數(shù)形結(jié)合 畫出數(shù)感 重在綜合

徐黎明

“綜合與實踐”作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）規(guī)定的四大課程內(nèi)容之一，理應(yīng)引起密切關(guān)注，扎實實施?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動。它有別于學(xué)習(xí)具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授。它是教師通過問題引領(lǐng)學(xué)生全程參與實踐過程并相對完整的學(xué)習(xí)活動。那么，如何踐行《課程標(biāo)準(zhǔn)》理念，扎實上好數(shù)學(xué)綜合實踐課？在“千課萬人”活動中，筆者有幸聆聽了特級教師華應(yīng)龍老師的數(shù)學(xué)綜合實踐課“臺灣長什么樣”，現(xiàn)整理課堂實錄，與同行共享。

一、引出問題，激發(fā)實踐需要

（課件展示臺灣風(fēng)光圖片：臺灣故宮、鎮(zhèn)宮大白菜、101大樓、阿里山、日月潭）

師：沒有去過臺灣的同學(xué)請舉手。

師：想去嗎？我剛剛?cè)ミ^臺灣，去之前我到新華書店買了本書《暢游臺灣》 ，里面這樣介紹臺灣。（課件出示：臺灣本島南北縱長395千米，東西寬度最大144千米，海岸線長約1139千米）看了這段文字你想到了什么問題？

生1：臺灣有多大？

生2：臺灣是什么形狀？

生3：臺灣這么遼闊，人口可以住多少？

師：是呀，我們可以提出很多問題，剛才有同學(xué)提出臺灣長什么樣？（板書）就看這三個數(shù)據(jù)，你能不能說一說臺灣長什么樣子？

生：我覺得臺灣有可能特別長，因為南北縱長有395千米，東西寬度最大只有144千米，長長瘦瘦的，像一條帶子一樣。

師：嗯，肯定不是圓，如果是圓，南北長東西寬應(yīng)該一樣。你還能想到什么？

生：我覺得應(yīng)該是橢圓形的。

師：能不能用這三個數(shù)據(jù)來說明。還是覺著這數(shù)據(jù)不夠明確，怎么去處理，有些困難？這三個數(shù)據(jù)是395千米、144千米和1139千米【板書：（400+150）×2=1100（千米）】。這是我當(dāng)時看到這三個數(shù)據(jù)后，寫下來的式子。你看了這個式子有什么想法？

生：因為縱長395千米和寬度144千米，好像是在求長方形的周長。

師：哦！長加寬的和乘2，想一想，臺灣可能長什么樣？

生：長方形。

師：在這一式子里，我們把395看成400，把144看作150，這樣估算出來的1100千米應(yīng)該比臺灣實際的周長要……

生：要多了。

師：對！臺灣的海岸線實際上就是它的周長。

師：現(xiàn)在你再來說說臺灣長什么樣？

生：我覺著臺灣它不是一個規(guī)則的圖形。只是在原來長方形的基礎(chǔ)上多一些。

生：它可能不是一個規(guī)則的長方形。

師：它不是一個規(guī)則的長方形。

生：多一些坑坑洼洼，彎彎曲曲。

【賞析】對于臺灣，絕大部分學(xué)生聽說過甚至去過，但對于臺灣島的形狀卻都不太清楚。華老師恰當(dāng)選擇有關(guān)臺灣的風(fēng)光圖片和數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生提出了“臺灣有多大？”“臺灣是什么形狀？”“臺灣這么遼闊，人口可以住多少？”等問題，讓問題生成于學(xué)習(xí)材料，有效地激發(fā)了學(xué)生的探究需求，學(xué)生有了“長長瘦瘦的，像一條帶子一樣?！薄?是橢圓形的?！薄安皇且粋€規(guī)則的長方形?！薄埃ㄖ苓叄┒嘁恍┛涌油萃?，彎彎曲曲”等初步感覺。在此也綜合運用了周長的知識和估算的技能，邁出了數(shù)形結(jié)合的第一步，可謂是亮點初閃。

二、四畫臺灣，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

（一）一畫臺灣，初成雛形

師：如果我們要畫一個臺灣長什么樣？你想怎么畫？

生：先畫一個長方形。

師：畫多大的一個長方形？長畫4厘米寬畫1.5厘米，或者長畫8厘米寬畫3厘米。想一想，你想怎么畫。

師：現(xiàn)在請四人小組交流一下，說說自己是怎么想的。

師：下面請金昊辰同學(xué)展示自己的作品。（見圖1）

生：我覺著這個圖形非常不規(guī)則。

師：還有其他意見嗎？

生：我覺得臺灣長得就這樣。因為不是比長方形的周長還多了一些嗎？

生：我覺得他畫錯了，寬度144千米，說明不應(yīng)超過150千米。

師：剛才我們六（5）班同學(xué)評價同學(xué)作品的時候非常好。先肯定作品的優(yōu)點，再指出他的不足之處。下面我們請方格同學(xué)來展示自己的作品，哪位同學(xué)來評價這幅作品？（見圖2）

生：感覺這樣的彎曲比原來的還要短，

師：為什么說短了？能不能用學(xué)過的知識來解釋一下？

生：因為斜的邊比這兩條邊要短些。

師：為什么說短了？

生：因為斜邊的邊應(yīng)該比這兩條線要短些。

師：這好像是沒學(xué)過數(shù)學(xué)的人講的話。

生：以前學(xué)過，現(xiàn)在忘了。

師：哈哈！非常誠實的孩子。誰能幫她解釋？

生：實際周長要比長方形周長長，而橢圓的周長要比長方形周長短，橢圓應(yīng)該有許多彎曲，所以不對。

師：你說得很對，但是你沒有回答剛才男生的話題，為什么彎曲的一定要比兩條邊短些？

生：其實我原先想改的，但是黑筆改不了。就拿這條斜邊來說，可以把它看成一個近似的直角三角形，而直角三角形的兩條直角邊的長度要大于斜邊的長度，所以長方形的周長要大于橢圓的周長。（掌聲響起）

師：孩子們，你們慢了，掌聲早該響起，人家方格同學(xué)自己畫的，自己反思。剛才她用上了我們學(xué)過的什么知識？

生：三角形的兩邊之和大于第三邊。

師：下面請周亦飏展示作品（見圖3），看了周亦飏的作品你有什么感受？

生：有點長了。

師：先別說人家不好的地方，說說好的。你看作品南北縱長，東西寬度都符合要求，她畫的海岸線長度肯定要比長方形周長長，不過是不是太長了些。孩子們，通過剛才這么一交流，我們要在長方形中畫出臺灣什么樣子也不是件容易的事，可不是隨便畫的，應(yīng)該有思考。畫的時候必須注意什么？

生：南北、東西線不能超出長方形。

生：臺灣的弧線不能太多，也不能太少，要控制好。

（二）二畫臺灣，畫出數(shù)感

師：好！現(xiàn)在就請你在第2個長方形中，再畫一個臺灣的樣子，這次爭取能把你對數(shù)的感覺畫出來。

學(xué)生嘗試畫圖，同桌交流后集中反饋。

師：下面請朱晨樂同學(xué)來展示作品（見圖4），現(xiàn)在看了她的作品，我覺得不能只看一幅，應(yīng)該先看剛開始的一幅，再看現(xiàn)在畫的一幅，覺得怎么樣？

生：有進步！

師：對，老師也覺得進步很明顯，剛剛我們展示的一些不完善的作品，其實每一個不完善的作品都是一個提示或指引，讓我們前進一步。剛才有同學(xué)問臺灣的面積多大（課件出示：面積約為3.6萬平方千米），看完這條信息，你想到什么？

師：有同學(xué)在說400×150=60000平方千米（板書）剛才臺灣的面積是多少？（3.6萬平方千米）而我們算出來是6萬平方千米，你想到了什么？

生：臺灣有很多地方不是凸出來的而是凹進去的。

師：是不是這么一想，臺灣原來長得很瘦小，不是很飽滿。臺灣的面積占長方形面積的幾分之幾？

生1：大約二分之一左右。

生2：五分之三。

（三）三畫臺灣，提高要求

師：對，或者說大約60%。是不是現(xiàn)在又想畫了，琢磨一下怎么畫，在第3個長方形中畫出臺灣的樣子。

師：我發(fā)現(xiàn)有同學(xué)沒有動筆，而是在思考，非常好。剛才我們有體驗了，臺灣的樣子那不是隨便就能畫的。

師：現(xiàn)在我們還是很期待著來欣賞同學(xué)們的作品，我們先來看金樂的作品（見圖5），看了金樂的作品，有什么想說的？

生1：南北距離沒到400千米，看起來面積像五分之三，但長度不夠，畫得不對。

生2：這橢圓的周長明顯要比長方形小。

師：考慮周長短了，現(xiàn)在請金樂自己來說說，剛才你考慮了什么？沒考慮什么？

生：我只考慮了面積，沒有考慮周長和南北長度。

師：我們再來看看吳帆的作品。（見圖6）

師：我知道你們笑什么了，是臺灣長得嚇人了。誰來評價吳帆同學(xué)的作品。

生：畫得挺好的

師：是不是發(fā)現(xiàn)吳帆考慮挺周到的，考慮了好幾個地方？

生：南北、東西長度，周長、面積都考慮了。

師：哎，我發(fā)現(xiàn)他南北還留了一點，挺細致的孩子。只是好像周長稍微長了些。

圖5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖6

（四）四畫臺灣，接近真實

師：如果讓同學(xué)們再畫一個，這次你覺得要考慮哪些方面的問題？

學(xué)生第四次畫臺灣。

師：讓我們再來看看吳帆同學(xué)的作品（見圖7），感覺現(xiàn)在怎么樣？南北？東西？周長？面積？想不想知道臺灣究竟長什么樣？

生：想。

師：（出示圖8）是不是覺得很像？孩子們看著自己畫的臺灣的樣子，然后比較臺灣實際的樣子。是不是有這樣的感受：做事情往往不會一步到位，只要不斷調(diào)整，就會走向完美。

圖7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖8

【賞析】華老師在課上為學(xué)生提供簡單又合適的學(xué)習(xí)材料——4厘米長、1.5厘米寬的長方形，讓學(xué)生在長方形里面四畫臺灣島，整個師生互動過程亮點紛呈。

一是學(xué)生嘗試在先，展示師生評價在后。每一次畫臺灣，華老師總是讓全體學(xué)生先在練習(xí)紙上，根據(jù)教師提供的信息、材料和前一階段獲得的階段性成果嘗試著畫，并重點展示了7位學(xué)生真實的學(xué)習(xí)結(jié)果，讓學(xué)生說出思考的過程，接著讓學(xué)生相互評價、自我評價，學(xué)生有了自主實踐過程的真實體驗，能自然而然地說出對同伴或自己的作品的感覺，并不斷地修正，使畫出的圖形越來越接近真實的臺灣島的樣子，而教師則在一旁巧妙點撥。整個過程，恰到好處地體現(xiàn)了正確的師生觀：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。

二是教師逐步提高要求，提供必要數(shù)據(jù)，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。二畫臺灣以后，華老師補充出示了臺灣的面積，并提問“看完這條信息，你想到什么？”在有學(xué)生說出400×150=60000（平方千米）時，華老師又問：“剛才臺灣的面積是多少？（3.6萬平方千米）而我們算出來的是6萬平方千米，你想到了什么？”在學(xué)生思維的關(guān)鍵節(jié)點上，教師總是不失時機地提問、追問和提供數(shù)學(xué)信息，提升了學(xué)生的思維水平，比較完滿地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。

三是學(xué)生通過反思修正，臺灣形狀越來越逼真。在每一次學(xué)生畫臺灣后，華老師都會為學(xué)生提供自主反思的機會。如一畫臺灣后，華老師提出：“為什么彎曲的一定要比兩條邊短些？”在教師的問題引導(dǎo)下，學(xué)生自主整理、喚醒舊知，運用到了“直角三角形的兩條直角邊的長度要大于斜邊的長度”的相關(guān)知識。又如二畫臺灣后，華老師運用對比，引導(dǎo)學(xué)生反思：“下面請朱晨樂同學(xué)來展示作品，現(xiàn)在看了她的作品，我覺得不能只看一幅，應(yīng)該先看剛開始的一幅，再看現(xiàn)在畫的一幅，覺得怎么樣？”“現(xiàn)在請金樂自己來說說，剛才你考慮了什么？沒考慮什么？”一個個問題，引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作、縱橫對比、評價修正，對臺灣島長什么樣的概念由模糊逐漸清晰，數(shù)感——長方形周長、面積數(shù)據(jù)在具體情境中的感覺，也越來越明確，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不斷豐富，數(shù)學(xué)綜合與實踐課的特點隨之凸顯。

三、畫后提煉，提煉思想方法

（多媒體講述英國劍橋大學(xué)著名哲學(xué)家穆爾、羅素、維特根斯坦的小故事）

師：你能發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？

生1：考慮事情的時候要周到。

生2：做一切事情不可能一步到位。

生3：凡事都要遞進，多考慮一些因素。

生4：不只是腦子里想，還要去實踐。

師：是不是周長一定的情況下，面積可大可??？一個圖形的周長、面積確定后，它的形狀確定了嗎？也就是根據(jù)剛才的四個數(shù)據(jù)，是不是一定能畫出臺灣的樣子？

眾生搖頭。

師：為什么？能不能舉例子說一說？（課件出示圖9）什么變了？什么沒變？

生齊：（指①）面積變了，周長不變;（指②）面積不變，周長變了;（指③）面積一樣，周長一樣，形狀不一樣。

師：其實這種方法就是——舉個反例。說明一個圖形的面積和周長確定后，它的形狀是不確定的，那也就是說，根據(jù)剛才的四個數(shù)據(jù)，是不是一定能夠畫出臺灣的樣子？

生：不一定。

師：對，只是可能畫出臺灣的樣子。是不是還有其他問題？既然我們發(fā)現(xiàn)臺灣長得什么樣，臺灣的面積不是長乘寬，那么臺灣的面積又是怎么得到的呢？地球上的臺灣又是怎么變成地圖上的臺灣的呢？是不是還有很多很多問題？送你一句話：發(fā)現(xiàn)問題即是收獲。

【賞析】積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，應(yīng)貫穿整個數(shù)學(xué)課程之中?！熬C合與實踐”是實現(xiàn)這些目標(biāo)的重要和有效的載體。在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師和學(xué)生素質(zhì)的互動過程。華老師不是為了畫臺灣而畫臺灣，而是在學(xué)生四畫臺灣，積累了基本活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生通過傾聽科學(xué)家的小故事、觀察方格圖周長、面積的變化等學(xué)習(xí)材料，把四畫臺灣的實踐經(jīng)歷與感悟進行數(shù)學(xué)化抽象，及時提煉數(shù)學(xué)思想方法。由于教師的材料合適、點撥及時，學(xué)生果然有了“做一切事情不可能一步到位?！薄安恢皇悄X子里想，還要去實踐?！钡日鎸嵱仲N切的感悟，學(xué)生的思考水到渠成、漸入佳境！華老師又以“發(fā)現(xiàn)問題即是收獲”的經(jīng)典語句結(jié)束全課，升華思想。

總之，華老師在教學(xué)設(shè)計和實施時特別關(guān)注了問題的選擇、問題的展開過程、學(xué)生參與的方式、學(xué)生的合作交流，活動過程和結(jié)果的展示與評價，是一節(jié)“綜合與實踐”的樣板課，值得我們?yōu)橹炔什嵺`跟進。

（浙江省紹興市上虞區(qū)小越鎮(zhèn)中心小學(xué) ? 312367）