從“用圖”到“構(gòu)圖”

劉梅蘭

小學(xué)階段兒童的認(rèn)知水平處于皮亞杰的“具體運算思維”階段，其最大特點是思維離不開具體直觀的支持。因而，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，只有充分借助形象直觀的教學(xué)手段，才能有效地幫助學(xué)生實現(xiàn)從直觀到抽象的跨越。因此，在教學(xué)中我們要依托圖形幫助學(xué)生學(xué)會“用圖”，打好幾何直觀的基礎(chǔ)，養(yǎng)成運用圖形解決問題的意識，從而深入理解數(shù)學(xué)概念，提高解決問題的水平，發(fā)展幾何直觀能力。

一、“用圖”——打好幾何直觀的基礎(chǔ)

“用圖”就是教師引導(dǎo)學(xué)生充分利用教材中提供的圖，借助圖，理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，探索解題思路，提高分析和解決問題的能力。

（一）借助圖理解數(shù)學(xué)概念

幾何直觀作為一種思維方式，是形象思維和抽象思維的中介，可以凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在教學(xué)蘇教版五年級下冊“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”一課中，認(rèn)識是這節(jié)課的難點，因為、和都可以用一個單位“1”表示出來，但是至少要用兩個單位“1”才能表示。教學(xué)中，筆者放手讓學(xué)生同桌合作選擇材料，分一分、涂一涂。并展示不同學(xué)生的不同表示方法。

第一種：用了兩個圓，每個圓都平均分成了4份，第一個圓涂滿，第二個圓涂1份。

第二種：用了兩個圓，每個圓都平均分成了4份，第一個圓涂3份，第二個圓涂2份。

第三種：用了三個圓，每個圓都平均分成了4份，第一個圓涂2份，第二個圓涂2份，第三個圓涂1份。

引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較的過程中抓住的本質(zhì)屬性：把單位“1”平均分成4份，表示這樣的5份，大于1。有了涂色圖形的支撐，學(xué)生很容易領(lǐng)會到這類分?jǐn)?shù)的特征，掌握這類分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性。

在學(xué)生認(rèn)識了之后，教師先引導(dǎo)學(xué)生說說其他像這樣的分?jǐn)?shù)，學(xué)生說出了分母不是4的假分?jǐn)?shù)，說出了大于2的假分?jǐn)?shù)等。接著，教師要求學(xué)生在教師提供的圖形或數(shù)軸上表示出這些分?jǐn)?shù)。這樣的教學(xué)，擴大了假分?jǐn)?shù)的外延，同時學(xué)生在圖中表示出自己選的假分?jǐn)?shù)時，又對假分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵有了更深的理解和把握。

（二）重視表象和言語的轉(zhuǎn)換

幾何直觀要求將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形有機地結(jié)合起來，實現(xiàn)表象與言語的轉(zhuǎn)換，促進(jìn)學(xué)生的深入理解。

例如，蘇教版六年級上冊“百分?jǐn)?shù)”單元，教學(xué)例10（馬山糧庫要往外地調(diào)運一批糧食，已經(jīng)運走了60%，還剩48噸。這批糧食一共多少噸？）時，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意把書上的線段圖（圖1）填寫完整，接著讓學(xué)生根據(jù)線段圖說說題意，并根據(jù)線段圖分析數(shù)量關(guān)系，找到等量關(guān)系式：運走的噸數(shù)+剩下的噸數(shù)=總噸數(shù)。

先讀題畫圖，再看圖說題意，由圖說“理”，通過這樣的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力、幾何直觀能力和解決實際問題的能力。

（三）重視數(shù)學(xué)的直觀洞察

隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識的增長，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提高，我們應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造直觀洞察的機會，提升學(xué)生幾何直觀能力的層次，更好地促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

例如，在教學(xué)蘇教版五年級上冊第七單元“解決問題的策略”例1（王大叔用22根1米的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？）時，我們先讓學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上用22根小棒圍一圍，進(jìn)一步明確周長與小棒根數(shù)，小棒自身長度與長方形長、寬的關(guān)系。接著通過討論明確要知道“怎樣圍面積最大”，就要先把所有的圍法一一列舉出來 ，再通過計算找出最佳方案。此時我們可以讓學(xué)生在方格紙上將列舉出來的所有長方形畫出來（如圖2），再引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，找出規(guī)律。

于是，通過畫圖，學(xué)生理解了為什么當(dāng)周長是22米時，長6米、寬5米的長方形面積最大。有的學(xué)生甚至能夠發(fā)現(xiàn)隨著長和寬的慢慢接近，面積的增加幅度在逐漸減小（圖2中涂色部分為依次增加的面積）。這樣的教學(xué)，在引導(dǎo)學(xué)生通過列舉得出結(jié)論、解決問題之后，讓學(xué)生畫一畫、想一想，借助幾何直觀使得學(xué)生在知其然的基礎(chǔ)上知其所以然。諸如此類的例子，有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的觀察習(xí)慣，并不斷積累直觀理解、直觀洞察的經(jīng)驗，感悟幾何直觀的作用，體會其價值，增強運用幾何直觀的意識。

二、“構(gòu)圖”——培養(yǎng)創(chuàng)造性思維

幾何直觀可以將抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化，從而幫助學(xué)生理解題意，探索解題思路，提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。因此，對于學(xué)生而言，怎樣根據(jù)題目的類型和特征構(gòu)建出一個“圖”顯得至關(guān)重要。因此，隨著學(xué)生年級的升高、數(shù)學(xué)題目難度的增加，我們要注重學(xué)生“構(gòu)圖”能力的培養(yǎng)。

（一）適度拓展，開闊眼界

我們在日常教學(xué)過程中要適時拓展幾何直觀的應(yīng)用范圍，強化學(xué)生幾何直觀的意識，培養(yǎng)其幾何直觀能力。

例如，蘇教版五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”一課的教學(xué)，教材要求學(xué)生在百數(shù)表（見圖3）中將3的倍數(shù)圈出來，發(fā)現(xiàn)從個位上看不出3的倍數(shù)的特征，接著通過在計數(shù)器上撥珠猜想來驗證3的倍數(shù)的特征。

這樣的教學(xué)，學(xué)生雖然能夠發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征，但是不理解為什么3的倍數(shù)，它的各位上數(shù)的和一定是3的倍數(shù)。如果出示圖4，讓學(xué)生將每個計數(shù)單位3個3個地涂一涂，就會發(fā)現(xiàn)1個十3個3個地涂剩下1個，幾個十就會剩下幾個；1個百3個3個地涂剩下1個，幾個百也會剩下幾個。因此，把百位、十位上剩下的小方塊和個位上的小方塊合起來，得到的塊數(shù)是3的倍數(shù)，說明這個數(shù)就是3的倍數(shù)，反之，則說明這個數(shù)不是3的倍數(shù)。我們用直觀的方法追本溯源，引導(dǎo)學(xué)生在操作活動中理解3的倍數(shù)的特征。借助方塊圖，有的學(xué)生甚至?xí)l(fā)現(xiàn)，一個數(shù)各位上數(shù)的和除以3余幾，這個數(shù)除以3也會余幾。這樣的教學(xué)，幫助學(xué)生理解知識的本質(zhì)，拓展了學(xué)生的知識面，提高了學(xué)生的理解能力。

（二）借助想象，學(xué)會表征

聯(lián)想和想象是拓展學(xué)生幾何直觀思維空間的主渠道，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要手段。

例如，在教學(xué)“圓的面積”一課時，我們先讓學(xué)生通過數(shù)方格的方法算一算圓的面積大約是半徑平方的多少倍。接著，讓學(xué)生將圓平均分成16等份，拼成一個近似的平行四邊形。再讓學(xué)生在第一次操作的基礎(chǔ)上想象：“如果把圓平均分成32份、64份，拼成的圖形會有什么變化？”并用課件呈現(xiàn)出把圓平均分成32份、64份后拼成的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較。在此基礎(chǔ)上，提問：如果無限細(xì)分下去，最終拼成的是什么圖形？在圖形直觀的基礎(chǔ)上想象、推理，滲透了極限的思想，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

（三）巧妙構(gòu)圖，靈活解題

在解決數(shù)學(xué)中的一些問題時，我們要巧妙構(gòu)圖，尋求它的幾何表征。這樣，對于問題的解決是有效的，既能實現(xiàn)問題直觀的表達(dá)，又強調(diào)了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)，就可以打開數(shù)學(xué)模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實現(xiàn)解題突破和解題優(yōu)化。

例如，在完成練習(xí)題1+3+5+7+9+11+13+15+17

+19+21+……+99時，我們可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖（圖5）進(jìn)行分析。

這樣，學(xué)生借助構(gòu)造的圖形可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：從1開始n個連續(xù)奇數(shù)的和等于n的平方。由此，可以很快算出1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+……+99的得數(shù)就等于502，也就是2500。

本題的解決，一方面學(xué)生更加體會到幾何直觀的重要性，它不僅可以幫助我們找到解題的思路，而且降低了解題的難度；另一方面，學(xué)生構(gòu)圖的能力得到了鍛煉，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

再如， 已知下圖（圖6）中陰影部分的面積是100平方厘米，求圓環(huán)的面積。

我們知道，這道題中兩個圓的半徑都是未知的，所以學(xué)生常常感覺無從下手。我們可以引導(dǎo)學(xué)生將大圓半徑標(biāo)為R，將小圓半徑標(biāo)為r。那么已知條件“陰影部分的面積是100平方厘米”，就可以表示為：R2+r2=100。而要求的是圓環(huán)的面積，也就是求π（R2+r2）等于多少。我們將R2+r2=100和π（R2+r2）寫在一起，學(xué)生一下就明白，要求圓環(huán)的面積，只要用π乘100就可以了。

這些用字母、符號、文字表示的等量關(guān)系式雖然是數(shù)量關(guān)系的抽象表達(dá)，相對于文字的抽象來講，卻是一種“直觀”的表達(dá)，有助于學(xué)生理解、分析問題。

總之，“幾何直觀”在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用，在教學(xué)中我們要充分學(xué)習(xí)、領(lǐng)會“幾何直觀”的深刻內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生 “用圖”，為幾何直觀能力的形成打下堅實的基礎(chǔ)，進(jìn)而“構(gòu)圖”，靈活運用幾何直觀的方法，創(chuàng)造性地解決實際問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（江蘇省南京曉莊學(xué)院附屬小學(xué) 210038）