傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換相互關(guān)系在兩個(gè)公式推導(dǎo)中的應(yīng)用

段凱宇 殷仕淑 付明 王松濤

摘 要： 傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換是傅里葉分析方法中兩個(gè)最重要的基本概念，是其他傅里葉分析方法的理論基礎(chǔ).本文將傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換之間的相互關(guān)系應(yīng)用于離散時(shí)間傅里葉逆變換和離散傅里葉級(jí)數(shù)的公式推導(dǎo)，使推導(dǎo)過程更簡(jiǎn)單、清晰，有助于理解和掌握傅里葉分析方法的相關(guān)內(nèi)容.

關(guān)鍵詞： 傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉變換 離散時(shí)間傅里葉逆變換 離散傅里葉級(jí)數(shù) 離散傅里葉變換

引言

傅里葉分析主要包括傅里葉級(jí)數(shù)（FS）、傅里葉變換（FT）、離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）、離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）和離散傅里葉變換（DFT），其中FS和FT是基礎(chǔ).文獻(xiàn)[1]從頻域采樣的角度對(duì)IDTFT和DFS的公式進(jìn)行了推導(dǎo).本文利用指數(shù)FS系數(shù)與FT的關(guān)系對(duì)IDTFT和DFS的公式進(jìn)行推導(dǎo)，有助于更好地理解傅里葉分析方法之間的聯(lián)系.

1.指數(shù)FS系數(shù)與FT的關(guān)系

設(shè)連續(xù)周期函數(shù)■（t）的周期為T，x（t）為■（t）的主值，■（t）的指數(shù)FS系數(shù)為X■，x（t）的FT為X（Ω），二者的關(guān)系為：

X■=■X（Ω）■

即周期信號(hào)的指數(shù)FS系數(shù)是其主值FT以Ω■=2π/T為間隔的采樣值的1/T倍.

2.IDTFT公式證明

2.1文獻(xiàn)[1]證明

設(shè)序列x（n）的長度為N，其DTFT為X（e■），文獻(xiàn)[1]根據(jù)指數(shù)FS定義證明IDTFT公式：

FS[X（e■）]=■？蘩■■[■[x（m）e■]e■dω

=■■[x（m）·？蘩■■e■dω]

由指數(shù)函數(shù)的正交性，當(dāng)m+n=0時(shí)上式不為0，即：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

x（n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

2.2本文證明

X（e■）周期為2π，將X（e■）的公式做如下變形：

X（e■）=■x（n）e■=■x（-n）e■■ （1）

由式（1）可以看出x（-n）是X（e■）的指數(shù)FS系數(shù)，由指數(shù)FS系數(shù)與FT之間的關(guān)系：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω■=■？蘩■■X（e■）e■dω

將上式中的n用-n代替，得證.文獻(xiàn)[1]和本文都是通過證明X（e■）的指數(shù)FS系數(shù)是x（-n），進(jìn)而得到IDTFT公式，但本文的方法更簡(jiǎn)潔明了.

3.DFS公式證明

3.1文獻(xiàn)[1]證明

設(shè)周期序列■（n）的周期為N，其主值序列為x（n），文獻(xiàn)[1]將■（k）當(dāng)作X（e■）的單位沖激采樣：

■（k）=X（e■）·■δ（ω-k■）

FS[■（k）]=■FS[X（e■）]*FT[■δ（ω-k■）]

=■x（-n）*■δ（n-lN）=■■（-n）（2）

從而有：

■（k）■·■■（-n）e■=■·■■（n）e■（3）

但式（3）的結(jié)論與DFS的公式不符，說明文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)過程有誤.

3.2本文證明

設(shè)周期函數(shù)■（nT■）的周期T=NT■，由指數(shù)FS系數(shù)與FT之間的關(guān)系：

FS[■（n）]=■？蘩■■■（nT■）e■dt■=■■■（n）e■（4）

■（n）=■■[？笪■■（m）e■]e■=■■■（k）e■（5）

將式（4）中的系數(shù)1/N歸入式（5），得DFS公式：

■（k）=■■（n）e■

可以證明在采樣間隔為T■時(shí)，周期信號(hào)單位樣值采樣的指數(shù)FS系數(shù)是單位沖激采樣的指數(shù)FS系數(shù)的T■倍，實(shí)際上■（k）是X（e■）的單位樣值采樣，采樣間隔為2π/N，式（3）的2π/N倍恰為■（k），所以文獻(xiàn)[1]的錯(cuò)誤在于混淆了單位樣值采樣與單位沖激采樣.

結(jié)語

本文利用指數(shù)FS系數(shù)和FT之間的關(guān)系推導(dǎo)了IDTFT、DFS的公式，分析了文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)過程的一個(gè)錯(cuò)誤，與常用的推導(dǎo)方法相比更為簡(jiǎn)單和易于理解，加深了對(duì)指數(shù)FS系數(shù)和FT相互關(guān)系的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化了傅里葉分析方法中主要公式、概念之間的聯(lián)系.

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安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目（acjyyb2014107）