今日說“法”

王國兵

針對同一個圖形，從不同的角度計算它的面積，并借助面積相等得到一個代數(shù)恒等式的方法，我們稱為面積法. 面積法作為數(shù)形結(jié)合思想中常用的方法，不僅可以驗證乘法公式，而且在探求新知的過程中也有著廣泛的應用.

一、 引例

引例1 如圖1，現(xiàn)有邊長為a、b、c的正方形紙片和長為b、寬為a的長方形紙片各若干張，用它們拼成如圖2所示的長方形，則可以驗證的代數(shù)恒等式是_____________.

二、 應用

應用1 求值

【評注】在解題時，我們可以依據(jù)條件邊讀題邊畫圖，由a+b+c=11畫出一個正方形，設(shè)其邊長為11，并在相鄰的兩邊上分別取兩點，將正方形的邊分為互不相等的三條線段a、b、c，然后分別過這兩點作對邊的垂線，將大正方形劃分為9個長方形，用含a、b、c的字母分別表示出它們的面積后，答案一目了然，其實質(zhì)就是把面積計算兩次.

應用2 因式分解

例2 用圖1中給出的若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個寬為a、長為b的長方形紙片，請你拼出一個大長方形（畫出示意圖），并利用圖形間的關(guān)系，將多項式2a2+5ab+2b2因式分解.

【分析】由多項式2a2+5ab+2b2，我們可將其分解為2a2、5ab、2b2三個部分，以形釋數(shù)，把2a2理解成邊長為a的正方形紙片2張，5ab理解成寬為a、長為b的長方形紙片5張，2b2理解成邊長為b的正方形紙片2張，通過實驗操作拼圖如下（圖4），從整體（大長方形）來看，其面積可以表示為：（a+2b）（2a+b），而這個長方形就是由零散的九張紙片拼成的，利用其前后面積相等關(guān)系可以得到2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）.

【評注】如果我們不通過拼圖直接對多項式2a2+5ab+2b2進行因式分解，很多同學顯得無從入手（可用“十字相乘法”），但是借助題干中的拼圖經(jīng)驗，解決問題便可從容許多，所以我們在解題時需要多關(guān)注知識前后之間的聯(lián)系.

三、 拓展

拓展1 以直角三角形為載體

例1 如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，BC=3，AC=4，AB=5，試求CD的長.

【分析】從計算Rt△ABC面積的思路出發(fā)，我們可以以BC為底、AC為高進行計算，也可以以AB為底、CD為高進行計算，易得：

AC·BC=AB·CD，

即×4×3=×5·CD，∴CD=.

拓展2 以平行四邊形為載體

例2 如圖6，平行四邊形ABCD的周長為28，DE、DF分別為AB、BC邊上的高，若DE=3，DF=4，求AB、BC的值.

【分析】平行四邊形ABCD的面積等于底乘高，我們可以把AB作為底，也可以把BC作為底，利用其面積“自等”關(guān)系列出方程求解.

即S平行四邊形ABCD=AB·DE=BC·DF，

若設(shè)AB=x，則BC=14-x，

∴3x=4（14-x），

解之得x=8.

∴AB=8，BC=6.

【評注】所謂“高不離積、積不離高”，就是見到高要能想到計算面積，反之，計算面積也離不開高. 把面積計算兩次是面積法的根本，針對同一個圖形，從不同的角度有兩種不同的計算面積的方法，并以此建立等式關(guān)系解決問題，所以我們要善于捕捉和運用這樣的條件.

由以上分析我們不難看出，面積法作為一種常見的數(shù)學方法在本章節(jié)的學習中有著重要的應用，以圖形為載體，從不同角度對圖形面積進行計算，給代數(shù)恒等式注入了生命與活力，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合. 我們在今后的學習中一定要注意掌握與運用，以期舉一反三、觸類旁通.

（作者單位：江蘇省東臺市許河鎮(zhèn)中學）

本文為“初中數(shù)學趣導——樂學教學模式的研究”課題成果之一，該課題系鹽城市教育科學“十二五”規(guī)劃課題. 項目編號為2014-L-023，主持人：李長春、趙軍.