由一類抽象函數(shù)定義域的求解問題反思函數(shù)概念的教學(xué)

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摘 要： 本文從研究一類抽象函數(shù)定義域的求解問題出發(fā)，反思在函數(shù)概念教學(xué)過(guò)程中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解和掌握程度，思考函數(shù)概念的教學(xué)方法，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)有實(shí)際意義的圖形或問題幫助學(xué)生理解抽象函數(shù).

關(guān)鍵詞： 抽象函數(shù) 定義域 函數(shù)概念

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的核心概念，它貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，高中的函數(shù)定義又是基于集合論知識(shí)的，由于其定義文字?jǐn)⑹龇绞降膹?qiáng)邏輯性、概念的抽象性和形式化的符號(hào)表示，一直以來(lái)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).

1.問題的產(chǎn)生

在一次練習(xí)中，學(xué)生碰到了如下問題：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，0），則函數(shù)f（2x-1）的定義域?yàn)?？搖？搖 ？搖？搖.

這是一道典型的復(fù)合函數(shù)定義域的求解問題，也是學(xué)生最頭疼，理解上最易混淆的題型.常見的錯(cuò)誤解法為：

f（x）的定義域?yàn)椋?1，0），所以x∈（-1，0），于是2x-1∈（-3，-1），即f（2x-1）的定義域?yàn)椋?3，-1）.

經(jīng)過(guò)老師的耐心講解，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，函數(shù)f（2x-1）的定義域應(yīng)該是求x的取值范圍，而2x-1應(yīng)該滿足f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）.所以正確的解法是2x-1∈（-1，0），解出x∈（0，■），即f（2x-1）的定義域?yàn)椋?，■）.

盡管學(xué)生聽懂了老師的解法，但是似乎理解上依然存在困惑.隨后，為了了解學(xué)生是否真正掌握了該類問題，筆者又給出了該題的變形：

已知函數(shù)f（2x-1）的定義域?yàn)椋?1，0），則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋繐u ？搖？搖？搖.

兩道類型相似的題放在一起，學(xué)生的思維一下子就混亂了，實(shí)在搞不清哪種解法對(duì)應(yīng)哪種題.經(jīng)過(guò)反復(fù)練習(xí)后，還是有很多學(xué)生會(huì)出錯(cuò)，停留在似懂非懂的階段，而即便能給出正確解答的同學(xué)，也說(shuō)不個(gè)所以然來(lái)，只是機(jī)械地記憶解題套路罷了.

通過(guò)對(duì)學(xué)生的調(diào)研，了解學(xué)生對(duì)該問題的思考發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在以下方面不理解：

1.f（x）的定義域指的是的取值范圍，f（2x-1）的定義域也是指x的取值范圍，那這兩個(gè)函數(shù)的定義域到底哪個(gè)是x的取值范圍？

2.一會(huì)兒是x∈（-1，0），一會(huì)兒又是2x-1∈（-1，0），變形題中只是將f（x）換成了f（2x-1），條件的數(shù)值都沒有變，怎么整個(gè)解答過(guò)程就不一樣了？

3.在這類題中，函數(shù)沒有具體的表達(dá)式，只是抽象的表示，這些抽象函數(shù)的實(shí)際意義到底是什么？

2.對(duì)問題的研究

學(xué)生的這些困惑中，我們不難發(fā)現(xiàn)一些問題，一是不少學(xué)生解題都是靠記憶解題方法而不是理解其實(shí)質(zhì)，解題時(shí)重形式而忽略理解.二是不少學(xué)生不理解函數(shù)的定義域是什么，函數(shù)的定義域就是求x的取值范圍這種觀念根深蒂固.

因此，造成學(xué)生困惑的根本原因就是對(duì)函數(shù)概念本身的理解不到位，對(duì)函數(shù)片面不深入的理解導(dǎo)致了學(xué)生認(rèn)識(shí)上的偏差，在解題時(shí)就只能憑借形式化的解題過(guò)程，對(duì)于其中出現(xiàn)的各種變量不能理解其意義.

學(xué)生在初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)定義為：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么，y叫x的函數(shù)，x叫自變量.

這一定義很直觀，學(xué)生容易理解，因?yàn)樗m合初中生的生理和心理特點(diǎn)，但是它對(duì)函數(shù)的本質(zhì)——對(duì)應(yīng)關(guān)系缺乏充分刻畫，未能強(qiáng)調(diào)函數(shù)是x，y雙方變化的總體，而把變量y定義為x的函數(shù)，以至形成一個(gè)學(xué)生中具有普遍性的錯(cuò)誤，認(rèn)為y就是函數(shù).

高中函數(shù)定義是在集合概念基礎(chǔ)上給出的，即當(dāng)A、B為非空數(shù)集時(shí)，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫做定義在集合A上的函數(shù).記作f：A→B，或y=f（x），x∈A.在學(xué)習(xí)了映射后，函數(shù)概念可以敘述為：設(shè)A、B為非空數(shù)集，f是A到B的一個(gè)映射，那么映射f：A→B叫做A到B的函數(shù).這種定義強(qiáng)調(diào)了函數(shù)是A、B、f三者的整體，是一類特殊的映射.顯然此定義接近以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代函數(shù)定義.此定義與初中定義相比，舍去了“變化”這一非本質(zhì)的特征，突出了“對(duì)應(yīng)”的思想，這有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解，促使學(xué)生的思維方式由直觀向抽象轉(zhuǎn)變，對(duì)學(xué)生的思維提出了更高的要求.

這種定義方式采取由傳統(tǒng)定義逐步過(guò)渡到現(xiàn)代定義的編排方式，符合人類認(rèn)識(shí)由低級(jí)到高級(jí)的規(guī)律.然而學(xué)生并不能夠很好地適應(yīng)這樣的定義方式，在理解上常常是片面的.比如，學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)往往固化為f（x），先入為主地認(rèn)為函數(shù)就應(yīng)該是一個(gè)表達(dá)式，x代表定義域，f（x）代表值域.

因此我們不得不反思：學(xué)生在初中所學(xué)習(xí)的是片面的不完整的定義，在教學(xué)時(shí)教師應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)教學(xué)才能讓學(xué)生轉(zhuǎn)變以往根深蒂固的對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，更接近其本質(zhì)？

3.函數(shù)概念教學(xué)的反思

在數(shù)學(xué)歷史上，函數(shù)概念的定義也是不斷發(fā)展的，函數(shù)概念來(lái)源于實(shí)際，應(yīng)用于實(shí)際，并在應(yīng)用中不斷發(fā)現(xiàn)自身的缺陷，使其進(jìn)一步完善，從而促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展又為函數(shù)概念的形式化與嚴(yán)密化提供了良好的條件.將函數(shù)看成是一類映射，更接近函數(shù)的本質(zhì).

在函數(shù)的概念教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)“映射”這一概念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)不是一個(gè)或幾個(gè)表達(dá)式，而是一種“映射”，是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在訓(xùn)練學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解上時(shí)，不應(yīng)該只有表達(dá)式，而是要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)符號(hào)、圖形的解讀能力.

在函數(shù)的概念教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)借助下面的圖形幫助學(xué)生理解函數(shù)概念：

這張圖非常直觀地表現(xiàn)了函數(shù)的形成過(guò)程，各個(gè)符號(hào)的意義：f是建立在兩個(gè)集合之間的函數(shù)，集合A中的每個(gè)元素都在函數(shù)f（x）的定義域中.而對(duì)于f（x）這個(gè)函數(shù)符號(hào)，我們更應(yīng)該把它理解為函數(shù)f作用在元素上x.在真正理解了這張圖的基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步加深函數(shù)的概念：

對(duì)于這張圖的解讀，將檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念真正的理解程度，我們可以設(shè)置以下幾個(gè)問題：

1.這里一共有幾個(gè)函數(shù)？

2.每個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的定義域是哪個(gè)集合？

3.這幾個(gè)集合中的元素是怎樣形成的？

在這張圖中，一共建立了從f：A→B，g：B→C，以及g。f：A→C三個(gè)映射，所以一共可以看成有三個(gè)函數(shù)，而A→C這個(gè)映射由兩個(gè)映射f和g共同組成，這就是復(fù)合函數(shù)g[f（x）].而對(duì)于這三個(gè)映射，箭頭“起始”集合便是所代表函數(shù)的定義域.

如果我們從映射的角度理解文章開頭時(shí)提出的問題，或許更易于理解：

函數(shù)f（2x-1）應(yīng)該看成兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合：g（x）=2x-1與f（x），在這里g（x）與f（x）僅僅是代表兩個(gè)函數(shù)的符號(hào)，我們不能認(rèn)為寫成f（x）就意味著映射f是作用在x上的.在這整個(gè)的變化中，x先由映射g作用變成2x-1，然后2x-1再由f作用變成f（2x-1），函數(shù)f（2x-1）的定義域?qū)?yīng)著集合A，而函數(shù)f（x）的定義域則對(duì)應(yīng)著集合B，而集合B中的元素是集合A中的元素x先由映射g作用變成了2x-1.

通過(guò)這張圖表，我們就可以理順各個(gè)概念間的關(guān)系，在實(shí)際解題中可以幫助學(xué)生快速找到解決問題的方向.以文章開頭的兩道問題為例：

先畫出整個(gè)問題中出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖：

1.若已知條件是f（x）的定義域?yàn)椋?1，0），則映射f的起始集合B為其定義域，所以B中的元素2x-1∈（-1，0），此時(shí)可以反解出集合A中的元素x的范圍是（0，■），即為函數(shù)f（2x-1）的定義域.

2.若f（2x-1）的定義域?yàn)椋?1，0），函數(shù)f（2x-1）的起始集合為A，所以A中的元素x∈（-1，0），此時(shí)可以解出集合B中的元素2x-1的范圍是（-3，-1），即為函數(shù)f（x）的定義域.

4.對(duì)教學(xué)的啟示

筆者采用改進(jìn)后的講解方法對(duì)該類問題向?qū)W生進(jìn)行了解釋，學(xué)生在函數(shù)概念的理解上有了明顯的改進(jìn)，對(duì)于該類抽象函數(shù)定義域的求解問題基本上能夠從容應(yīng)對(duì)了，該問題似乎暫告一段落，但是通過(guò)對(duì)這類問題的研究，對(duì)于教師教學(xué)應(yīng)當(dāng)有更多的啟示：學(xué)生在接受新知識(shí)時(shí)，都要經(jīng)歷一個(gè)從陌生到熟悉的過(guò)程，由于接觸時(shí)間的不足，并不能像老師那樣做到融會(huì)貫通，理解一個(gè)新知識(shí)是需要花時(shí)間的，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生思維的疑惑點(diǎn)出發(fā)，分析學(xué)生在理解上出現(xiàn)的障礙，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)方法.學(xué)生在解題時(shí)，往往采用形式化的記憶，即只是單純地記憶解題步驟，而對(duì)于其來(lái)龍去脈缺少理解，當(dāng)題型出現(xiàn)變化時(shí)，解題就會(huì)出現(xiàn)混淆，對(duì)于抽象程度較高的知識(shí)點(diǎn)，教師可以設(shè)計(jì)一些有實(shí)際意義的圖像幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì).

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