如何在討論數(shù)學(xué)問題中激發(fā)學(xué)生反思

王勝文 郭亞丹

摘 要： 營造自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)習(xí)，是當(dāng)前深化課堂教學(xué)改革所面臨的重要課題.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，自主探索是核心要素之一，在自主探索過程中，需要作必要的反思，反思也是學(xué)生自主探索的必要環(huán)節(jié).激發(fā)學(xué)生反思，培養(yǎng)好的反思習(xí)慣，找到能力增長點(diǎn)和創(chuàng)新的著力點(diǎn).

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 學(xué)生反思 數(shù)學(xué)問題

布魯納認(rèn)為，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)制定和設(shè)計(jì)各種方法，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生發(fā)展的、能夠獨(dú)立探究的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)習(xí)成為一個(gè)積極主動(dòng)的“索取”過程.《學(xué)記》中明確指出“學(xué)然后知不足，教然后知困.知不足，然后能自反也；知困，然后能自反也”，這說明了反思在教與學(xué)活動(dòng)中的重要性.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在老師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程[1].學(xué)生學(xué)習(xí)的最后階段為評(píng)估反饋階段，若讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對(duì)各個(gè)環(huán)節(jié)能夠正確地自我評(píng)價(jià)和反思，則必能使學(xué)生重新理解知識(shí)，進(jìn)一步優(yōu)化思維，提高數(shù)學(xué)能力.教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)應(yīng)充分考慮學(xué)生主體性的發(fā)揮，讓學(xué)生經(jīng)歷自主“做數(shù)學(xué)”的過程；還要提供必要的機(jī)會(huì)，使他們能夠從事反思活動(dòng).研究表明，人的一般認(rèn)知發(fā)展，包括認(rèn)知能力的發(fā)展和認(rèn)知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思活動(dòng)[2].合理的反思能夠激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，帶給學(xué)生自身理智的挑戰(zhàn)，使學(xué)生獲得積極的、深層次的體驗(yàn)和足夠自主的空間、足夠的探索機(jī)會(huì).

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中如何激發(fā)學(xué)生有效反思？除了培養(yǎng)學(xué)生具有反思習(xí)慣外，還應(yīng)該通過對(duì)教學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行多方面的思考，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，激發(fā)學(xué)生反思，形成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).下面通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決方法的思考，提出四個(gè)方面的反思突破口.

1.對(duì)問題的條件進(jìn)行反思

解決問題的關(guān)鍵是尋求問題條件與結(jié)論的聯(lián)系，若問題的條件有變，則結(jié)論會(huì)變，解題方法也可能會(huì)變.學(xué)生對(duì)命題的條件進(jìn)行必要的反思，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

案例一：判斷以過橢圓焦點(diǎn)F的弦為直徑的圓與橢圓相應(yīng)于F的準(zhǔn)線的位置關(guān)系.

利用橢圓相關(guān)知識(shí)，不難判斷位置關(guān)系為相離.

教師可以提出改變橢圓這個(gè)條件激發(fā)學(xué)生反思：上述問題中，若將橢圓變?yōu)殡p曲線或拋物線，問題的結(jié)論會(huì)怎樣？如何證明？

對(duì)問題的條件作變式反思，也是培養(yǎng)學(xué)生辨別能力和探究能力的有效途徑.

2.進(jìn)行類比歸納反思

數(shù)學(xué)命題千變?nèi)f化，但一些命題或問題有相同的根源，解決這類問題的方法有時(shí)也可能大同小異，教師對(duì)具有這類特點(diǎn)的問題及解決過程可通過類比或歸納，然后激發(fā)學(xué)生進(jìn)行反思.

案例二：有以下一組問題

①若a、b、c∈R■，求證：（a+b+c）（■+■）≥4.

②x，y∈（0，+∞），且2x+3y=1，求證：■+■≥5+2■

③0

④已知x、y∈（0，+∞），且■+■=1，試求x+y的最小值.

⑤a>b>c，試求使■+■≥■恒成立的最大的n.

學(xué)生在不同的時(shí)間完成了上述題目，但是做完各題后不能讓其成為一盤散沙.教師應(yīng)該提出問題，讓學(xué)生觀察這類問題有何相同點(diǎn)與差異，激發(fā)學(xué)生反思.通過讓學(xué)生討論和總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)此類問題的本質(zhì)都相同，抓住問題本質(zhì)后就能以不變應(yīng)萬變，就可以高屋建瓴地解決同類型的問題.通過這種形式的教學(xué)，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠有意識(shí)地對(duì)所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行邏輯分析、綜合、分類、重新組織，把知識(shí)系統(tǒng)化，這種自覺掌握和整理知識(shí)的能力，是思維組織性的具體表現(xiàn).

3.對(duì)命題作推廣性反思

最能體現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)新能力的應(yīng)該是對(duì)命題進(jìn)行推廣.對(duì)命題推廣的過程中，學(xué)生需要調(diào)動(dòng)幾乎所有的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力，開放性的探究可以讓學(xué)生體會(huì)到研究的困惑與喜悅，可以鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新能力.教師可以在這方面做些工作，讓學(xué)生在對(duì)命題品味與反思同時(shí)，可以進(jìn)行推廣嘗試.

以下是教學(xué)實(shí)際中學(xué)生對(duì)命題推廣的案例：

案例三：（原問題）已知不等式■+■≤c≤■+■對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，y均成立，則常數(shù)c的值為■.

推廣1：若不等式■+■≤f（n）≤■+■（其中n為常數(shù)，n>1）對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，y均成立，則f（n）=■.

推廣2：若不等式■+■≤f（m，n）≤■+■（其中n>m>0，m，n為常數(shù)）對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，y均成立，則f（m，n）=■.

推廣3：若不等式■+■+■≤f（n）≤■+■+■（其中n>1，n為常數(shù)）對(duì)一切正實(shí)數(shù)x，y，z均成立，則f（n）=■.

4.對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行反思

要培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性，必須先培養(yǎng)思維的批判性.所謂思維的批判性，表現(xiàn)為獨(dú)立思考，不盲從附和，不輕信，對(duì)問題有獨(dú)立的見解，善于提出疑問，能及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤，能批評(píng)自己提出的解題方法的優(yōu)劣與正確與否，有反省和自我調(diào)節(jié)的能力.教師應(yīng)該適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神，甚至可以在具體的教學(xué)過程中，教師本身可以有意識(shí)的犯下錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，提高學(xué)生自我糾錯(cuò)、自我評(píng)價(jià)能力，引導(dǎo)學(xué)生辨析錯(cuò)誤，提高鑒別能力.學(xué)生抓住易錯(cuò)點(diǎn)反思，就是培養(yǎng)自我糾錯(cuò)能力的最佳途徑.

案例四：求函數(shù)f（x）=■的最小值.

學(xué)生常見錯(cuò)解：f（x）=■=■+■≥2，故f（x）的最小值為2.

學(xué)生糾正錯(cuò)誤后進(jìn)一步明確：用不等式求最值有三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）各項(xiàng)為正數(shù)，（2）有乘積（或和）為定值，（3）不等式中“=”號(hào)可以成立，三個(gè)環(huán)節(jié)缺一不可.上述問題直接用均值不等式求解有困難，可轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的單調(diào)性求解或重新列項(xiàng)后用不等式求解.

學(xué)生養(yǎng)成對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)反思的習(xí)慣，就能避免數(shù)學(xué)思維過程中的許多錯(cuò)誤，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)能力自然會(huì)得到提高.

新課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程目標(biāo)提出，讓學(xué)生通過不同的形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程；發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷；提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.學(xué)會(huì)反思，能使學(xué)生在知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三個(gè)維度上得到進(jìn)一步發(fā)展.教師在教學(xué)中可適時(shí)給學(xué)生以反思的示范，教學(xué)生學(xué)會(huì)反思，并鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣.學(xué)生一定要適時(shí)捕捉反思的切入點(diǎn)，反思的過程要自己獨(dú)立完成，不可由教師或其他人代替，否則所謂的反思充其量是模仿，起不到反思的作用，達(dá)不到預(yù)期的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.2.

[2]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.50.

基金項(xiàng)目：貴州省教育廳高校人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目（編號(hào)：13ZC234）；六盤水師范學(xué)院教學(xué)改革研究一般項(xiàng)目（編號(hào)：LPSSYjg201104）。