例析概率問題中的數(shù)學(xué)思想

馬洪亮

近年來，概率問題的考查，在注重基本知識考查的基礎(chǔ)上也注重滲透數(shù)學(xué)思想，今天我們一起來看看概率與哪些數(shù)學(xué)思想有了碰撞.

一、 函數(shù)與方程思想

例1 已知一個不透明的口袋中裝有7個只有顏色不同的球，其中3個白球，x個黑球.

（1） 若向袋中再放入y個白球后，從中隨機取出一個球是白球的概率為 ，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系；

（2） 在（1）的基礎(chǔ)上，若往袋中再放入4個黑球，則從袋中隨機取出一個球是白球的概率變?yōu)?，求x與y的值.

【分析】問題（1）中的概率明確了，但球的個數(shù)不確定.當(dāng)概率一定時，白球的數(shù)量將隨著黑球數(shù)量的變化而變化，利用概率的計算公式P（白球）=白球數(shù)量÷球的總數(shù)量便可建立函數(shù)關(guān)系.問題（2）中再次利用概率的計算公式建立一個y與x的函數(shù)關(guān)系式，與（1）中的函數(shù)關(guān)系式組成方程組可求得x與y的值.

解：（1） 由題意得：

P（白球）= = ，

整理得：y= x-3；

（2） 由題意得：P（白球）= = ，

整理得：y= x- ，

由y= x-3，y= x- ， 得x=8，y=1.

【點評】利用概率計算的公式構(gòu)造函數(shù)建立等量關(guān)系，列出方程或方程組，再通過解方程或方程組使問題獲得解決.

二、 轉(zhuǎn)化思想

例2 已知ai≠0（i=1，2，…，2016）滿足 + + +…+ + =1968，使直線y=aix+i（i=1，2，…，2016）的圖像經(jīng)過一、二、四象限的ai概率是________.

【分析】欲使直線y=aix+i的圖像經(jīng)過一、二、四象限，因i>0，圖像必過一、二象限，因此須使ai<0.另一方面，條件的等式左邊每一項的值為1或-1，共2016項，但結(jié)果為1968，因此其中必有（2016-1968）÷2=24（個）負數(shù).這樣，問題可轉(zhuǎn)化為：在2016個非0實數(shù)中有24個負數(shù)，從中隨機取出一個數(shù)是負數(shù)的概率是多少？

解：∵ai≠0（i=1，2，…，2016）滿足 + + +…+ + =1968，

∴ai中有（2016-1968）÷2=24（個）是負數(shù)，有2016-24=1992（個）是正數(shù)，

∵ai<0時直線y=aix+i（i=1，2，…，2016）的圖像經(jīng)過一、二、四象限，

∴使直線y=aix+i（i=1，2，…，2016）的圖像經(jīng)過一、二、四象限的ai概率是 = ， 故答案為： .

三、 分類討論思想

例3 袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球，從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是（ ）.

A. B. C. D.

【分析】首先設(shè)摸出的15個球中有x個紅球、y個黑球、z個白球，則x，y，z都是正整數(shù)，且x≤5，y≤6，z≤7，x+y+z=15.因為y+z≤13，所以x可取值為2，3，4，5.然后對x的取值進行分類討論，便可得出所有可能的摸球結(jié)果，再看其中恰好有3個紅球的結(jié)果有幾種，最后由概率公式即可求得答案.

解：設(shè)摸出的15個球中有x個紅球、y個黑球、z個白球，則x，y，z都是正整數(shù)，且x≤5，y≤6，z≤7，x+y+z=15.

∵y+z≤13，

∴x可取值為2，3，4，5.

當(dāng)x=2時，只有一種可能，即y=6，z=7；

當(dāng)x=3時，y+z=12，有兩種可能，y=5，z=7或y=6，z=6；

當(dāng)x=4時，y+z=11，有3種可能，y=4，z=7或y=5，z=6或y=6，z=5；

當(dāng)x=5時，y+z=10，有4種可能，y=3，z=7或y=4，z=6或y=5，z=5或y=6，z=4.

∴共有1+2+3+4=10（種）可能的摸球結(jié)果，其中摸出的球中恰好有3個紅球的結(jié)果有2種，

∴所求的概率為： = . 故選B.

四、 數(shù)形結(jié)合思想

例4 六個面上分別標(biāo)有1，1，2，3，3，5六個數(shù)字的均勻立方體的表面展開圖如圖1所示，擲這個立方體一次，記朝上一面的數(shù)字為平面直角坐標(biāo)系中某個點的橫坐標(biāo)，朝下一面的數(shù)為該點的縱坐標(biāo).按照這樣的規(guī)定，每擲一次該小立方體，就得到平面內(nèi)一個點的坐標(biāo).已知小明前兩次擲得的兩個點確定一條直線l，且這條直線經(jīng)過點P（4，7），那么他第三次擲得的點也在直線l上的概率是（ ）.

A. B. C. D.

【分析】根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù).二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小. 對本題來說，全部情況的總數(shù)容易求得，但符合條件的點的個數(shù)較難得到. 如果根據(jù)小明前兩次擲得的兩個點確定一條直線，求得其解析式，再將點（4，7）代入判斷，這樣的計算量將非常大，但如果將這些點在平面直角坐標(biāo)系中描出，通過觀察便可看出哪些點所確定的直線經(jīng)過點（4，7）.

解：由題意知：每擲一次可能得到6個點的坐標(biāo)是（其中有兩個點是重合的）： （1，1），（1，1），（2，3），（3，2），（3，5），（5，3）， 將這幾個點和點P（4，7）在平面直角坐標(biāo)系中描出（如圖2），通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過（1，1），（2，3），（3，5）三點中的任意兩點所確定的直線都經(jīng)過點P（4，7）， 因點（1，1）包含兩種情況，所以符合條件的點有4個，所以小明第三次擲得的點也在直線上的概率是 = . 故選A.

【點評】本題通過描點畫圖將數(shù)的問題與圖形相結(jié)合，使問題的解決變得簡單.數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間在本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達“數(shù)”，形象地反應(yīng)問題的屬性，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)）