例談導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的典型問題及教學(xué)對策

黃明英

摘 要： 導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中比較重要的一章，它在解決數(shù)學(xué)有關(guān)問題方面起到工具的作用，可以巧妙地解決許多初等數(shù)學(xué)問題.但同學(xué)們對導(dǎo)數(shù)基本概念、理論的理解存在著誤區(qū)，會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，本文著重探討糾正錯誤的教學(xué)方法.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性和拐點(diǎn) 極值 錯因

我們在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像和性質(zhì)時，常常因?yàn)閷徸x不夠充分，沒有注意到題設(shè)隱含條件對值域范圍的限制而導(dǎo)致解答出錯.從避免或減少這類錯誤的角度考慮，本文通過對一道函數(shù)題解答中的錯誤展開分析與探究，暴露錯誤的發(fā)生過程，挖掘錯誤根源，探討糾正錯誤的教學(xué)方法.

一、發(fā)現(xiàn)錯誤

二、錯因分析

三、糾錯方法

在教學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的這種錯誤屢見不鮮，那么如何才能讓學(xué)生盡量減少或避免在導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)圖像中出現(xiàn)的類似錯誤？

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的錯誤不可能單獨(dú)依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內(nèi)在的“觀念沖突”作為必要的前提，利用學(xué)習(xí)錯誤，引發(fā)“觀念沖突”，能促使學(xué)生對已完成的思維過程進(jìn)行周密的再思考.所以在導(dǎo)數(shù)的初步應(yīng)用教學(xué)時，教師應(yīng)緊扣教材，適時為學(xué)生創(chuàng)造一個尋找“錯誤”的環(huán)境，把很多學(xué)生解題時不太注意細(xì)節(jié)在課堂上暴露出來，讓學(xué)生及時意識到錯在何處，錯誤原因及如何改正，把錯誤消滅在萌芽狀態(tài).

如對學(xué)生在導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)圖像中出現(xiàn)錯誤的教學(xué)處理，可循序漸進(jìn)地安排如下題組訓(xùn)練，暴露學(xué)生的解題錯誤.

（1）根據(jù)圖示，畫出原函數(shù)的大致圖像；

（2）根據(jù)所畫的圖像，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在（-∞，1）上的值域；

（3）判斷函數(shù)f（x）=m（m∈R）的零點(diǎn)個數(shù).

問題（1）的設(shè)計(jì)意圖是在易錯的環(huán)節(jié)設(shè)置“陷阱”，誘使學(xué)生陷入歧途，制造思維沖突，暴露學(xué)生思維的薄弱環(huán)節(jié).讓學(xué)生自主思考后，請三名學(xué)生上臺板演，學(xué)生的典型錯誤是在畫圖像時，只考慮了單調(diào)性和拐點(diǎn)，圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、拐點(diǎn)的高低位置卻大不相同.

學(xué)生對自己的解答將信將疑，難得糊涂，給出問題（2），在解答過程中，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)所畫圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有誤，拐點(diǎn)的高低也有問題.此時，不用提示，學(xué)生自己就發(fā)現(xiàn)了問題所在，并糾正了作圖的錯誤.適時地給出問題（2），一下子讓學(xué)生的思維從定勢中跳出來，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突.

學(xué)生有了回避錯誤的經(jīng)驗(yàn)積累和知識建構(gòu)，在此基礎(chǔ)上給出問題（3）.學(xué)生在解答過程中，意識到利用導(dǎo)數(shù)畫圖像不但要注意拐點(diǎn)的高低問題，而且要注意到函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化趨勢.此時再引導(dǎo)學(xué)生利用極值判斷拐點(diǎn)的高低，注意利用圖形的趨勢將圖形畫得盡量準(zhǔn)確，使學(xué)生突破眼前的思維障礙，在錯誤中生成正確.對于容易失誤的題型，索性放任學(xué)生去錯誤理解，讓他們在出錯后猛醒，這遠(yuǎn)比教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)效果要好得多.

復(fù)合函數(shù)與三次函數(shù)的變化趨勢不盡相同，在幫助學(xué)生明“錯”知‘理”后，教師還要善于將問題進(jìn)行變式，做好解題的分析和解題過程示范，讓學(xué)生更全面、更深刻地理解問題的實(shí)質(zhì)，避免錯誤“重犯”，做到“深入淺出”.

分析：該題是函數(shù)綜合題，通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值，再利用奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解，在作圖過程中引導(dǎo)學(xué)生利用極值判斷拐點(diǎn)的高低，必須考慮當(dāng)x>2時，f（x）恒大于0且x趨向+∞時，f（x）趨向0，力求作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性.

這種教學(xué)處理方式，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個由出錯、辯錯到糾錯，再到突破、提升的思辨過程，不但加深了對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的知識理解，而且免受了思維定勢的干擾，他們的糾錯能力在這一過程中得到了提高.

學(xué)生解題錯誤的原因是多種多樣的，教師要正視學(xué)生的錯誤，挖掘錯誤根源，巧妙設(shè)置問題，將糾正學(xué)生錯誤看做自己教學(xué)的一部分，針對不同的學(xué)生、不同的錯誤、選擇合適的教學(xué)策略，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及糾錯能力，最終讓錯誤成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的亮點(diǎn).