幾何直觀在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中的運用

金建琴

摘 要： 隨著數(shù)學(xué)課程標準指出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀便成為數(shù)學(xué)教育的一個重要問題。本文通過在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運用幾何直觀的實踐與探索，闡述運用幾何直觀對理解數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、探究計算方法和分析數(shù)量關(guān)系四方面的作用，提出運用幾何直觀教學(xué)是新教材的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。

關(guān)鍵詞： 幾何直觀 小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)與代數(shù) 教學(xué)運用

幾何直觀是數(shù)學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法之一?！墩n程標準（2011版）》指出：幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。就如何在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運用幾何直觀這一問題，筆者進行了實踐與探索。

一、運用幾何直觀，形成數(shù)學(xué)概念

德國哲學(xué)家康德認為：“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的?！毙W(xué)生形象思維占主導(dǎo)地位，對知識的理解應(yīng)該建立在豐富典型的直觀表象基礎(chǔ)上。因此，把教材中靜止的、較難理解的概念，運用幾何直觀生動形象地呈現(xiàn)出來，使抽象的概念變成看得見的數(shù)學(xué)知識，有助于學(xué)生更直觀地理解所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

如教學(xué)四年級《速度、時間和路程》這節(jié)課，速度概念的理解是本節(jié)課的教學(xué)重點，也是解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)。速度這個詞在生活中經(jīng)常出現(xiàn)，學(xué)生一般也能知道通常說的快慢指的就是速度。但它不同于路程和時間，因為路程這個量是學(xué)生能夠直觀看到，非常明確，時間也是學(xué)生常見的，而速度概念比較抽象，是指單位時間內(nèi)運動的路程，其單位是由長度單位和時間單位兩部分復(fù)合組成，這種表示形式學(xué)生比較陌生，理解起來有一定的困難。所以，在教學(xué)中我充分運用直觀圖。首先情境導(dǎo)入，學(xué)校到書店有300米，小明要走4分鐘，小紅要走6分鐘，誰走得快些？學(xué)生通過計算，發(fā)現(xiàn)小明每分鐘走75米，小紅每分鐘走50米，小明快些。這時候?qū)W生是通過數(shù)據(jù)的比較解決問題的，對這個數(shù)據(jù)表示的就是速度，概念的理解還非常模糊。這時候，老師出示兩段同樣長的線段，表示300米，分別平均分成4份和6份。指出一段就是“每分走多少米”，也就是他們各自的速度，通過每份長短的比較，明白小明的速度比小紅要快一些。通過幾何直觀把速度這個概念具體形象化，幫助學(xué)生突破概念理解上的難點，真正把握概念的實質(zhì)和內(nèi)涵。

又如《百分數(shù)的意義》的教學(xué)，這節(jié)課的重點是讓學(xué)生理解百分數(shù)的含義，明確是兩個量之間的比較關(guān)系。教學(xué)時可以通過直觀圖深化理解這一概念。首先出示信息：鹽占鹽水的30%，讓學(xué)生在百格圖中表示出這個百分數(shù)，并說一說鹽和鹽水各指哪一部分。在涂畫百格圖和兩個量的比較中，幫助學(xué)生建立起對抽象的20%與相應(yīng)的直觀圖的認知聯(lián)系，形成相應(yīng)的認知圖式，這是對任何一個百分數(shù)的理解最基本的形象支撐。隨后老師要求學(xué)生在10等份的線段圖上表示出這個30%。追問：為什么平均分成10份，也可以表示出30%？學(xué)生經(jīng)過思考，得出把10份中的每一份想象成再平均分成10小份，這樣整條線段就平均分成100份，而其中的3大份就是30小份，所以同樣可以表示20%。這樣，在兩幅圖的比較中幫助學(xué)生逐步脫離具體的100份，加深了對百分數(shù)意義的理解。在教學(xué)中，運用幾何直觀既能加深學(xué)生對知識的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和用圖形語言思考問題的能力。

二、運用幾何直觀，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)А?/p>

如教學(xué)《積的變化規(guī)律》這節(jié)課，它是在學(xué)生掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，主要引導(dǎo)學(xué)生探索當一個因數(shù)不變時，另一個因數(shù)與積的變化情況，從而歸納積的變化規(guī)律。因此，一般老師在教學(xué)時都是先出示幾組算式，通過計算，觀察因數(shù)和積的特點，初步概括出規(guī)律，然后讓學(xué)生通過舉例進行驗證，最后運用規(guī)律解決問題。當然，這樣的教學(xué)對凸現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)自主性有一定的作用，但是如果在這節(jié)課中與平面圖形面積研究相結(jié)合，讓學(xué)生借助圖形的面積變化理解積的變化規(guī)律，則不僅更容易掌握知識，而且對學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)有很大的作用。教學(xué)中，教師先出示一個長方形，已知它們的長和寬分別為80、60，學(xué)生計算出面積為80×60=480。然后長方形的長不變，將寬縮短，讓學(xué)生估計變化后長方形的面積大約是多少，并說說估計的方法。學(xué)生紛紛表示長方形長不變，寬縮小，所以面積也縮小，估計都縮小了3倍。然后驗證學(xué)生估計是否正確。在這個環(huán)節(jié)的設(shè)計中，學(xué)生借助圖形的變化意識到，當長方形的長不變，面積隨著寬的縮小而縮小。接著長方形長還是不變，將長方形的寬擴大，讓學(xué)生說說這時候長方形的面積變化。當學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積的變化規(guī)律后，老師讓學(xué)生觀察算式進行小結(jié)：兩個數(shù)相乘，這兩個數(shù)叫因數(shù)，其結(jié)果叫積。那么你能根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，說說算式中因數(shù)和積的變化情況嗎？于是，積的變化規(guī)律就水到渠成地總結(jié)出來。借助長方形面積與長和寬的關(guān)系，理解積的變化規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀的意識，并且在估計中發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

和代數(shù)相比，幾何給人以生動、直觀的形象。因此，正比例意義的學(xué)習(xí)，可以借助正比例關(guān)系圖像的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會正比例圖像的特點和作用，加深對正比例意義的認識。教學(xué)時，通過數(shù)據(jù)表在坐標系里描點，連成一條直線，然后通過觀察圖像，使學(xué)生了解從這個圖像可以直觀看到兩個量的變化情況，一個量增加，另一個量隨之增大。而且明白利用正比例關(guān)系圖像，不用計算，可以由一個量的值，直接找到對應(yīng)的另一個量的值，體會正比例圖像直觀形象的優(yōu)勢。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，形成良好的思維品質(zhì)。

三、運用幾何直觀，探究計算方法

計算課的教學(xué)重點是讓學(xué)生探究計算方法的過程，理解算理。運用幾何直觀理解算理更有效。如在教學(xué)《分數(shù)乘分數(shù)》一課時，可以讓學(xué)生通過畫圖，將圖與式對應(yīng)起來，深刻地理解算理。先出示例題：“粉刷工人粉刷完一塊墻需要5小時，每小時粉刷這塊墻的幾分之幾呢？”指導(dǎo)學(xué)生畫一個長方形當做墻，學(xué)生很容易就表示出每小時粉刷的是這塊墻的（如圖1）：

四、運用幾何直觀，分析數(shù)量關(guān)系

徐利治先生提出，幾何直觀是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。利用幾何圖形的直觀對問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進行表述，幫助學(xué)生分析問題和解決問題，這是一種非常重要的策略。

如教學(xué)《用連除解決問題》時，通過情境圖（如圖3）引導(dǎo)學(xué)生在收集和整理信息的過程中發(fā)現(xiàn)要解決“每個小圈有多少人”這個問題還需解決一個中間問題，從而學(xué)會用連除解決問題，同時建立起解決這類問題的數(shù)量關(guān)系的模型，并能解釋應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)解決此類問題打下基礎(chǔ)。因為前一節(jié)課是學(xué)習(xí)用連乘解決問題，學(xué)生已經(jīng)有了從不同角度尋找解決問題的策略經(jīng)驗，所以這節(jié)課在學(xué)生理解題意后，筆者大膽放手讓學(xué)生直接嘗試用不同的方法解決問題。當學(xué)生列出三種不同的算式時，提示他們可以嘗試用圖解釋這三種算式所表示的意義，再引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖比較三種算法之間的聯(lián)系與區(qū)別。隨后，筆者又出示類似的題目：有400本書要放在2個書架上，每個書架有5層，每層可以放幾本書？要求學(xué)生列出算式后用圖表示出來，結(jié)果他們發(fā)現(xiàn)畫出的直觀圖與前一題畫出的圖是相同的，明白雖然這兩道題目的情境不同，總量不同，但題目中蘊含的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是相同的。最后，筆者又問：像這樣的圖還可以解決怎樣的問題？借助幾何直觀把復(fù)雜問題用畫圖的形式表達出來，是“去情境化”的過程，是一個數(shù)學(xué)建模的過程，它把情境中的數(shù)量關(guān)系進行提煉，并且直觀表達，然后運用這個數(shù)學(xué)模型解決類似的問題。這樣教學(xué)，形象思維由圖形帶來的直覺，增進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，增強其創(chuàng)造能力。

在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中運用幾何直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形語言有機地結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。這樣教學(xué)，有助于加深學(xué)生對知識的理解，進而促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。因此，運用幾何直觀教學(xué)是新教材的要求，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。

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