求微分方程通解和特解時應(yīng)注意的問題

劉德軍

摘 要： 本文揭示了在求解常微分方程通解的積分過程中，適當(dāng)放棄部分原函數(shù)可以提高求通解效率的原因，并對可否通過隱式通解求微分方程特解給出了判斷.

關(guān)鍵詞： 微分方程 通解 求解效率 特解 隱式通解

在常微分方程求通解的過程中，通過積分求原函數(shù)是必然要面對的問題.而很多積分較復(fù)雜，特別是被積函數(shù)中有絕對值符號出現(xiàn)時給求解帶來了極大的困難.學(xué)生在解此類微分方程時經(jīng)常會直接去掉被積函數(shù)中的絕對值符號進(jìn)行積分，而不知這樣是否回漏掉原微分方程的部分解.在這種情況下學(xué)生一方面想要準(zhǔn)確的計(jì)算積分，另一方面要為方便求解而莫名地改變原函數(shù)，難免會導(dǎo)致理論上的模糊.因此揭示微分方程通解的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生充分認(rèn)清微分方程通解的特點(diǎn)與解法是非常必要的.為了計(jì)算方便，我們通常求得的是微分方程的隱式通解，而對于一些給定初始條件的微分方程，最后求特解時如將初始條件代入所得隱式通解與代入顯示通解會出現(xiàn)矛盾情況.這就使得初始條件代入何種形式的通解可得正確特解的問題顯得尤為關(guān)鍵.下面結(jié)合實(shí)例詳細(xì)闡明以上兩類問題.

一、適當(dāng)簡化被積函數(shù)提高求解效率的方法及本質(zhì)

不難發(fā)現(xiàn)上述兩種情況下方程的通解在常數(shù)c具有任意性的意義下是完全相同的.這意味著我們在求通解的積分過程中可以放棄部分原函數(shù)，不但能使積分過程簡化，還能得到正確的通解，這正是學(xué)生在做題過程中可以采用簡化積分過程求微分方程通解的原因.

二、隱式通解對求特解的干擾

微分方程的通解有兩種形式，顯式通解與隱式通解.顯式通解的優(yōu)點(diǎn)是可以很直觀地給出解得具體表達(dá)式，隱式通解的優(yōu)點(diǎn)是省去了繁雜的顯化過程，從而可以節(jié)省求解時間，因此隱式通解被廣泛采用.但當(dāng)求滿足初始條件的特解時把初始條件代入隱式通解與顯式通解會出現(xiàn)不同的結(jié)果，我們看一個例子：

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