既見樹木又見森林

錢惠峰

“統(tǒng)計和概率的簡單應(yīng)用”是蘇科版初中數(shù)學(xué)的收官之作，它對整個初中階段的統(tǒng)計和概率知識起著統(tǒng)領(lǐng)的作用. 我們知道：概率研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，統(tǒng)計則研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并從數(shù)據(jù)中獲取信息，它們都可以為人們決策提供依據(jù)和建議，而其中蘊(yùn)含的統(tǒng)計思想和概率觀點更是其靈魂. 在本章，我們學(xué)習(xí)了以下6小節(jié)內(nèi)容：中學(xué)生的視力情況調(diào)查、貨比三家、統(tǒng)計分析幫你做預(yù)測、抽簽方法合理嗎、概率幫你做估計、收取多少保險費才合理. 不過，在學(xué)習(xí)時應(yīng)認(rèn)識到：掌握了簡單應(yīng)用，只是見到了樹木；體悟其中的思想與方法，才是真正地見到森林.

下面讓我們一起對本章的核心概念作一些解讀.

一、 統(tǒng)計的簡單應(yīng)用

統(tǒng)計的基本特征之一是通過部分的數(shù)據(jù)來推出全體數(shù)據(jù)的性質(zhì)，所以利用抽樣思想方法，通過樣本觀測總體是統(tǒng)計應(yīng)用的核心內(nèi)容.

1. 用樣本估計總體

（1） 樣本的代表性

抽樣調(diào)查是根據(jù)隨機(jī)的原則從總體中抽取部分實際數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推算總體相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的一種統(tǒng)計分析方法. 抽樣調(diào)查時要用合適的抽樣方法獲取可靠、有效的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，這樣才能使估計、推斷更加準(zhǔn)確，所以抽樣時要注意樣本的代表性. 在抽取樣本時，選擇的個體要有典型性、普遍性，大體上能夠代表整體，并且樣本容量適當(dāng). 有代表性的樣本能最大程度地估計出總體的相應(yīng)特性.

例1 為了了解全校學(xué)生的視力情況，小明、小華、小李三個同學(xué)分別設(shè)計了三個方案.

①小明：檢查全班每個同學(xué)的視力，以此推算出全校學(xué)生的視力情況.

②小華：在校醫(yī)室找到去年全校的體檢表，由此了解全校學(xué)生視力情況.

③小李：抽取全校學(xué)號為5的倍數(shù)的同學(xué)，檢查視力，從而估計全校學(xué)生視力情況.

以上的調(diào)查方案最合適的是______.（填寫序號）

【分析】小明以自己班同學(xué)的視力推算全校學(xué)生的視力，具有片面性；小華的調(diào)查是全面調(diào)查，并且已經(jīng)失去了時效性；小李抽取的個體具有普遍性，并且容量恰當(dāng)，因而抽取的樣本具有代表性. 故填③.

（2） 簡單隨機(jī)抽樣

簡單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法. 一般地，從一個含N個個體的總體中抽取容量為n的樣本（n

簡單隨機(jī)抽樣的特點是：每個樣本單位被抽中的概率相等，樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性.

除了簡單隨機(jī)抽樣，抽樣調(diào)查的其他方法還有系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等，而簡單隨機(jī)抽樣是其他抽樣方法的基礎(chǔ).

例2 為了解全校學(xué)生的視力情況，采用了下列調(diào)查方法，其中為簡單隨機(jī)抽樣的是（ ）.

A. 從九年級每個班級中任意抽取10人作調(diào)查

B. 查閱全校所有學(xué)生的體檢表

C. 對每個班學(xué)號為1，11，21，31，41的學(xué)生作調(diào)查

D. 從每個班中任意抽取5人作調(diào)查

【分析】A. 忽略了七年級、八年級的存在；B. 是全面調(diào)查；C. 是分層抽樣；D. 每個人都有被抽到的可能性，是簡單隨機(jī)抽樣，故選D.

（3） 用樣本估計總體

從實際問題的需求出發(fā)，在科學(xué)、合理地獲取樣本后，其落點是用樣本估計總體的思想去解決實際問題，從而明晰樣本和總體之間的關(guān)系，理解抽樣思想.

用樣本估計總體有兩個特征：一方面，樣本的抽取具有隨機(jī)性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關(guān)特征，但與總體可能有一定偏差；另一方面，如果抽樣的方法比較合理，樣本的信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依據(jù).

例3 九（1）班同學(xué)為了解某小區(qū)家庭月均用水情況，隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)部分家庭，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理如下表：

若該小區(qū)有800戶家庭，據(jù)此估計該小區(qū)月均用水量不超過10 m3的家庭約有______戶.

【分析】先看樣本的特性：月均用水量不超過10 m3的家庭的百分比為=70%，利用樣本估計總體的思想，估計該小區(qū)月均用水量不超過10 m3的家庭約有70%×800=560（戶）.

2. 科學(xué)、全面分析數(shù)據(jù)

從生活中收集、描述、分析數(shù)據(jù)后，我們要學(xué)會利用數(shù)據(jù)對生活中的事件進(jìn)行決策. “貨比三家”其實就是要求我們科學(xué)、全面分析數(shù)據(jù)，或者說，正確的統(tǒng)計推斷，要通過全面分析數(shù)據(jù)，才能從中提煉出準(zhǔn)確、有價值的信息.

例4 小張根據(jù)某媒體上報道的一張條形統(tǒng)計圖（如圖），在隨筆中寫道：“……今年在我市的中學(xué)生藝術(shù)節(jié)上，參加合唱比賽的人數(shù)比去年激增……”小張說的對不對？為什么？請你用一句話對小張的說法作一個評價：_____________________

___________________________________.

【分析】小張由這張不規(guī)范的條形統(tǒng)計圖得出了錯誤的信息，實際上，我們需要從整體的角度來把握圖形，不能只看圖像的高低，要比較兩年參加比賽人數(shù)的多少，還要看縱坐標(biāo)的差距大不大. 因此小張說得不對，一句話評價是：光看圖像得出了錯誤的信息，事實上，兩年參加比賽人數(shù)的差距不是很大.

例5 現(xiàn)代樹苗培育示范園要對A、B、C、D四個品種共800株松樹幼苗進(jìn)行成活實驗，從中選出成活率高的品種進(jìn)行推廣，通過實驗得知，B種松樹幼苗成活率為90%，將實驗數(shù)據(jù)繪制成兩幅統(tǒng)計圖，如圖1與圖2所示（部分信息未給出）.

（1） 實驗所用的C種松樹幼苗的數(shù)量為______；

（2） 試求出B種松樹的成活數(shù)，并把圖2的統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（3） 你認(rèn)為應(yīng)選哪一種品種進(jìn)行推廣？并請說明理由.

【分析】（1） 800×（1-25%-35%-20%）=160（株）；

（2） B種松樹幼苗數(shù)量為800×20%=160株，B種松樹的成活數(shù)160×90%=144（株），補(bǔ)全統(tǒng)計圖如圖3所示；

（3） A種松樹幼苗的成活率為×100%=85%，B種松樹幼苗的成活率為90%，C種松樹幼苗的成活率為×100%=92.5%，D種松樹幼苗的成活率為×100%=95%，所以應(yīng)選擇D種松樹品種進(jìn)行推廣.

在上面的問題中，選擇哪一種品種進(jìn)行推廣不能僅看各品種的成活株數(shù)，而應(yīng)結(jié)合各種幼苗的數(shù)量，計算出相應(yīng)的成活率，由此得到選擇哪一種品種進(jìn)行推廣.

3. 統(tǒng)計分析做預(yù)測

統(tǒng)計強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析，以及根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果進(jìn)行判斷、預(yù)測和決策等活動，針對具體的實際問題，要注意從數(shù)據(jù)中盡可能多地獲取信息，逐步培養(yǎng)對數(shù)據(jù)的直觀感覺，形成科學(xué)的數(shù)據(jù)分析觀念和較強(qiáng)的問題解決能力.

例6 “五一”勞動節(jié)，某超市開展“有獎促銷”活動，凡購物不少于30元的顧客均有一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，如圖4，轉(zhuǎn)盤被分為8個全等的小扇形，指針指向8就中一等獎，指向2或5就中二等獎，指向其余數(shù)字不中獎. 經(jīng)統(tǒng)計，當(dāng)天發(fā)放一、二等獎獎品共300份，那么據(jù)此估計參與此次活動的顧客為______人次.

【分析】易知轉(zhuǎn)盤被分為8個全等的小扇形，故帶有數(shù)字8、2、5的扇形占總面積的.

∵當(dāng)天發(fā)放一、二等獎的獎品共300份，∴參與此活動的顧客為300÷=800人.

二、 概率的簡單應(yīng)用

1. 抽簽不分先后

人們常常要采用抽簽的方法來決定某種方案. 例如，乒乓球比賽以擲硬幣來決定哪個運(yùn)動員先發(fā)球；若干人進(jìn)行的比賽，以抽簽的方式?jīng)Q定比賽的先后次序等. 那么，先抽后抽的中簽機(jī)會是不是相等呢？我們可以從概率分析入手，得出“抽簽不分先后”的基本特征.

例7 小明與甲、乙兩人一起玩“手心手背”的游戲. 他們約定：如果三人中僅有一人出“手心”或“手背”，則這個人獲勝；如果三人都出“手心”或“手背”，則不分勝負(fù).

（1） 在第一個回合中，如果小明預(yù)先想好出“手心”，則他獲勝的概率是多少？

（2） 在第二個回合中，如果小明預(yù)先想好出“手背”，則他獲勝的概率是多少？

（3） 在第三個回合中，如果小明沒有預(yù)先想好出什么，只是隨機(jī)出“手心”或“手背”，則他獲勝的概率是多少？

【分析】（1） 畫樹狀圖得：

∵共有4種等可能的結(jié)果，在一個回合中，如果小明出“手心”，則他獲勝有1種情況，∴他獲勝的概率是.

（2） 畫樹狀圖同（1），

∵共有4種等可能的結(jié)果，在一個回合中，如果小明出“手背”，則他獲勝有1種情況，∴他獲勝的概率是.

（3） 畫樹狀圖得：

∵共有8種等可能的結(jié)果，在一個回合中，如果小明隨機(jī)出“手心”或“手背”，則他獲勝有2種情況，∴他獲勝的概率是=.

由上面的問題可見，小明獲勝的概率與是否預(yù)先想好“手心”或“手背”無關(guān)，這其實與“抽簽不分先后”的本質(zhì)是一樣的.

2. 頻率估計概率

隨機(jī)現(xiàn)象表面看無規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個結(jié)果事先無法預(yù)料，但當(dāng)我們大量重復(fù)實驗時，實驗的結(jié)果都會呈現(xiàn)出其頻率的穩(wěn)定性. 用頻率估計概率是用樣本估計總體的一個重要方面.

例8 為了研究某自然保護(hù)區(qū)的生態(tài)環(huán)境，科學(xué)家在該地區(qū)做了如下實驗，在該地區(qū)第一次捕捉了100只雀鳥，然后作上記號放回該地區(qū)，經(jīng)過一段時間后，再從該地區(qū)捕捉了同樣的雀鳥100只，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的雀鳥有10只，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可估計該地區(qū)這種雀鳥的數(shù)量有______.

【分析】設(shè)估計該地區(qū)這種雀鳥的數(shù)量有n只. 在抽取的樣本中，帶有標(biāo)記的雀鳥所占的百分比為，而在總體中，共有100只雀鳥作了標(biāo)記，于是=，得n=1 000.

3. 概率估計作決策

隨機(jī)思想是概率思想的核心. 隨機(jī)事件的發(fā)生雖然是不確定的，但發(fā)生的次數(shù)與其發(fā)生的概率是有聯(lián)系的.

一般地，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是P（A），那么在相同條件下重復(fù)n次試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)的平均值為n×P（A）.

比如，交通部門可以運(yùn)用統(tǒng)計方法估計出一輛汽車在一年內(nèi)出交通事故的概率，而保險公司則通過對出險概率、賠付金額等因素的分析，來推算出收取多少保險費.

例9 假設(shè)一個小城鎮(zhèn)過去10年中，發(fā)生火災(zāi)情況如表所示.

試問：（1） 估計平均每年在1 000家中被燒幾家？

（2） 如果保戶投保30萬元的火災(zāi)保險，最低限度要交多少保險費，保險公司才不虧本？

【分析】（1） 被燒家數(shù)為1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），總家數(shù)為365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4 096（家）.

≈0.002 7，1 000×0.002 7=2.7（家）.

答：（1） 每年在1 000家中，大約被燒2.7家.

（2） 設(shè)每戶交x元保險費給保險公司，則n家保戶共收取保險費nx元，保險公司平均賠償300 000×0.002 7n元.

則nx≥300 000×0.002 7n，解得x≥810（元）.

答：保戶投保30萬元的保險，至少需交810元的保險費.

例10 某商場為了吸引顧客，設(shè)立了可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖5，轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份），并規(guī)定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會. 如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物. 如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券30元.

（1） 求轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的概率；

（2） 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，你認(rèn)為哪種方式對顧客更合算？

【分析】（1） ∵轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的有10種情況，

∴P（轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券）==.

（2） ∵P（紅色）=，P（黃色）=，P（綠色）==，

∴轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤平均獲得購物券的金額為200×+100×+50×=40（元）.

∵40元>30元，

∴選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤對顧客更合算.

上面的問題中，若選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，由于隨機(jī)性，每次試驗的結(jié)果都是不確定的，可能什么都得不到，但還有可能得到200元、100元或50元購物券. 隨著試驗次數(shù)的增加，平均收益將穩(wěn)定于40元. 換句話說，如果有大量人來選擇，選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的人的平均收益要比直接獲得30元購物券的人的平均收益高. 因此，我們選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的決策是有意義的.

（作者單位：江蘇省無錫市蕩口中學(xué)）