初中數(shù)學運用化歸思想解題初探

朱衛(wèi)星

摘 要： 中學數(shù)學知識中蘊含著許多思想方法，就解決問題而言，化歸思想是解決問題的基本思想方法.利用已有知識經(jīng)驗，化生為熟；應用思維策略，化繁為簡；運用逆向思維，化正為反；借助數(shù)學圖形工具，化抽象為具體.通過化歸思想，提高學生綜合應用數(shù)學思想的意識與能力.

關鍵詞： 化歸思想 解題能力 初中數(shù)學教學

在中學，就解決問題而言，化歸方法是解決問題的基本思想方法.所謂化歸，就是把待解決的問題通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中，借此獲得原問題解決的一種思想方法.在初中生的數(shù)學知識體系中，貯藏了一定量的數(shù)學公理、性質(zhì)、定理等基礎知識，通過化歸方法，把所要解決的問題轉化為學生比較熟悉、比較容易的問題，方便求解.化歸的基本模式：

以下是我結合教學過程中的體會，對初中數(shù)學運用化歸思想解題的初探.

一、利用已有知識經(jīng)驗，化生為熟

學習是一個在已有知識經(jīng)驗體系基礎上不斷積累的過程，后續(xù)新知識的學習與解決問題的策略方法，都離不開學生原有的知識體系和數(shù)學素養(yǎng).化歸之“化”，即是將面臨的新問題“轉化”為比較熟悉的問題，在陌生中努力尋找熟悉的因素，以便將問題向著我們熟悉的方向轉化，努力尋找與問題比較接近而又是相對熟悉的問題，化生為熟，運用已知結論或已有解題經(jīng)驗，使問題得到解決.

例1：蘇科版九年級上冊中，證明圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.

分析：經(jīng)過操作與思考，學生認識到一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，這些圓周角對于圓心的位置有3種.如圖，①圓心在圓周角的一邊上；②圓心在圓周角的內(nèi)部；③圓心在圓周角的外部.對于第一種情形，①圓心在圓周角的一邊上，利用等邊對等角、外角性質(zhì)，學生能證明其余兩種情形.引導學生自主探索，通過添加輔助線，轉化成第一種情形來證，從而總結出一般規(guī)律，圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.

解：如圖1，①當圓心在圓周角的一邊上

設∠A=x

∵OA=OB

∴∠OBA=∠OAB=x

∵∠BOC是∠OBA的外角

∴∠BOC=∠OBA+∠OAB=2x

∴∠BAC=∠BOC

如圖2，②當圓心在圓周角的內(nèi)部：

作直徑AD，轉化成①的情形，圓周角∠BAC=∠BAD+∠CAD；

③當圓心在圓周角的外部：

作直徑AD，轉化成①的情形，圓周角∠BAC=∠BAD-∠CAD.

上述例題中，在學生已解決問題①：當圓心在圓周角的一邊上的前提下，采用迂回的手段將要解決的問題②：圓心在圓周角的內(nèi)部；③：圓心在圓周角的外部，通過添設輔助線，作直徑AD，變換成熟悉的第一種情形，使問題得以解決.

二、應用思維策略，化繁為簡

當所遇問題結構比較復雜，對于一般學生來講很難直接求解時，我們通?？伤伎急M可能將問題轉化為比較簡單的易于確定解題方向的問題，從而使新問題得到解決.

∴原方程的解為：-2和1.

通過恰當換元，對問題做形式上的轉換，這樣就容易揭示出問題的內(nèi)在聯(lián)系，化繁為簡，化難為易，使問題輕松獲解，有利于后進生樹立學習信心.

三、運用逆向思維，化正為反

我們在解決問題時，一般從分析題目中的已知條件入手，層層推理，得出所需要求證的結論，有時我們也可以運用逆向思維，化正為反，從與常規(guī)思維相反的方向認識問題，從對立的角度思考問題，尋求解題途徑，提高學生分析思維能力和解決復雜問題的能力.

例3：判斷命題“在一個三角形中，至少有兩個銳角，最多有一個鈍角”的真假.

分析：假設三角形中銳角的個數(shù)少于2個，那么三角形中就會出現(xiàn)兩個或兩個以上的角是鈍角或直角，兩個鈍角或兩個直角的和加上第三個角的度數(shù)一定大于180°，這就違背了三角形內(nèi)角和是180°的性質(zhì)，所以一個三角形至少有2個銳角，最多有1個鈍角，從而得出原命題是假命題.

例4：二次函數(shù)y=x+bx+c的圖像向左平移三個單位，再向上平移2個單位，得二次函數(shù)y=x-2x+1的圖像，求b、c的值.

分析：將二次函數(shù)y=x-2x+1的圖像沿著反方向平移，即向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到二次函數(shù)y=x+bx+c的圖像，就能輕松求出b、c的值.

我們在解決一些問題時，可以運用逆向思維，從問題的對立面入手，化正為反，易于問題的解決.

四、借助數(shù)學圖形工具，化抽象為具體

數(shù)學學科具有高度的抽象性，為了便于理解問題，平時引導學生根據(jù)題意，把涉及的各個數(shù)量及數(shù)量之間的關系用圖形表示出來，化抽象為具體，增強直觀性，有利于問題的求解.

例5：如圖1，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC.已知AB=2，DE=1，BD=8，設CD=x.

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；

（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小；

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結論，請求出代數(shù)式的最小值.

分析：在解決問題（3）時，我們可以模仿圖1，并由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，如圖2，則AE的長即為代數(shù)式的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值.借助數(shù)學圖形工具，把求形如的代數(shù)式的最小值，化為直角三角形，利用勾股定理求解.把“數(shù)”的問題，通過“形”使之直觀化，使原問題易于獲得解決.

在列方程解決應用題中，我們常常通過畫線段或畫圖表等方法，將問題直觀化，這樣就容易理解問題中相關數(shù)量之間的關系.

例6：某種商品以8元購進，若按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)采用提高售價，減少進貨量的辦法來增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷售量就減少10件.

（1）當售價提高多少元時，每天利潤為700元？

（2）設售價為x元，利潤為y元，請你探究售價為多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？分析：設應漲價x元，每天利潤為700元.

在此銷售問題中，涉及漲價前、后的進價、售價、利潤和銷售量，數(shù)量較多，引導學生用畫圖表的方法，把這些相關的數(shù)量列出來，增強直觀性，方便學生表達漲價后銷售量的代數(shù)式，有利于本題的解決.

化歸思想是數(shù)學學習中的一種重要思想，是數(shù)學解題中普遍使用的方法，平時在教學中引導學生充分審題，仔細觀察，挖掘題意中隱藏的化歸思想方法，充分調(diào)動和運用我們已有的知識、經(jīng)驗和方法，有利于問題的解決，不斷總結應用化歸方法解決問題的規(guī)律，提高學生綜合應用數(shù)學思想的意識與能力.

參考文獻：

[1]孫高傳.淺談運用化歸思想解題的策略.

[2]曹曉梅.如何在初中數(shù)學解題中運用化歸思想.