分析信息作出決策

諸廣平

同學(xué)們，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，你們有什么感受？可能你們會(huì)覺(jué)得本章和我們以往學(xué)過(guò)的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)有些不同. 確實(shí)，在“概率和統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”這一章里，既沒(méi)有復(fù)雜的計(jì)算，也很少涉及嚴(yán)密的邏輯推理，還無(wú)需同學(xué)們發(fā)揮豐富的空間想象能力. 不過(guò)，本章要求同學(xué)們對(duì)提供的信息作出分析，甚至要求根據(jù)分析作出決策. 下面，我們就對(duì)本章出現(xiàn)的一些典型問(wèn)題作一個(gè)回顧.

一、 關(guān)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

例1 判斷下列抽樣調(diào)查選取樣本的方法是否合適，并說(shuō)明理由：

（1） 為了解某地區(qū)老年人的健康狀況，在該地區(qū)醫(yī)院里調(diào)查了100名老年病人1年內(nèi)生病的次數(shù)；

（2） 某方便面廠家為了解產(chǎn)品質(zhì)量情況，在生產(chǎn)線上每100包隨機(jī)抽取1包進(jìn)行檢查；

（3） 為了解某城市的空氣污染情況，調(diào)查了該城市某個(gè)月的空氣污染情況.

這一題主要是考查同學(xué)們對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的理解. 一般來(lái)說(shuō)，判斷抽樣調(diào)查是否合理，主要是看提取的樣本是否具有代表性，以及總體中每個(gè)個(gè)體抽到的可能性是否相同. 本題中，第（1）小題調(diào)查的是該地區(qū)全體老年人的健康狀況，但是選取的樣本卻是醫(yī)院里的病人，根本不能代表所有的老年人，因此不具有代表性. 同樣第（3）小題只選取了某一個(gè)月的空氣污染情況，也不具有代表性，如果在每個(gè)月里隨機(jī)抽取若干天，會(huì)更合理. 只有（2）是合適的.

例2 （2010·福建廈門(mén)）小明學(xué)完了統(tǒng)計(jì)知識(shí)后，從“中國(guó)環(huán)境保護(hù)網(wǎng)”上查詢(xún)到他所居住城市2009年全年的空氣質(zhì)量級(jí)別資料，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法選取30天，列出下表：

請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下面問(wèn)題：

（1） 這次抽樣中“空氣質(zhì)量不低于良”的頻率為_(kāi)_____；

（2） 根據(jù)這次抽樣的結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)2009年全年（共365天）空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)是多少？

本題主要考查抽樣調(diào)查的作用：用部分估計(jì)總體，也就是用樣本的統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)量.

（1） 根據(jù)頻率等于頻數(shù)與總數(shù)的商，可以算得，這次抽樣中，“空氣質(zhì)量不低于良”的頻數(shù)是30-0-1-2=27，因此頻率為=0.9；

（2） 因?yàn)闃颖局锌諝赓|(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)a=30-（15+2+1）=12，頻率為0.4，因此估計(jì)總體（也就是全年的空氣質(zhì)量情況）中空氣質(zhì)量為優(yōu)的頻率也是0.4左右，所以估計(jì)全年空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為365×0.4=146（天）.

二、 利用統(tǒng)計(jì)分析作預(yù)測(cè)

例3 隨機(jī)調(diào)查了某校10名九年級(jí)男生的身高和體重，整理如下：

（1） 以體重為橫坐標(biāo)，身高為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的點(diǎn)，并選用一條適當(dāng)?shù)闹本€近似表示該校九年級(jí)男生身高與體重之間的關(guān)系；

（2） 求這10名男生身高與體重之間數(shù)量關(guān)系的近似表達(dá)式，并由該表達(dá)式估計(jì)該校身高為180 cm的九年級(jí)男生的平均體重.

在平面直角坐標(biāo)系中描好這10個(gè)點(diǎn)以后，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，為此我們可以選取其中兩個(gè)點(diǎn)，求出經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線表達(dá)式，就用這條直線表達(dá)式來(lái)近似地表示該校九年級(jí)男生身高與體重之間的關(guān)系（顯然，同學(xué)們可能會(huì)選取不同的兩個(gè)點(diǎn)，從而求出的直線表達(dá)式也會(huì)不同，不過(guò)沒(méi)有關(guān)系哦，因?yàn)橥瑢W(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)這些不同的直線差距很小，況且我們這里是用來(lái)近似表示兩者之間的關(guān)系）. 比如，我們選?。?9，170），（69，183）兩點(diǎn)，則可求得y=0.65x+138.15. 從而第（2）小題中，當(dāng)身高為180 cm時(shí)，可求得平均體重為64.4 kg.

三、 利用概率判斷是否公平

例4 一個(gè)不透明的袋子中裝著標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小球，這些球除顏色外都相同. 甲乙兩人共同協(xié)商了一個(gè)游戲規(guī)則：將球攪勻后，每人從中摸出一個(gè)球，其中摸出的球上的標(biāo)號(hào)大的一方獲勝.

（1） 若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙獲勝的概率；

（2） 若甲摸出的球放回后乙再摸球，此時(shí)制訂的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？

第（1）小題中，要求乙獲勝的概率，相信同學(xué)們應(yīng)該能輕松解決，對(duì)了，通過(guò)列表或者畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，列出所有可能的情況共12種，其中乙勝的情況數(shù)為6種，因此乙獲勝的概率為0.5；關(guān)于第（2）小題，要判斷游戲規(guī)則是否公平，同學(xué)們想想看，應(yīng)該根據(jù)什么來(lái)判斷呢？不錯(cuò)，就是看在該規(guī)則下甲乙兩人獲勝的概率是否相同！因此，只需算出甲乙兩人的獲勝概率，就可以作出判斷. 同樣列出表格或者樹(shù)狀圖，可以看到，現(xiàn)在的所有可能的情況是16種了，不過(guò)其中有四種是平局，另外甲勝有6種，乙勝也有6種，因此甲乙兩人獲勝的概率都是0.375，因此這個(gè)游戲規(guī)則是公平的.

同學(xué)們，這一類(lèi)問(wèn)題的解決方法應(yīng)該清楚了吧？不妨再挑戰(zhàn)難度大點(diǎn)的：如果把游戲規(guī)則改為甲先摸球，記下標(biāo)號(hào)后放回，然后乙再摸球，把兩人摸到的球的標(biāo)號(hào)相加，如果和為偶數(shù)，則甲勝，否則乙勝. 請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？

相信同學(xué)們應(yīng)該能解決，萬(wàn)變不離其宗，仍然是分別求出兩人獲勝的概率，看看是否相同，相同則規(guī)則是公平的，否則就是不公平哦！

例5 （2014·云南）某市“藝術(shù)節(jié)”期間，小明、小亮都想去觀看茶藝表演，但是只有一張茶藝表演門(mén)票，他們決定采用抽卡片的辦法確定誰(shuí)去，規(guī)定如下：將正面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四張卡片（除數(shù)字外其余都相同）洗勻后，背面朝上放置在桌面上，隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字后放回，重新洗勻后背面朝上放置在桌面上，再隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字. 如果兩個(gè)數(shù)字的和為奇數(shù)，則小明去；如果兩個(gè)數(shù)字的和為偶數(shù)，則小亮去.

（1） 請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)形圖（樹(shù)狀圖）的方法表示抽出的兩張卡片上的數(shù)字和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2） 你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

怎么樣？有信心解決這個(gè)問(wèn)題嗎？再次強(qiáng)調(diào)一下，要根據(jù)概率來(lái)判斷游戲規(guī)則是否公平哦！

四、 利用概率進(jìn)行估計(jì)

例6 為了估計(jì)魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量，先從魚(yú)塘中捕撈30條魚(yú)做上標(biāo)記，然后放回魚(yú)塘，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，待有標(biāo)記的魚(yú)完全混合于魚(yú)群后，再?gòu)闹卸啻尾稉疲⑺愕妹?00條魚(yú)中，帶有標(biāo)記的魚(yú)有5條，試估計(jì)該魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量.

根據(jù)什么來(lái)估計(jì)魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量呢？肯定與有標(biāo)記的魚(yú)出現(xiàn)的頻率有關(guān). 因?yàn)檫@個(gè)頻率可以作為有標(biāo)記的魚(yú)出現(xiàn)的概率的估計(jì)值. 因此，可以估計(jì)帶有標(biāo)記的魚(yú)出現(xiàn)的概率是0.025，而總共有30條魚(yú)帶有標(biāo)記，于是估計(jì)魚(yú)塘中魚(yú)的總數(shù)為30÷0.025=1 200（條）.

例7 （2014·福建莆田）某校為了解該校九年級(jí)學(xué)生對(duì)籃球、乒乓球、羽毛球、足球四種球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的喜愛(ài)情況，對(duì)九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，每名學(xué)生必須且只能選擇最喜愛(ài)的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖. 請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，回答下列問(wèn)題：

（1） 這次被抽查的學(xué)生有______人；請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2） 在統(tǒng)計(jì)圖2中，“乒乓球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是______度；

（3） 若該校九年級(jí)共有480名學(xué)生，估計(jì)該校九年級(jí)最喜歡足球的學(xué)生約有______人.

仔細(xì)讀統(tǒng)計(jì)圖表，同學(xué)們肯定能發(fā)現(xiàn)，喜歡羽毛球的同學(xué)共有9人，占15%，因此被抽查的學(xué)生共有60人，于是你能算出這次調(diào)查中喜歡足球的學(xué)生有多少人了嗎？對(duì)了，有6人. 那么這次調(diào)查中喜歡足球的頻率就是0.1，于是估計(jì)喜歡足球的概率也是0.1左右，到這里，相信同學(xué)們已經(jīng)可以輕松估計(jì)出該校九年級(jí)最喜歡足球的學(xué)生約有多少人了.

五、 根據(jù)概率計(jì)算該如何收費(fèi)

例8 某航空公司的保險(xiǎn)合同上有這樣一個(gè)條款：飛機(jī)一旦失事，公司將向每名乘客賠償人民幣50萬(wàn)元，但保險(xiǎn)公司需向每名乘客收取保險(xiǎn)費(fèi)20元. 如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么在n次飛行中，平均來(lái)說(shuō)，當(dāng)飛機(jī)失事的概率不超過(guò)多少時(shí)，才能保證保險(xiǎn)公司的收入不小于支出？

本題要求公司的收入不小于支出，這是一個(gè)不等關(guān)系，我們需要把這個(gè)不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于飛機(jī)失事概率P的不等式，從而求出P的范圍. 在n次飛行中，保險(xiǎn)公司共收取費(fèi)用120×20n元，平均失事nP次，平均賠償500 000×120nP元. 同學(xué)們，這些數(shù)量關(guān)系能理清嗎？于是得到不等式120×20n≥500 000×120nP，解得P≤0.000 04.

同學(xué)們，上面我們對(duì)本章出現(xiàn)的一些經(jīng)典問(wèn)題進(jìn)行了回顧與總結(jié)、拓展與延伸，相信同學(xué)們對(duì)本章知識(shí)一定有了更深的體會(huì)，也有了更大的收獲.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市張涇中學(xué)）