旋轉(zhuǎn)的鉛筆

宋陽(yáng)光

要說(shuō)最有趣的教科書(shū)，非數(shù)學(xué)書(shū)莫屬了！在這里，你不僅可以看到各式各類(lèi)的問(wèn)題，可以找到各種各樣與生活相關(guān)的案例.因此，閑暇時(shí)光，我喜歡抱著數(shù)學(xué)書(shū)琢磨.比如在《平面圖形的認(rèn)知（二）》中有這么一個(gè)問(wèn)題：

如圖，鉛筆放置在△ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到點(diǎn)B的方向.把鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠A、∠B、∠C的度數(shù)，筆尖方向發(fā)生了怎樣的變化？這種變化說(shuō)明了什么？

這個(gè)題目大家肯定都做過(guò)吧，按要求轉(zhuǎn)動(dòng)后，鉛筆的筆尖向左了，也就是和原來(lái)的筆尖方向是相反的，鉛筆旋轉(zhuǎn)了一個(gè)平角度數(shù)，即180°.在這個(gè)變化過(guò)程說(shuō)明，鉛筆連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的∠A、∠B、∠C的度數(shù)和是180°，也就是說(shuō)明了三角形的內(nèi)角和是180°.

只要?jiǎng)觿?dòng)鉛筆，數(shù)學(xué)問(wèn)題就能解決，是不是很有趣？和大家再分享兩個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題.

面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，許多人的第一反應(yīng)便是考慮多邊形的內(nèi)角和、外角和一步步推導(dǎo)，肯定會(huì)很麻煩，因此我們可以嘗試使用上面旋轉(zhuǎn)鉛筆的方法.

答：（1）我們以逆時(shí)針?lè)较騺?lái)轉(zhuǎn)動(dòng)鉛筆.首先，如下圖從x的地方開(kāi)始逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)到達(dá)一個(gè)新的邊上.然后，將鉛筆移到此邊的另一端再逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)40°，就會(huì)移到另一個(gè)新的邊上.在此邊的另一端再逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)50°，如此下去接著逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)40°、30°，最后就會(huì)回到原來(lái)的邊上.此時(shí)鉛筆轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與原來(lái)的方向是相反的.也就是說(shuō)，鉛筆剛好轉(zhuǎn)動(dòng)了半圈.因此，把剛剛轉(zhuǎn)動(dòng)的所有角度加起來(lái)，就正好是180°.

借這個(gè)有趣的方法，就可得到x = 180°-40°-40°-50°-30°=20°.

（2）下圖中由A邊轉(zhuǎn)到B邊的y的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，以左側(cè)鋸齒狀的部分來(lái)表示.

保持A的方向不變，往上移動(dòng).然后如①做轉(zhuǎn)動(dòng)，接著往下移動(dòng)，然后做②的轉(zhuǎn)動(dòng)……最后就如⑤做轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)變?yōu)楦鶥同樣方向.也就是說(shuō)，由A到B轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，與動(dòng)作①到⑤的轉(zhuǎn)動(dòng)角度是相同的.把逆時(shí)針?lè)较蛴洖檎嵌龋槙r(shí)針?lè)较蛴洖樨?fù)角度，那么y=110°+55°-（40°+65°+20°）=40°

利用這個(gè)原理，我們還可以輕松驗(yàn)證“多邊形外角和為360°”的定理，并由此推出正多邊形的外角、內(nèi)角……諸如此類(lèi)，凡是與多邊形角度有關(guān)的問(wèn)題，“旋轉(zhuǎn)鉛筆”這個(gè)方法都可以或多或少的幫助你.

是不是很奇妙？當(dāng)你的鉛筆無(wú)法在推導(dǎo)公式上延續(xù)，不妨旋轉(zhuǎn)你的鉛筆，說(shuō)不定你忠實(shí)的雙手會(huì)告訴你準(zhǔn)確的答案.

旋轉(zhuǎn)鉛筆的妙用，就是在你面對(duì)求多邊形角度的問(wèn)題的時(shí)候，可以省卻漫長(zhǎng)的推導(dǎo)，在理清楚步驟之后便可輕松解決.

若想在數(shù)學(xué)的海洋暢游，不僅需要先輩留給你的各種定理、工具，更需要你的使用和創(chuàng)造.記住，善用你的雙手是另一條通往成功的道路！

（指導(dǎo)老師：浦長(zhǎng)宇）