撥“錯(cuò)”見(jiàn)“正”

許琴

“圖形的相似”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是全等圖形的延續(xù)與深化，在中考數(shù)學(xué)試題中占據(jù)著非常重要的位置.為了幫助同學(xué)們更好地掌握這部分知識(shí)，下面就讓我們一起來(lái)看看在相似問(wèn)題中都有哪些容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤吧.

一、 審題不清，忽視細(xì)節(jié)

例1 某市地圖上有一塊三角形草地，三邊長(zhǎng)分別為4 cm，5 cm，6 cm.已知這塊三角形草地最短邊的實(shí)際長(zhǎng)度為80 m，求另外兩條邊的實(shí)際長(zhǎng)度.

【錯(cuò)解】比例尺=圖上距離∶實(shí)際距離=4∶80=1∶20，三角形草地的另外兩條邊的實(shí)際長(zhǎng)度分別為：5×20=100（cm）， 6×20=120（cm）.

答：這塊三角形草地的另外兩條邊的實(shí)際長(zhǎng)度分別為100 cm和120 cm.

【分析】解題時(shí)先用圖上距離∶實(shí)際距離求出比例尺，也就是兩條線(xiàn)段在統(tǒng)一單位下的長(zhǎng)度之比.這里有兩點(diǎn)要注意：一是兩條線(xiàn)段的比與采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)；二是如果給出的線(xiàn)段的長(zhǎng)度單位不同，那么必須化為同一長(zhǎng)度單位后再求線(xiàn)段的比.錯(cuò)解中就是忽略了將長(zhǎng)度單位進(jìn)行統(tǒng)一，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

【正解】比例尺=圖上距離∶實(shí)際距離=4∶8000=1∶2000，

三角形草地的另外兩條邊的實(shí)際長(zhǎng)度分別為：

5×2 000=10 000（cm），即100 m，

6×2 000=12 000（cm），即120 m.

答：這塊三角形草地的另外兩條邊的實(shí)際長(zhǎng)度分別為100 m和120 m.

二、 概念不清，以偏概全

例2 下列說(shuō)法中正確的是（ ）.

①在兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形中，如果各對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形相似；

②兩個(gè)矩形有一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)矩形相似；

③有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的平行四邊形都相似；

④有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的菱形都相似.

A. ①② B. ②③

C. ③④ D. ②④

【錯(cuò)解】A.

【分析】對(duì)相似多邊形的定義理解不全面，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷.兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形相似，應(yīng)同時(shí)具備兩個(gè)條件：一是各角對(duì)應(yīng)相等，二是各邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)條件缺一不可.①和③都只滿(mǎn)足其中一個(gè)條件，所以不正確，而②和④均同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，因此是正確的.

【正解】D.

三、 對(duì)應(yīng)關(guān)系不清，思維定式

例3 在 △ABC和 △A′B′C′中，若∠A=68°，∠B=40°，∠A′=68°，∠B′=72°，則這兩個(gè)三角形（ ）.

A. 既全等又相似 B. 相似

C. 全等 D. 不能確定

【錯(cuò)解】D.

【分析】在解這道題目時(shí)，有些同學(xué)會(huì)這樣做：∵∠A=∠A′，∠B ≠∠B′，∴△ABC和△A′B′C′不相似，從而選擇D.這樣做錯(cuò)在沒(méi)有根據(jù)題意理解兩個(gè)三角形相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是由思維定式搭配它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系.正確的做法應(yīng)該是：∵∠A=68°，∠B=40°，∴∠C=72°.∵∠A=∠A′，∠C=∠B′，∴△ABC∽△A′C′B′.

【正解】B.

例4 如圖1，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=1∶2，DE=2，則BC的長(zhǎng)是________.

【錯(cuò)解】4.

【分析】運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題時(shí)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊非常關(guān)鍵.錯(cuò)解中就是因?yàn)檎义e(cuò)了對(duì)應(yīng)邊，才導(dǎo)致求錯(cuò)BC的長(zhǎng).實(shí)際上△ADE中邊AD的對(duì)應(yīng)邊是△ABC中的邊AB，而不是DB.

【正解】∵在△ABC中，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC.∴ = .

又∵AD∶DB=1∶2，DE=2，

∴ = .解得BC=6.

四、 考慮不周，導(dǎo)致漏解

例5 在△ABC中，∠C=90°，D是邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線(xiàn)有（ ）.

A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條

【錯(cuò)解】B.

【分析】過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)與另一邊相交，所得的三角形與原三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)直角即可得到三角形相似.而作直角同學(xué)們自然會(huì)想到作垂線(xiàn)，但作垂線(xiàn)時(shí)，一些同學(xué)就只想到過(guò)點(diǎn)D做邊AC和BC的垂線(xiàn)，忽略還可以作AB的垂線(xiàn)，所以符合題意的直線(xiàn)有三條，而不是2條.

【正解】C.

例6 如圖3，在△ABC中，AB=10 cm，BC=20 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以2 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以4 cm/s的速度移動(dòng).如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似？

【錯(cuò)解】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似，則AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，且 = ，即 = .解得t=2.5.

【分析】本題△PBQ與△ABC相似，由于對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，所以需要分類(lèi)討論.有兩種可能的情況：一是△PBQ∽△ABC；二是△QBP∽△ABC.

【正解】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似，則AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t.

（1） 當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，有 = ，即 = .解得t=2.5.

（2） 當(dāng)△QBP∽△ABC時(shí)，有 = ，即 = .解得t=1.

綜上所述，經(jīng)過(guò)2.5秒或1秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似.

近年來(lái)，相似問(wèn)題一直是中考熱點(diǎn)問(wèn)題，大家一定要給予足夠的重視.在實(shí)際解題的過(guò)程中，同學(xué)們一定要細(xì)致審題，認(rèn)真分析，掌握方法，才能撥“錯(cuò)”見(jiàn)“正”，讓自己的思維水平和解題能力得到真正的提高！

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)洮西中學(xué)）