陳芳
航海問題主要包括求航行的時(shí)間、求航行速度、判斷是否有觸礁危險(xiǎn)等,都是考試中的熱點(diǎn)問題. 解決航行問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)直角三角形,通過三角函數(shù)直接解決或根據(jù)圖形中的數(shù)量關(guān)系建立方程解決.
例1 (2007·山東青島)如圖1,一艘輪船自西向東航行,在A處測得東偏北21.3°方向有一座小島C,繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)B處,測得小島C此時(shí)在輪船的東偏北63.5°方向上. 之后,輪船繼續(xù)向東航行多少海里,距離小島C最近?
(參考數(shù)據(jù):sin21.3°≈,tan21.3°≈,sin63.5°≈,tan63.5°≈2)
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離中垂線段最短可知,距離小島最近的位置即為過C點(diǎn)作AB的垂線垂足的位置. 故需過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,繼續(xù)向東航行的距離即為BD的長.
解:過點(diǎn)C作AB的垂線,交直線AB于點(diǎn)D,得到Rt△ACD與Rt△BCD.
設(shè)BD=x海里,
在Rt△BCD中,tan∠CBD=,
∴CD=x·tan63.5°.
在Rt△ACD中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tanA=,
∴CD=(60+x)·tan21.3°.
∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°,
即2x=(60+x).
解得,x=15.
答:輪船繼續(xù)向東航行15海里,距離小島C最近.
【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是理解題中所提問題,將之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決.
例2 (2007·廣東深圳)如圖2,某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處,在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東60°的方向上. 該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處,此時(shí)再測得該島在北偏東30°的方向上,已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁. 若繼續(xù)向正東方向航行,該貨船有無觸礁危險(xiǎn)?試說明理由.
【分析】要判斷貨船是否有觸礁的危險(xiǎn),關(guān)鍵是比較點(diǎn)C到正東方向的距離與半徑9海里的大小,若小于9海里,則有觸礁的危險(xiǎn). 因此,需過點(diǎn)C向正東方向作垂線,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
解:過點(diǎn)C作CD與正東方向線垂直,垂足為D. 設(shè)CD長為x海里,
在Rt△CBD中,BD=tan30°×CD=x海里,
在Rt△CAD中,AD=tan60°×CD=x海里,
則x-x=24×,
解得:x=6.
而6>9,所以貨船繼續(xù)向正東方向行駛無觸礁危險(xiǎn).
【點(diǎn)評】有無觸礁問題是航海中的熱點(diǎn),也是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題. 解決此類問題需要正確理解題意,從實(shí)際問題構(gòu)建直角三角形模型,而且還要注意一些解題技巧,如能用乘法運(yùn)算的,不用除法,能用正弦計(jì)算的,不用余弦.
(作者單位:江蘇省泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校)