歷史上的相似三角形

呂愛生

相似三角形知識有著悠久的歷史，為我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了豐富的材料. 在不同文明的不同歷史時期，相似三角形在測量上都曾有著重要的應(yīng)用，本文將介紹這方面有關(guān)的幾則歷史故事.

“圖形的相似”是初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容之一，相似三角形的判定、性質(zhì)和應(yīng)用是其中最重要的內(nèi)容，從歷史上看，相似三角形很早就已經(jīng)為人們所認(rèn)識. 大約公元前20世紀(jì)，在古巴比倫泥版文獻(xiàn)中就已經(jīng)出現(xiàn)相似三角形的應(yīng)用問題；公元前6世紀(jì)，古希臘的工程師歐帕里諾斯在設(shè)計隧道挖掘工程時就可能運用了相似三角形的性質(zhì)；古希臘幾何學(xué)的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性質(zhì)來解決相關(guān)測量問題；我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的遠(yuǎn)距離測量技術(shù)也是以相似三角形的性質(zhì)為基礎(chǔ)的. 下面來講些實例.

我國明末清初時的“梅氏數(shù)學(xué)家家族”祖孫四代人，共有十多位數(shù)學(xué)家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孫子梅玨成.

這里有一則關(guān)于梅玨成的記載：一天，他外出游玩時，看見路邊有幾個農(nóng)民正在測量一塊直角三角形形狀的田地. 他就走過去，詢問起來. 原來這幾個農(nóng)民想在這塊直角三角形田上砌一個正方形的池子，并要求這個正方形的面積盡可能大.

梅玨成問明了兩個測量出來的數(shù)字（一條直角邊長24米，另一條直角邊長10尺）以后，說：“這很簡單，只要設(shè)所求的正方形邊長為x，利用兩個相似三角形的對應(yīng)邊成比例關(guān)系，即可得：24∶x=10∶（10-x），x=（尺），即為所求. ”

幾個農(nóng)民聽完后，連聲稱贊道：“先生真了不起！我們對算術(shù)可是一竅不通. ”親愛的同學(xué)，你可聽明白了梅玨成的話沒有？

我國《九章算術(shù)》勾股章有如下兩道問題，你能寫出解題過程嗎？

例1 今有邑方二百步，各開中門.出東門一十五步有木.問：出南門幾何步而見木？（如圖1）

例2 今有井徑五尺，不知其深.立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸. 問：井深幾何？（如圖2）

古希臘幾何學(xué)的鼻祖泰勒斯年輕時游歷埃及，測得金字塔的高度.請你復(fù)原泰勒斯的測量方法.（參見圖3）

古希臘第八大島嶼——薩默斯島上有一條修建于公元前6世紀(jì)的供水薩默斯隧道，如圖4，隧道長1 036米，橫截面寬和高各為1.8米，筆直地穿過了一座小山.為了縮短建成時間，設(shè)計者歐帕里諾斯讓工程隊從小山兩邊同時開始挖掘，兩隊在山體中間會合.

試想，在2500多年前，沒有任何現(xiàn)代化的儀器，如何保證兩支工程隊不偏不倚正好在山底的某處相遇？令人驚嘆的是，歐帕里諾斯做到了，隧道一線貫通，兩支工程隊會合得天衣無縫.他是怎么做到的呢？與我們所學(xué)的相似三角形有什么關(guān)系呢？你想知道其中的奧秘嗎？

歐帕里諾斯實質(zhì)是聰明地運用了相似三角形知識（定義、判定定理），保證了四點共線，才創(chuàng)造了一個水利工程奇跡.

他是這樣解決這個問題的：要在兩個入口A與B之間挖一條隧道. 從B點處出發(fā)任作一直線段BC，過C作BC的垂線CD，然后，依次作垂線DE、EF、FG、GJ，直至接近A點. 在每一條線段的一個端點處能看到另一個端點. 在最后一條垂線GJ上選取點J，使得AJ垂直GJ. 設(shè)AK為CB的垂線，K為垂足，則AK=CD-EF-GJ，BK=DE+FG-BC-AJ. 再在BC和AJ上分別取點L和點N，過點L和點N分別作BC和AJ的垂線，在兩垂線上分別取點M和點P，使得，于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP為一組相似三角形，因此，點P、A、B、M在一條直線上. 所以，只需保證在隧道挖掘過程中，工人始終能看見點P和點M的標(biāo)識即可.

實際上，像這樣的生活奇跡有很多，創(chuàng)造者都是那些愛動腦筋、善于思考的人，希望同學(xué)們能像他們那樣，將學(xué)習(xí)融入生活，將生活看作學(xué)習(xí).

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團(tuán)近湖校區(qū)）