小學(xué)數(shù)學(xué)“問題解決”與“模型思想”

曹靜

鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中指出：“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)就在于幫助學(xué)習(xí)者逐步建立與發(fā)展分析模式、應(yīng)用模式、建構(gòu)模式與欣賞模式的能力?！?/p>

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的十大核心詞就有“模型思想”，課標(biāo)指出，“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”與此同時，課標(biāo)把“解決問題”改為“問題解決”，并把它作為課程目標(biāo)之一，其內(nèi)涵包括經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，獲得分析問題和解決問題的策略，學(xué)會合作交流，形成評價和反思意識。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型思想對問題解決有哪些幫助呢？二者之間又有著怎樣的關(guān)系呢？

一、在“問題解決”的過程中構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”

一般的問題解決要經(jīng)歷四個步驟，即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。所以問題解決的過程不是一蹴而就的，它需要學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題并明確問題后，能夠提煉出相應(yīng)的條件信息，從而利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析，最終確定解決問題的方法和提供解決問題的步驟。

當(dāng)然，“數(shù)學(xué)模型”的形成與構(gòu)建，是學(xué)生在問題解決的過程中，利用已有的“數(shù)學(xué)模型”構(gòu)造新的“數(shù)學(xué)模型”的過程。“數(shù)學(xué)模型”的建立也不是一個簡單的過程，需要學(xué)生經(jīng)歷一個反復(fù)的過程。

從教學(xué)過程來看，出示這個問題后，學(xué)生并不容易想到可以用畫線段圖的方法來解決，因?yàn)檫@道題沒有明顯的用畫線段圖解決的標(biāo)志，比如三年級學(xué)習(xí)的倍數(shù)問題。所以在學(xué)習(xí)完這一問題后，學(xué)生會形成以下三種層次的“經(jīng)驗(yàn)”，當(dāng)然最終的“經(jīng)驗(yàn)”會轉(zhuǎn)變?yōu)椤皵?shù)學(xué)模型”，最終形成“模型思想”。

層次一：當(dāng)學(xué)生下次再遇到類似的問題時，學(xué)生會想到用過的方法來畫出；層次二：在經(jīng)過多次遇到類似的問題后，在腦海里在意識中抽象出這一“數(shù)學(xué)模型”；層次三：在形成這樣一種簡單的“數(shù)學(xué)模型”后，能否面對問題的提升和外延。

學(xué)生在解決這樣類似的問題的過程中，是根據(jù)每個個體不斷地總結(jié)和提煉的。老師在學(xué)生“數(shù)學(xué)模型”建構(gòu)的過程中，要扮演引導(dǎo)者和輔導(dǎo)者的角色。

在問題解決的教學(xué)過程中，能夠簡單地搜集信息、整理信息，從數(shù)學(xué)的角度，用數(shù)學(xué)的眼光去提出問題還是不夠的，解決生活中數(shù)學(xué)問題的目標(biāo)是讓學(xué)生運(yùn)用已有知識和能力發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，因此還要讓學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)學(xué)問題到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”，形成“模型思想”是非常有必要的。對于部分學(xué)生來說是有一定難度的，需要教師的正確引導(dǎo)、同學(xué)的幫助，更重要的是讓學(xué)生本人在問題解決的過程中，不斷地感知、質(zhì)疑、思考、釋疑，從而形成并構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”。

數(shù)學(xué)模型的建立需要一個反復(fù)的過程，即指“從數(shù)學(xué)的角度，對所需研究的問題進(jìn)行模擬，舍去無關(guān)因素，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。具體地說，學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷提出問題、舉例驗(yàn)證、自我反思、完善規(guī)律、建立模型這樣一個過程。這不僅是一個主動學(xué)習(xí)、構(gòu)建模型的過程，更是一個創(chuàng)新學(xué)習(xí)的過程，是學(xué)生漸漸形成自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的過程。

二、在“模型思想”的基礎(chǔ)上助“問題解決”

小學(xué)階段，對于學(xué)生來說，問題解決是學(xué)生經(jīng)歷探索和克服困難的學(xué)習(xí)過程。在這一過程中，所使用的方法、策略是新的，至少從某種角度看，部分環(huán)節(jié)和途徑是新的。這些策略、方法、途徑等都是學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)、方法策略等的重新組合和配對，同時略有提升和拓展。教師應(yīng)當(dāng)了解數(shù)學(xué)模型及建模思想，并在教學(xué)中滲透這種思想。

以“數(shù)學(xué)模型”的形成來看，從生活情境到數(shù)學(xué)模型的過程，更多是數(shù)學(xué)模型從思維模型狀態(tài)向形式模型狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過程；而從數(shù)學(xué)模型到生活情境則是數(shù)學(xué)模型從形式模型狀態(tài)再次回到思維模型狀態(tài)，是幫助學(xué)生進(jìn)一步積累模型經(jīng)驗(yàn)，從而提升數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用水平的過程。

對于認(rèn)知層次，在教學(xué)過程中是需要教師作一定的引導(dǎo)和點(diǎn)撥的，這也是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的真正價值所在。在問題解決的過程中，需要靈活解構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力?？傊Ｐ退枷胧菙?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想之一，需要教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行適時適度培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科，只有在問題解決與實(shí)踐應(yīng)用中才能把握數(shù)學(xué)知識的精髓。作為課標(biāo)中十大關(guān)鍵詞之一的“模型思想”，它的作用自然處于所有數(shù)學(xué)應(yīng)用之心臟。因此，在問題解決的過程中成功地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型后，還需要拓展模型來解決生活中的實(shí)際問題，以實(shí)現(xiàn)形式上的數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實(shí)生活的回歸。因此，模型思想的滲透與形成，需要借助問題解決，而問題解決也需要模型思想在其中發(fā)揮重要的作用?！?/p>

（作者單位：江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)方洲小學(xué)）