相似

高萍

經(jīng)過(guò)七八年級(jí)的學(xué)習(xí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，方程思想實(shí)在是中學(xué)數(shù)學(xué)的解題利器，尤其是在有計(jì)算需要的時(shí)候，如解決實(shí)際問(wèn)題，在圖形中求線段長(zhǎng)度、求角度等.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們借助線段圖、關(guān)系句等方式尋找等量關(guān)系來(lái)列方程，在圖形中求角度時(shí)我們根據(jù)多邊形內(nèi)角和及角的和差積商關(guān)系來(lái)列方程，求長(zhǎng)度時(shí)用得較多的則是根據(jù)勾股定理來(lái)列方程.現(xiàn)在我們學(xué)了相似，又有了一個(gè)新的列方程的好幫手了.

一、 利器初體驗(yàn)

例1 如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8.將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的C′處，并且C′D∥AC，則CD的長(zhǎng)是多少？

【分析】由C′D∥AC可知△BC′D∽△BAC，則有 = ，設(shè)CD=x，可依據(jù)此比例式列方程.

解：由勾股定理易得BC=10，設(shè)CD=x，則BD=10-x，由題意可知C′D=CD=x，

∵C′D∥AC，∴△BC′D∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得x= ，即CD= .

二、 利器顯神威

1. 利用兩個(gè)三角形相似得到的比例式來(lái)表示相關(guān)的量，借助其他等量關(guān)系列方程.

例2 如圖2，已知在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與A、C不重合），Q在BC上.當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng).

【分析】可利用“△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等”來(lái)列方程，關(guān)鍵是表示出△PQC與四邊形PABQ的周長(zhǎng)，相似三角形可以來(lái)幫忙.

解：∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，

∴ = = ，

設(shè)CP=x，則 = = ，

則CQ= ，PQ= ，AP=4-x，QB=3- ，

由△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等可得：

x+ =（4-x）+3- +5，

解之得x= ，∴CP= .

【小貼士】也可設(shè) = = =k，即 = = =k，則CP=4k，CQ=3k，PQ=5k，AP=4-4k，BQ=3-3k.你能列出方程并求出CP嗎？是不是比上面的設(shè)法更易計(jì)算？在比例式中我們常用這種設(shè)法哦！

【考考你】如果沒(méi)有“△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等”這一條件，只用相似能求出CP嗎？滿足怎樣的條件才能僅利用相似求出CP的長(zhǎng)？

【悄悄告訴你】相似的兩個(gè)三角形至少各知道一條邊，才可能僅利用它們的相似求出三角形各邊.否則，就需要有其他相關(guān)的等量關(guān)系來(lái)幫忙.

2. 一組相似不夠用，連環(huán)相似來(lái)幫忙.

例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△PBC∽△COA，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】要求P點(diǎn)的坐標(biāo)，可作PD⊥x軸，求出PD、BD即可知P點(diǎn)坐標(biāo).由題意易得△PBD∽△CAO，但△PBD一條邊都不知道，無(wú)法僅利用這一組相似求出PD、BD.觀察發(fā)現(xiàn)邊PB同時(shí)也在另一組相似三角形中，可利用△PBC∽△COA先求出PB，問(wèn)題即迎刃而解.

你能試一試嗎？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，②依據(jù)△PBC∽△COA求出BP=4 ，③依據(jù)△PBD∽△CAO求出BD=4，PD=8，P（8，8）.

3. 一組相似不夠用，構(gòu)造相似來(lái)幫忙.

例4 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△BPC∽△COA，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】依據(jù)條件中的相似可以求出PC、PB的長(zhǎng)，也易得∠CPB是直角，但看不出P點(diǎn)的坐標(biāo).要求P點(diǎn)坐標(biāo)，通常需向坐標(biāo)軸作垂線.這里顯然向y軸作垂線更合適（想一想，為什么？）.但△PMC不能證明與圖中的某個(gè)三角形相似，這時(shí)可以利用“一線三等角”模型，構(gòu)造出相似三角形——過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，與MP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.此時(shí)△PMC∽△BNP，設(shè)MP=x，可表示出NP和MC，在Rt△PMC中，利用勾股定理列方程求出x，則問(wèn)題得解.

比上一題復(fù)雜哦，你還敢試試嗎？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，

②依據(jù)△BPC∽△COA，可求出PC=2，PB=4，∠CPB=∠AOC=90°，

③證明△PMC∽△BNP，

④設(shè)MP=x，則NP=4-x，依據(jù)△PMC∽△BNP，可得 = ，即 = ，可表示出MC= ，

⑤在Rt△PMC中，根據(jù)勾股定理可得 2+x2=22，解得x= ，可求出MC= ，MO= ，P ， .

怎么樣，你做對(duì)了嗎？看起來(lái)，有了相似這片“綠葉”，方程思想方法顯示出更大的威力了呢！

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)第三中學(xué)）