中考試卷中“一元二次方程”試題的分析

張亞東 劉家源

摘 要： 為了了解中考數(shù)學(xué)“一元二次方程”試題的命題特點(diǎn)和規(guī)律，本文主要對(duì)2009-2014年蘭州市中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了對(duì)比分析，從而得到在各地中考試題中，一元二次方程的定義，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，而方程的解法及其應(yīng)用多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，題量約3-5題，分值約占6%～10%，并對(duì)常考內(nèi)容進(jìn)行了歸納整理.

關(guān)鍵詞： 一元二次方程 中考試題 備考指導(dǎo)

一元二次方程及其應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，下面從四個(gè)方面對(duì)一元二次方程?？純?nèi)容加以敘述，期望在教師日常教學(xué)和學(xué)生復(fù)習(xí)備考中提供參考和建議.

一、一元二次方程的解法

解一元二次方程的基本思想就是降次，一元二次方程的常見解法有四種：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法.其中公式法是解一元二次方程的通法，配方法是公式法的基礎(chǔ)，直接開平方法、因式分解法解某些特殊的一元二次方程方程非常簡(jiǎn)單，掌握各種方法的基本思想是正確解方程的根本.

（1）直接開平方法：形如（x±m(xù)）■=n（n≥0）的一元二次方程就用直接開平方法求解.

（2）因式分解法：可化為a（x+m）（x+n）=0（a≠0）的方程用因式分解法求解.

（2012·蘭州·第21題·6分）已知x是一元二次方程x■-2x+1=0的根，求代數(shù)式

■÷（x+2-■）

的值.

（3）公式法：求根公式為x=■（b■-4ac>0）.

（2014·蘭州·第21題（2）·5分）當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式x■-x的值等于1.

（2013·蘭州·第21題（2）·4分）解方程：x■-3x-1=0.

（4）配方法：若ax■+bx+c=0（a≠0）不易因式分解，可考慮配方為a（x+h）■=k（a≠0）再用直接開平方法求解.

（2013·蘭州·第8題·4分）用配方法解方程x■-2x-1=0時(shí)，配方后所得方程為（ ）

A.（x+1）■=0 B.（x-1）■=0 C.（x+1）■=2 D.（x-1）■=2

（2011·蘭州·第10題·4分）用配方法解方程x■-x-5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ ）

A.（x+1）■=6 B.（x+2）■=9 C.（x-1）■=6 D.（x-2）■=9

（2009·蘭州·第21題（2）·5分）用配方法解一元二次方程：2x■+1=3x.

備考指導(dǎo)：解一元二次方程時(shí)，首先要觀察分析方程的特點(diǎn)，然后選擇合適的方法解題，有些方程解法不唯一時(shí)，一般按照“直接開平方法，因式分解法，公式法，配方法”的順序選擇.值得注意的是解形如（x-2）（2x+1）=3（x-2）一元二次方程時(shí)易丟根，有些同學(xué)同時(shí)除以x-2，走進(jìn)了失根的誤區(qū)，最后需牢記一元二次方程的求根公式和配方法的一般步驟.

二、一元二次方程的根的判別式

（2014·蘭州·第10題·4分）一元二次方程ax■+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則b■-4ac滿足的條件是（？搖？搖）

A. b■-4ac=0？搖？搖？搖？搖B. b■-4ac>0 C. b■-4ac<0 D.b■-4ac≥0

（2013·蘭州·第17題·4分）若|b-1|+■=0，且一元二次方程kx■+ax+b=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是？搖 ？搖.

（2010·蘭州·第16題·4分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x■+x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是？搖 ？搖

備考指導(dǎo)：這類問題往往是與一元二次方程的定義相結(jié)合考查的，而考生易把二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件忽略，所以在牢記一元二次方程ax■+bx+c=（a≠0）根的情況與根的判別式b■-4ac的關(guān)系b■-4ac>0？圳一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；b■-4ac=0？圳一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；b■-4ac<0？圳一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根）的基礎(chǔ)上，必須考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零.

三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

（2012·蘭州·第27題·10分）若x■、x■是關(guān)于一元二次方程ax■+bx+c（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x■、x■和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x■+x■=-■，x■·x■=■.把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理.如果設(shè)二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x■，0），B（x■，0）.利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：

AB=|x■-x■|=■=■=■=■.

參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：

設(shè)二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a>0）的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x■，0）、B（x■，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形.

（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b■-4ac的值；

（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b■-4ac的值.

（2009·蘭州·第19題·4分）閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax■+bx+c=0（a≠0）的兩根為x■，x■，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x■+x■=-■，x■·x■=■.根據(jù)該材料填空：已知x■、x■是方程x■+6x+3=0的兩實(shí)數(shù)根，則■+■的值為？搖 ？搖.

備考指導(dǎo)：首先牢記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x■，x■是a■+bx+c=0（a≠0）的兩根，則有x■+x■=-■，x■+x■=■，其次在此基礎(chǔ)上能對(duì)下列各代數(shù)式進(jìn)行靈活變形：

x■■+x■■=（x■+x■）■-2x■x■；■+■=■；（x■-x■）■=（x■+x■）■-4x■x■；

■+■=■=■.

四、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

隨著新課程、新課標(biāo)的實(shí)施，素質(zhì)教育的不斷深入，與我們生產(chǎn)、生活有關(guān)的應(yīng)用問題不斷滲透到數(shù)學(xué)中，從而出現(xiàn)了一些融入新理念，設(shè)計(jì)新穎，創(chuàng)設(shè)新情境的實(shí)際問題，加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的考查.一元二次方程就是解決這類實(shí)際問題的一種有效模型，列一元二次方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決，利用一元二次方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是在透徹理解題意的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確找出已知量與未知量的關(guān)系，這樣才能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù).分析等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，盡量避免實(shí)際情境的干擾，剔除實(shí)際背景的文字?jǐn)⑹龀尸F(xiàn)數(shù)學(xué)化的形式，列出一元二次方程，求出一元二次方程的根后一定要根據(jù)具體情況進(jìn)行檢驗(yàn)，把不符合實(shí)際意義的方程的解舍去，進(jìn)而達(dá)到求解的目的.再者要善于將應(yīng)用題分類，現(xiàn)把近幾年一元二次方程常見題型列舉如下：

（1）平均增長(zhǎng)（降低）率型

（2013·蘭州·第10題·4分）據(jù)調(diào)查，2011年5月蘭州市的房?jī)r(jià)均價(jià)為7600元/m2，2013年同期將達(dá)到8200元/m2，假設(shè)這兩年蘭州市房?jī)r(jià)的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，所列方程為（ ）

A.7600（1+x%）■=8200 B.7600（1-x%）■=8200

C.7600（1+x）■=8200 D.7600（1-x）■=8200

（2010·蘭州·第12題·4分）上海世博會(huì)的某紀(jì)念品原價(jià)168元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為128元.下列所列方程中正確的是（ ）

A.168（1+a）■=128 B.168（1-a%）■=128

C.168（1-2a%）=128 D.168（1-a■%）=128

（2009·蘭州·第7題·4分）2008年爆發(fā)的世界金融危機(jī)，是自上世紀(jì)三十年代以來世界最嚴(yán)重的一場(chǎng)金融危機(jī).受金融危機(jī)影響，某商品原價(jià)為200元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為148元，下面所列方程正確的是（ ）

A.200（1+a%）■=148 B.200（1-a%）■=148

C.200（1-2a%）=148 D.200（1-a■%）=148

備考指導(dǎo)：解決這類有關(guān)平均增長(zhǎng)（降低）率的問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握基本關(guān)系式b=a（1±x）■，其中a為增長(zhǎng)（降低）的基礎(chǔ)數(shù)量，x為增長(zhǎng)（降低）率，n為增長(zhǎng)（降低）的次數(shù)，b為增長(zhǎng)（降低）后的數(shù)量，解這類一元二次方程適合用直接開平方法，最后注意根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.

（2）幾何型

（2014·蘭州·第19題·4分）如圖，在一塊長(zhǎng)為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米.若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列出方程為？搖 ？搖.

（2012·蘭州·第10題·4分）某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為200m■的矩形花圃，它的長(zhǎng)比寬多10m，設(shè)花圃的寬為xm，則可列方程為（ ）

A.x（x-10）=200 B.2x+2（x-10）=200

C.x（x+10）=200 D.2x+2（x+10）=200

備考指導(dǎo)：幾何型問題多以面積為主，解決這類面積問題的關(guān)鍵是熟記特殊圖形的面積公式，其次會(huì)將不規(guī)則的圖形分割或割補(bǔ)成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出一元二次方程.

（3）送照片、握手型

（2011·蘭州·第11題·4分）某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為（ ）

A.x（x-1）2070 B.x（x+1）=2070

C.2x（x+1）=2070 D.■2070

備考指導(dǎo)：每個(gè)人送照片的張數(shù)是總?cè)藬?shù)減1，所有人送照片的總張數(shù)是總?cè)藬?shù)乘以總?cè)藬?shù)減1，所有人握手的總次數(shù)恰是所有人送照片的總張數(shù)的一半.

（4）銷售利潤(rùn)型

（2013·廣東汕頭澄?！さ?1題·7分）“友誼商場(chǎng)”某種商品平均每天可銷售100件，每件盈利20元.“五一”期間，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件該商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出10件.設(shè)每件商品降價(jià)x元.據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答：

（1）降價(jià)后每件商品盈利？搖 ？搖元，商場(chǎng)日銷售量增加？搖 ？搖件（用含x的代數(shù)式表示）；（2）在上述條件不變的情況下，求每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2240元？

備考指導(dǎo)：解決銷售利潤(rùn)問題的關(guān)鍵是掌握利潤(rùn)問題中常用的關(guān)系式，特別是總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)*銷售量.

以實(shí)際問題為背景的題目，主要考查閱讀能力和理解能力，此類題能夠培養(yǎng)我們利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)設(shè)未知數(shù)、列方程的代數(shù)方法，領(lǐng)略知識(shí)從實(shí)踐中來到實(shí)踐中去.以上例子都是近幾年運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的中考試題，綜觀上述各種問題的解法，我們要牢牢把握列方程解決實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審清問題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解一元二次方程并檢驗(yàn)解的合理性.

通過以上分析總結(jié)，得出了一元二次方程在中考中的命題規(guī)律，希望能為以后一元二次方程的教與學(xué)和復(fù)習(xí)備考提供參考意見.

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