初中數(shù)學(xué)開放性題目初探

曾黃 淑芳

一、數(shù)學(xué)開放題的定義

數(shù)學(xué)開放題是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言的，數(shù)學(xué)中的封閉性問題一般是指問題的條件和結(jié)論都是完全確定的，而且是不多不少的.而數(shù)學(xué)開放題是指那些答案不唯一確定，并且要求學(xué)生多角度、多方面進(jìn)行探索的一類數(shù)學(xué)問題.

二、開放性題目的特征

與常規(guī)題相比，開放性題目的條件或結(jié)論是往往是不確定的、不唯一的，它給學(xué)生留有自由思考的余地和充分展示思想的廣闊空間.它的主要特征如下。

（1）不完備性：一個(gè)開放題的條件可以是不足的，也可以是多余的.條件不足時(shí)需要學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充，條件多余時(shí)需要學(xué)生從中選出有用的條件.

（2）非常規(guī)性：解開放題時(shí)，往往沒有一種特定的解題模式，在求解過程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索.

（3）創(chuàng)新性：有時(shí)一個(gè)題目需要采用一種新的解題方法或開拓一個(gè)新的研究領(lǐng)域.

（4）發(fā)散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般、更有概括性的結(jié)論.

（5）能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心，全體學(xué)生都可以參與解答過程，不管他屬于何種程度和水平.

（6）教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過程中扮演的角色是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)者和指導(dǎo)者.

三、數(shù)學(xué)開放性題目的主要類型

（一）探索發(fā)現(xiàn)型

1.規(guī)律性探索

請(qǐng)將你找出的規(guī)律用公式表示出來？搖？搖？搖 ?？搖？搖？搖.

探索規(guī)律的題目是近幾年常見的一種開放性題目，主要考查學(xué)生運(yùn)算、觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力.解決這類問題的方法是：先從簡(jiǎn)單的式子入手，觀察數(shù)字（或等式、不等式兩邊的數(shù)據(jù)）隨著“序號(hào)”、項(xiàng)數(shù)的增加而變化的情況，找出異同，分析、發(fā)現(xiàn)、探索變化的規(guī)律，得出一般性結(jié)論.

2.條件開放題

條件開放題是指問題的條件具有不確定性，滿足結(jié)論的條件不唯一.在此基礎(chǔ)上，我們又可以把條件開放題分為條件不足型和條件多余型.

①條件不足型

所謂條件不足型是指問題條件不足，滿足結(jié)論的條件不唯一，需要從多方面考慮才能正確解決這類問題.

例2：已知二次函數(shù)的y=ax+bx+c圖像經(jīng)過A﹙0，a﹚，B﹙1，-2﹚？搖 ? ?？搖？搖？搖，求證：這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線x=2.題目中的矩形框內(nèi)的部分是一段被墨水染污了無法辨認(rèn)的文字.

1.根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式？若能，寫出求解過程;若不能，說明理由.

2.請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框內(nèi)填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整.

（2）可供補(bǔ)充的內(nèi)容有：①滿足函數(shù)解析式的任意一點(diǎn)的坐標(biāo);②a=1或b=-4或c=1;③頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）.

②條件多余型

所謂條件多余型開放題是指問題中條件過剩，許多有用和無用的條件都混雜在一起，對(duì)學(xué)生解題形成干擾.

例3：在△ABC與△A′B′C′中，有下列條件：;③∠A=∠A′;④∠C=∠C′.如果從中任取兩個(gè)條件組成一組，那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有（ ? ?）組.

A.1 ? ?B.2 ? ?C.3 ? ?D.4

分析：有3組：①和②;③和④;②和④.

3.結(jié)論開放題

結(jié)論開放題是指在給定條件下，結(jié)論不唯一，學(xué)生可以根據(jù)條件或情景將所有可能的結(jié)果一一分析得出.

例4：一個(gè)鋼筋三角架三邊長(zhǎng)分別為20cm，50cm，60cm，現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角架，而只有長(zhǎng)為30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根截下兩段（允許有余料）作為另兩邊，有幾種不同的截法？

分析：根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，只能用50cm截成兩段，設(shè)截得的兩段分別為xcm和ycm，則有以下三種情況：

解得：

x=10，y=25

4.存在性探索

例5：如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm.某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：設(shè)存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似.

依題意得：AM=tcm，DN=2tcm，AN=（6-2t）cm.

解存在型探索題的基本思路通常是先假設(shè)存在，然后根據(jù)存在進(jìn)行推理或計(jì)算，找出必須滿足的條件，再看這個(gè)條件題目中是否已具備，若已具備則存在，反之不存在.

（二）閱讀理解型

例6：閱讀題例，解答下題.

這個(gè)例題屬于閱讀理解型開放題，解決這類問題需要學(xué)生具有一定的閱讀理解、接受新知識(shí)、認(rèn)識(shí)新事物的能力，以及運(yùn)用新知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀懂題意，通過閱讀探索解決問題的方法.

（三）規(guī)劃決策、設(shè)計(jì)方案型

例7：某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件.已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg;生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg.按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來.

分析：設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品為（50-x）件，根據(jù)題意得

9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290 ? ?解得30≤x≤32.

∵x為整數(shù)，∴x只能取30、31、32，相應(yīng)的50-x的值為20、19、18.

答：生產(chǎn)方案有三種：①生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件;②生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件;③生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。

隨著新課程改革的不斷深入，題目的呈現(xiàn)方式也在不斷發(fā)生變化，一方面越來越貼近生活實(shí)際，另一方面對(duì)學(xué)生獲取信息的能力、解決實(shí)際問題的能力的要求越來越高.這類題目具有較強(qiáng)的開放性、探究性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

四、開展數(shù)學(xué)開放題教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

（一）開放題教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

由于開放題的答案不唯一，在開放題的解答過程中，沒有固定的、現(xiàn)成的模式可依循，學(xué)生必須打破原有的思維模式，學(xué)會(huì)從不同的角度考慮問題、發(fā)現(xiàn)問題，用多種思維方法（如猜想、聯(lián)想、類比等）進(jìn)行探索.因此，數(shù)學(xué)開放題教學(xué)對(duì)于學(xué)生的發(fā)散性思維的培養(yǎng)有著極大的促進(jìn)作用，從而為學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了可能.

（二）開放題教學(xué)有利于學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的民主性和合作性

開放性問題一般都具有一定的挑戰(zhàn)性，能誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力.在數(shù)學(xué)開放題教學(xué)中，寬松、民主的課堂氣氛有助于激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng).學(xué)生經(jīng)過自主探究、實(shí)踐體驗(yàn)，就能充分展現(xiàn)自我，得到不同程度的發(fā)展.

（三）培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素

開放題教學(xué)提倡以學(xué)生發(fā)展為本，教師只起到引導(dǎo)作用，講究師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，和傳統(tǒng)的以教師為中心、強(qiáng)調(diào)知識(shí)傳授、把學(xué)生當(dāng)做知識(shí)灌輸對(duì)象的教學(xué)模式大不相同.教師對(duì)學(xué)生的思維的限制減少了，學(xué)生能夠更充分發(fā)揮自己的個(gè)性，有利于促進(jìn)學(xué)生興趣、情感、意志、性格等非智力因素的健康發(fā)展.

數(shù)學(xué)開放題不僅是一種習(xí)題形式，更重要的是一種教學(xué)思想.這種教學(xué)思想，反映了人們數(shù)學(xué)教育觀念的轉(zhuǎn)變，也適應(yīng)了飛速發(fā)展時(shí)代的需求.沒有奇思就沒有創(chuàng)造，開放性題目就是讓學(xué)生大膽思維，在探索性的思索中培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)素質(zhì).這是每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該研究的課題.