiàng)式因子，則g(x)∈Z［x］.

2　主要定理與證明

定理1θ為代數(shù)整數(shù)，則θ2也為代數(shù)整數(shù).

證明θ為代數(shù)整數(shù)，設(shè)它在Q上的極小多項(xiàng)式為

則

于是

定理2代數(shù)整數(shù)θ為有理數(shù)，則θ∈Z，θ2∈Z，即θ2的極小多項(xiàng)式就為f(x)=x－θ2.

定理3代數(shù)整數(shù)θ不為有理數(shù)，其在Q上的極小多項(xiàng)式為f(x)=x2+px+q時(shí)，θ2的極小多項(xiàng)式

當(dāng)p=0時(shí)，θ2+q=0，則g(x)=x+q即為θ2在Q上的極小多項(xiàng)式.

假設(shè)g(x)=x2－(p2－2q)x+q2在Q上在可約，即在Q上有根，而其有理根只可能為±1，±q，±q2，帶入發(fā)現(xiàn)都不是解，從而在Q上不可約，即g(x)=x2－(p2－2q)x+q2為θ2在Q上的極小多項(xiàng)式.證畢.

定理4代數(shù)整數(shù)θ的極小多項(xiàng)式為f(x)=xn+kx+l，θ2的極小多項(xiàng)式為

即θ2是整系數(shù)多項(xiàng)式的根，再根據(jù)Eisenstein判別法［1］或者其他有理系數(shù)多項(xiàng)式是否可約判定定理確定其是否可約.若在Q上不可約，即為θ2的極小多項(xiàng)式;若可約，由引理2，θ2的極小多項(xiàng)式h1(x)為的因式.綜上所述且h1( x)∈Z［x］.

即θ2是整系數(shù)多項(xiàng)式的根，若在Q上不可約，即為θ2的極小多項(xiàng)式;若可約，由引理2，θ2的極小多項(xiàng)式h2(x)為的因式.綜上所述且 h2(x)∈Z［x］.證畢.

［1］柯召，孫琦.數(shù)論講義［M］.北京:高等教育出版社，2001

［2］華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引［M］.北京:科學(xué)出版社，1979

［3］張德馨.整數(shù)論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011

Several Theorems on Determining the Minimal Polynomial ofθ2

HU Huai-lan
(School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing)

Based on the existing theorems，in some certain cases，this paper uses the method of elementary number theory to obtain several related theorems of theminimal polynomial ofθ2got from theminimal polynomial of θ.These theorems play an important role to determine the discriminant and integermatrix of domain.

minimal polynomial;algebraic integer;integer coefficient polynomial.

O156.1

A

1672－058X(2015)09－0043－02

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.011

2015－01－07;

2015－02－13.

胡懷蘭(1990-)，女，重慶巫溪人，碩士研究生，從事數(shù)論研究.