數(shù)形結(jié)合讓方程函數(shù)化

李洪慶

題記：著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)“數(shù)形結(jié)合千般好，隔裂分離萬(wàn)事休”.

【引例】二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像如圖1，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為（ ）.

A. -3 B. 3

C. -6 D. 9

【常規(guī)思路】題說(shuō)“二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像如圖”，理應(yīng)先看圖，由二次函數(shù)的圖像可知：拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3，由此可得a>0和=-3，即b2=12a，再看題目中有“一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根”，這話告訴我們?chǔ)?b2-4am≥0，即12a-4am≥0，12-4m≥0，解得m≤3，從而問(wèn)題得解：m的最大值為3. 故選B.

【題后反思】答案不是解題的終結(jié)，回頭再看題目條件：一元二次方程ax2+bx+m=0中有ax2+bx，二次函數(shù)y=ax2+bx中也有ax2+bx，感覺(jué)兩者應(yīng)該有關(guān)聯(lián)，當(dāng)然上面的解答正是借助關(guān)聯(lián)的式子b2=12a得解的，讓我們換個(gè)角度思考一下. 我們知道方程研究的是“數(shù)”，二次函數(shù)的圖像是拋物線，研究的是圖形的性質(zhì)，更多地關(guān)注“形”，但二者聯(lián)系起來(lái)看，其實(shí)方程是函數(shù)的特殊情形，一元二次方程是二次函數(shù)解析式中y=0的特殊情形，一元二次方程的根的討論問(wèn)題對(duì)于二次函數(shù)來(lái)說(shuō)則是拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題. 為此，我們把一元二次方程ax2+bx+m=0變形為ax2+bx=-m，從函數(shù)的角度來(lái)看，一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根就是拋物線y=ax2+bx與直線y=-m有交點(diǎn). 根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像開(kāi)口向上，有最小值-3，直線y=-m經(jīng)過(guò)（0，-m），平行于x軸，當(dāng)-m≥-3，即m≤3時(shí)拋物線y=ax2+bx與直線y=-m有交點(diǎn)，一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根，所以m的最大值為3.

【方法提煉】常規(guī)思路是順其自然的解答，題后反思得到的數(shù)形結(jié)合的方法直觀簡(jiǎn)單. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，既分析問(wèn)題的代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，把數(shù)量關(guān)系與空間圖形巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái)，并利用“結(jié)合點(diǎn)”尋找解題思路，使問(wèn)題得到圓滿解決.

【應(yīng)用實(shí)例】

例1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，若ax2+bx+c=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）.

A. k<-3 B. k>-3

C. k<3 D. k>3

【思路分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像可得二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（如圖3），由于ax2+bx+c=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以k的取值范圍是k>3，選擇D.

例2 設(shè)一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m>0）的兩實(shí)根分別為α、β，則α、β滿足（ ）.

A. 1<α<β<2 B. 1<α<2<β

C. α<1<β<2 D. α<1且β>2

【思路分析】畫(huà)出二次函數(shù)y=（x-1）（x-2）和直線y=m的草圖4，由圖像可知α<1且β>2，選擇D.

例3 若x1、x2（x1

A. x1

B. x1

C. x1

D. a

【思路分析】畫(huà)出二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）和直線y=1的草圖5，由圖像可知x1

【思想提煉】數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的一種重要思想方法. “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)基本對(duì)象，對(duì)于一些問(wèn)題，單純地從“數(shù)”的角度去分析探求運(yùn)算會(huì)較繁瑣冗長(zhǎng)，如果能設(shè)法從“形”的角度構(gòu)造直觀圖形描述刻畫(huà)問(wèn)題的條件和結(jié)論，能使錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系變得清晰，解題思路流暢. 數(shù)形結(jié)合思想把形的直觀性與數(shù)的抽象性有機(jī)地結(jié)合在一起，借助于圖形的直觀性使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，我們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)該高度地重視. 通過(guò)“以形識(shí)數(shù)，以數(shù)解形”把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，充分利用形的直觀性和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性來(lái)思考問(wèn)題，拓展思路，這就是數(shù)形結(jié)合的核心價(jià)值.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)）