中心極限定理的教學(xué)

李紅英

摘 要： 中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中一個重要的定理，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點，因此教學(xué)也有一定的難度.本文首先分析學(xué)生學(xué)習(xí)的主要困惑，其次針對性地理解了中心極限定理的實質(zhì)，教學(xué)過程中設(shè)計了具體事例鼓勵學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)探索，從而對中心極限定理容易接受，最后用實例鞏固中心極限定理的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 中心極限定理 正態(tài)分布 自主探索 概率近似

中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中一個重要的定理，銜接著概率論知識與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)知識，是教學(xué)中的一個難點.利用中心極限定理，數(shù)理統(tǒng)計中許多紛亂復(fù)雜的隨機變量序列和的分布都可以用正態(tài)分布進行近似，而正態(tài)分布有著許多完美的結(jié)論，從而可以獲得實用且簡單的統(tǒng)計分析方法和結(jié)論.然而，由于中心極限定理的教學(xué)課時少而定理本身又較抽象，學(xué)生很難在短時間內(nèi)理解該定理并能夠加以應(yīng)用.為此，不少教師對該內(nèi)容進行了探討.本文結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)和知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生的疑惑，以及教學(xué)的需要，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，對該定理的教學(xué)方法進行探討.

一、學(xué)生學(xué)習(xí)中心極限定理的困難

中心極限定理這一節(jié)的教學(xué)目標是要求學(xué)生理解中心極限定理，并熟練運用該定理進行事件概率的近似計算，然而在講解這一內(nèi)容只有2個課時，學(xué)生又不熟悉相應(yīng)的概率基礎(chǔ)，導(dǎo)致無論是數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對該知識點都存在疑惑，主要表現(xiàn)在：不知道中心極限定理是什么意思，具體形式是什么，怎么用.針對這三方面的問題，教師首先應(yīng)該要理解深刻，概括恰當(dāng)，簡明扼要.

1.中心極限定理的背景

在實際問題中，許多隨機現(xiàn)象都是由大量微小的相互獨立的隨機因素綜合影響所產(chǎn)生的，比如誤差受到材料、環(huán)境、設(shè)備、操作者等因素的影響，每個因素都是微小的、隨機的，但綜合起來就產(chǎn)生實驗過程中的誤差，即誤差是大量的隨機因素的總和，我們關(guān)心誤差就是關(guān)心大量獨立隨機變量和的問題.中心極限定理告訴我們，大量獨立隨機變量和的極限分布是正態(tài)分布.這一點突出了正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的重要地位，在應(yīng)用中凸顯了正態(tài)分布的許多優(yōu)勢，同時在總體為非正態(tài)的統(tǒng)計問題中發(fā)揮著重要的指導(dǎo)作用.在實際問題中，首先分析隨機現(xiàn)象，將其可分解成大量的隨機變量的和，那么無論隨機變量服從正態(tài)還是非正態(tài)，其和近似看做正態(tài)分布，進而求相關(guān)的概率計算問題.學(xué)生對此不理解，主要是因為太抽象、太籠統(tǒng)，在教學(xué)中可讓學(xué)生自主探討，發(fā)現(xiàn)總結(jié).

2.中心極限定理的具體形式

中心極限定理探討的是隨機變量和的極限分布，教材中給出了不同條件下的中心極限定理的多種結(jié)論，其形式復(fù)雜，證明繁瑣，但總結(jié)起來本質(zhì)是一個形式.

棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理是Lindeberg-Levy中心極限定理的特例，兩個中心極限定理歸根到底是說獨立同分布的隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布，可變形為標準正態(tài)分布.

3.中心極限定理的應(yīng)用

學(xué)生對中心極限定理內(nèi)容不理解，也導(dǎo)致無法將理論用于實踐，偶爾的依葫蘆畫瓢并沒有掌握其實質(zhì).中心極限定理常用作概率近似計算，需要根據(jù)問題的實際含義定義多個隨機變量并給出分布，然后變?yōu)楠毩㈦S機變量和，再利用中心極限定理和正態(tài)分布的查表求概率.只有在教學(xué)中選擇恰當(dāng)?shù)睦}，深入分析，合理總結(jié)，才能取到良好的效果.

中心極限定理包含極限理論，因此理論上利用中心極限定理處理極限問題.在經(jīng)濟問題中，質(zhì)檢問題中也有廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中可引申生活實際等有趣的問題，讓學(xué)生體會學(xué)以致用的樂趣.

二、中心極限定理的教學(xué)設(shè)計

首先利用簡單的引例，讓學(xué)生自主探索，總結(jié)規(guī)律.

例1：有一個總體X，它是取值于[2，8]的隨機數(shù)，在等可能被取出的假設(shè)下，總體X的分布為均勻分布U（2，8）.

學(xué)生自主觀察直方圖的特點，得出的規(guī)律是“中間高，兩邊低，左右基本對稱”.

比照正態(tài)分布的密度曲線：

上述直方圖輪廓曲線，用如下概率函數(shù)表示關(guān)于u對稱的鐘形曲線最合適.

將這一規(guī)律概括起來就是中心極限定理：

其具體形式體現(xiàn)出三個定理.

（1）中心極限定理是用極限理論反映的一個重要定理，其優(yōu)勢體現(xiàn)在非正態(tài)分布或不知道分布類型時，為數(shù)理統(tǒng)計的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

（2）主要應(yīng)用兩方面：第一，求隨機變量之和落在某區(qū)間的概率；第二，已知隨機變量之和的概率，求.

（3）解題中分析隨機總體可分解為許多獨立隨機變量的和的形式甚為關(guān)鍵.

例2：某保險公司有2500個人參加保險，每人每年付1200元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.002，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得20萬元，問保險公司虧本的概率.

學(xué)生處理實際問題的難點就在于不知如何進行問題的轉(zhuǎn)化.提示兩點：第一，將問題用隨機變量表示，每個人參保是隨機的獨立的，如何刻畫？第二，保險公司所得的總收益如何表示，學(xué)生經(jīng)整理后發(fā)現(xiàn)，所求總收益正好可以看成2500個獨立同分布隨機變量之和，n=2500足夠大，故想到用中心極限定理將其近似為正態(tài)分布.求出變量和的期望和方差，利用正態(tài)分布查表求概率.

為了加強對中心極限定理的理解和鞏固，對學(xué)生提出如下思考：

2.列舉貼近生活實例，讓學(xué)生鞏固練習(xí)，加以總結(jié).

3.學(xué)有余力拓展中心極限定理的應(yīng)用領(lǐng)域.

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，善于總結(jié)，容易接受，形成解決實際問題的統(tǒng)計思維，熟悉中心極限定理和正態(tài)分布相關(guān)理論很有必要.

參考文獻：

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