函數(shù)定義域與思維品質(zhì)

唐金春

思維品質(zhì)是指個(gè)體思維活動特殊性的外部表現(xiàn)，它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì).函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)十分有益.

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的.如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式.

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還不完整，缺少自變量x的范圍，也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密.因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：0

即函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）（0

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響.若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性.若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好的思維嚴(yán)密性.

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯栴}.如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤.如：

例2：求函數(shù)y=x■-2x-3在[-2，5]上的最值.

解：∵y=x■-2x-3=（x■-2x+1）-4=（x-1）■-4

∴當(dāng)x=1時(shí)，y■=-4

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路來做的，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生的思維缺乏靈活性.

其實(shí)以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)-■

（2）當(dāng)-■>p時(shí)，y=f（x）在[p，q]上單調(diào)遞減函數(shù)f（x）■=f（p），f（x）■=f（q）；

（3）當(dāng)p≤-■≤q時(shí)，y=f（x）在[p，q]上最值情況是：

f（x）■=f（-■）=■，

f（x）■=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個(gè)值.

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5

∴f（-2）=（-2）■-2×（-2）-3=-3

f（5）=5■-2×5-3=12

∴f（x）■=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

∴函數(shù)y=x■-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出思維的靈活性.

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域.如：

例3：求函數(shù)y=4x-5+■的值域.

錯(cuò)解：令t=■，則2x=t■+3

∴y=2（t■+3）-5+t=2t■+t+1=2（t+■）■+■≥■

故所求的函數(shù)值域是[■，+∞）.

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t■+t+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，y■=1.

故所求的函數(shù)值域是[1，+∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要.若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性.

四.函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行.如：

例4：指出函數(shù)f（x）=log■（x■+2x）的單調(diào)區(qū)間.

解：先求定義域：

∵x■+2x>0

∴x>0或x<-2

∴函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（0，+∞）.

令u=x■+2x，知在x∈（-∞，-2）上時(shí)，u為減函數(shù)，

在x∈（0，+∞）上時(shí)，u為增函數(shù).

又∵f（x）=log■u在[0，+∞）是增函數(shù).

∴函數(shù)f（x）=log■（x■+2x）在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù).

即函數(shù)f（x）=log■（x■+2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）.

如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解.在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對題型，套公式，而沒有領(lǐng)會解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性.

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.如：

例5：判斷函數(shù)y=x■，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：∵2∈[-1，3]而-2？埸[-1，3]

∴定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱

∴函數(shù)y=x■，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)

若學(xué)生按照以上過程解完這道題目，就能很好地體現(xiàn)出解題思維的敏捷性.

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性就會得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

∵f（-x）=（-x）■=-x■=-f（x），

∴函數(shù)y=x■，x∈[-1，3]是奇函數(shù).

錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦]有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因.

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能引導(dǎo)學(xué)生精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域?yàn)镽來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

參考文獻(xiàn)

[1]王岳庭主編.數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與中學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)論文集.北京：海洋出版社.

[2]田萬海主編.數(shù)學(xué)教育學(xué).浙江：浙江教育出版社.

[3]莊亞棟主編.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)（99.2、99.6）.揚(yáng)州：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部出版.