高中數(shù)學中的幾何概型問題概述

焦義貴

摘 ? ?要： 幾何概型是高中數(shù)學繼古典概型之后學習的另一類等可能概型，它對應的是一個連續(xù)型變量的均勻分布，幾何概型是古典概型的拓廣.在高中，幾何概型的題目主要分為長度型、面積（體積）型、角度型、會面型，不管解決哪種類型問題，其關(guān)鍵都要選擇適當度量，使基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的總度量值，所求問題轉(zhuǎn)化隨機事件對應的子度量值，然后代入公式進行計算求解.

關(guān)鍵詞： 概率 ? ?幾何概型 ? ?高中數(shù)學教學

概率研究隨機事件發(fā)生的可能性大小問題，通過學習，學生可以了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，正確區(qū)分頻率與概率，初步形成用隨機的觀念觀察、分析、研究客觀世界.幾何概型是高中繼古典概型之后學習的另一類等可能概型，是高中新課程實驗教材新增加的內(nèi)容，也是必修課中關(guān)于概率的最后一個知識點，它的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機事件的大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).要求學生能體會幾何概型的意義，會解決典型的幾何概型問題.幾何概型的研究，是古典概型的拓廣，兩種概型既有區(qū)別又有聯(lián)系，它們的相同點是基本實驗結(jié)果發(fā)生都具有等可能性，并均用比值計算隨機事件概率，不同之處是幾何概型將古典概型試驗結(jié)果從有限個拓廣到無限個.本文擬對幾何概型的定義，計算公式，以及各種題型進行系統(tǒng)梳理.

一、幾何概型的有關(guān)知識

1.幾何概型的定義

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、面積、體積或角度成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

2.幾何概型的概率公式

P（A）=■;

由于幾何概型中隨機事件的概率是度量之比，因此我們不難發(fā)現(xiàn)下面的結(jié)論：

（1）不可能事件概率一定為0，但概率為0的事件不一定為不可能事件.如：向正方形桌面上隨機扔一粒芝麻，正好落在中心點的概率為0，但這個事件有可能發(fā)生.

（2）必然事件概率一定為1，但概率為1的事件不一定為必然事件.如：向正方形桌面上隨機扔一粒芝麻，正好落在除中心點外區(qū)域的概率為1，但這個事件有可能不發(fā)生.

3.幾何概型的特點

（1）無限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）為無限多個;

（2）等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

4.幾何概型與古典概型的比較

區(qū)別：古典概型具有有限性，即試驗結(jié)果是有限個;而幾何概型則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結(jié)果.

聯(lián)系：古典概型與幾何概型的基本試驗結(jié)果都具有等可能性.兩者均用比例法求隨機事件的概率.

二、常見題型

幾何概型問題，可以將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機取一點，該區(qū)域內(nèi)每個點被取到的可能性都相等，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某全子區(qū)域中的點.主要題型有：長度型、面積（體積）型、角度型、會面問題等，下面分別舉例說明.

1.長度型

根據(jù)不同的問題類型，長度之比可能體現(xiàn)為線段長度之比、弧長之比、時間長度之比、區(qū)間長度之比等.下面舉例說明.

例1.某人睡覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.

解：依題意，此人可能等待的時間0～60分鐘，當此人在每小時的50～60分某時刻醒來時，其等待時刻不多于10分鐘.

所以，等待的時間不多于10分鐘的概率為p=■=■.

例2.點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，求劣弧■的長度小于1的概率.

解析：設(shè)事件M為“劣弧■的長度小于1”，則滿足事件M的點B可以在定點A的兩側(cè)與定點A構(gòu)成的弧長小于1的弧上隨機取一點，由幾何概型的概率公式得：P（M）=■.

例3.已知集合A{x|-1

解析：由題意得A={x|-1

例4.將長度為3cm的細鐵絲任意剪成兩段，A表示“較長的一段大于或等于較短一段的2倍”，求事件A的概率.

分析：可以把3cm長的鐵絲看做是長為3的線段CD，由于剪法的任意性，分點落在CD上任意一位置均可.當點落在CE或FD上時，事件A發(fā)生.

解：P（A）=■=■.

2.面積、體積型

例5.拋階磚游戲：參與者將手上的“金幣”拋落在離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的硬幣剛巧落在任何一個階磚的范圍內(nèi)（不壓階磚相連的線）獲勝.當正方形階磚的邊長為5cm，金幣直徑為2.5cm時，請你計算“金幣”落在階磚范圍內(nèi)的概率.

提示：圓心落在正中間邊長為2.5cm的正方形內(nèi)，游戲獲勝.

解：設(shè)A=“金幣落在階磚內(nèi)”，則

P（A）=■=■.

例6.一只蒼蠅在一棱長為60cm的正方體籠子里飛，蒼蠅距籠邊大于10cm的概率是多少？

答案：P=■=■.

例7.將長為1的棒任意地折成三段，求三段的長度都不超過■的概率.

解：設(shè)第一段的長度為x，第二段的長度為y，第三段的長度為1-x-y，則基本事件組所對應的幾何區(qū)域可表示為Ω={（x，y）|0

事件“三段的長度都不超過■”所對應的幾何區(qū)域可表示為A={（x，y）|（x，y）∈Ω，x<■，y<■，1-x-y<■}，此區(qū)域面積為■×（■）■=■.

此時事件“三段的長度都不超過■”的概率為P=■=■.

3.角度型

例8.過等腰Rt△ABC的直角頂點C任作射線CD交斜邊AB于D，求AD>AC的概率.

解：∵AC=AD，∠A=45°

∴∠ACD=67.5°

∴AD>AC的概率為：

P=■=■.

4.“會面”型

兩個對象會面問題屬于面積問題，三個對象會面問題屬于體積問題.

兩個對象相遇問題解題的關(guān)鍵是把兩個時間分別用x、y兩個坐標表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點（x，y），從而把兩個一維的時間問題轉(zhuǎn)化為二維的面積問題，用面積比表示兩個對象相遇的概率.三個對象相遇問題類似地轉(zhuǎn)化為三維的體積問題求解.

例9.某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會在某天9點到10點之間的某一時刻到達該碼頭的同一個泊位，早到的外輪要在該泊位?？?0分鐘辦理完手續(xù)后才離開，求兩艘外輪至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率.

解析：設(shè)事件表示兩艘外輪至少有一艘在?？坎次粫r必須等待，兩艘外輪到的時間分別為9點到10點之間的x分，y分，則

|x-y|≤20，0≤x，y≤60，即A=（x，y）|-20≤x-y≤200≤x≤600≤y≤60？搖，以9點為原點，建立平面直角坐標系如圖所示，事件所對應的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示，所以其概率P（A）=陰影面積/ABCD面積=5/9.

以上是幾何概型中最典型的問題，即長度之比類型、面積（體積）之比類型、角度之比類型、會面問題類型，不管解決哪種類型問題，其關(guān)鍵都要選擇適當度量，使基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的總度量值，所求問題轉(zhuǎn)化隨機事件對應的子度量值，然后代入公式進行計算求解.特別要注意分析清楚，試驗的基本事件應該屬于與長度、面積（體積）還是角度，這樣才能尋到正確的解題方向，避免出現(xiàn)錯誤.