尋求算理與算法的平衡點(diǎn)

卓楊晶

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。《課標(biāo)解讀》強(qiáng)調(diào)“選擇正確計(jì)算的方法、準(zhǔn)確得到運(yùn)算的結(jié)果，比運(yùn)算的熟練程度更重要”，“應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解運(yùn)算的道理，準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度。”這就告訴我們，在計(jì)算教學(xué)中，不僅要關(guān)注學(xué)生計(jì)算方法的掌握，計(jì)算技能的形成，更要關(guān)注學(xué)生對算理的理解。可是在目前的課堂教學(xué)中卻出現(xiàn)了兩個(gè)極端：一個(gè)是“重算法，輕算理”，一個(gè)是“重算理，輕算法”。由此衍生出了這樣一幕幕尷尬的場景：當(dāng)讓學(xué)生計(jì)算時(shí)，學(xué)生能快速準(zhǔn)確地計(jì)算出來，而讓他們說說為什么要這么算時(shí)，學(xué)生就啞語了。或者是學(xué)生探究算理時(shí)說得頭頭是道，可是一旦動筆計(jì)算起來卻是錯(cuò)誤百出。這種“算理”與“算法”脫節(jié)的教學(xué)不符合新課程的要求。

“算理”與“算法”兩者是緊密相連的，“算理”是學(xué)生理解算法的前提，而算法是對算理的總結(jié)與提煉。如果只強(qiáng)調(diào)算理，卻無法實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法上質(zhì)的飛越，只強(qiáng)調(diào)算法，卻“知其然，而不知其所以然”，計(jì)算就猶如建立在空中的樓閣，很難穩(wěn)固。那我們該如何找到算理與算法的平衡點(diǎn)，讓學(xué)生能自由地行走在算理與算法之間呢？

一、借助生動有趣的童話情境，溝通算理與算法的關(guān)系

計(jì)算教學(xué)常常借助一定的情境作為一節(jié)課的引入，通過情境的創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，列出算式，并探索出結(jié)果。生動有趣的情境，不僅能喚起學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的求知欲，更能撥動學(xué)生的思維之弦，讓學(xué)生對算理的感悟、算法的探究有物可依，有跡可循，使探索過程充滿親和力和吸引力。特別是低年級的孩子，由于他們的年齡特征和心理特點(diǎn)，他們對所謂的“童話情境”特別感興趣，有位老師在執(zhí)教《9加幾》時(shí)就創(chuàng)設(shè)了一個(gè)小動物喝牛奶的情境：動物學(xué)校的小動物們正在舉辦運(yùn)動會，小鹿老師為每個(gè)班的運(yùn)動員都準(zhǔn)備了不同數(shù)量的牛奶，你能幫助小動物們算算自己的班級有多少瓶嗎？（一個(gè)盒子里裝10瓶，外邊分別放著3瓶、5瓶、7瓶）由于這一童話情境是孩子們很熟悉的，因此他們的積極性一下子就被調(diào)動起來，為自己能幫助小動物而高興。這一過程就復(fù)習(xí)了“十加幾的口算”，接下來再出示：飛行豬在計(jì)算它們班分到的牛奶瓶數(shù)時(shí)遇到難題了：（一個(gè)本可以裝10瓶的盒子里只裝了9瓶，外邊還有6瓶）你能幫他算算一共有多少瓶牛奶嗎？從而引出了9+6這一進(jìn)位加法。之后讓孩子們各自闡述自己的計(jì)算方法，并追問：“有什么好方法能讓我們算得又對又快？”學(xué)生結(jié)合這個(gè)生動、有趣的情境，很快就想到了把6分成1和5，其中一瓶放到盒子里，盒子就放滿了，變成10瓶，10再加上剩下的5瓶就是15瓶。這種先“湊十”再算“十加幾”是最簡便快捷的。從而為理解進(jìn)位加的算理做好了鋪墊。之后再繼續(xù)幫助其他小動物計(jì)算類似這樣的“9加幾”的牛奶，學(xué)生在這種輕松愉悅的童話情境中順利地理解和掌握了進(jìn)位加法的算理和算法。

二、借助直觀模型溝通算理與算法的關(guān)系

直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料。在計(jì)算教學(xué)中，算理是內(nèi)在的魂，而算法是外在的模型。由于不同的孩子在學(xué)習(xí)同一個(gè)知識時(shí)，他們的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是不同的，有的孩子常常在不明算理的情況下就已經(jīng)通過一些途徑掌握了所謂的計(jì)算方法，卻不明白這么計(jì)算的“道理”，所以一旦問起你為什么這么算時(shí)，孩子們就不知如何回答了，甚至有的孩子認(rèn)為會算就行了。會算就意味著真正掌握計(jì)算了嗎？怎樣才能引起學(xué)生對算理的關(guān)注呢？我們可以根據(jù)所學(xué)知識特點(diǎn)給孩子提供一定的模型，讓孩子在模型的演繹中漸漸探明算理，感悟方法。如在探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的不進(jìn)位乘法時(shí)，師生通過情境的解讀：每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？列出算式14×12=？這時(shí)教師并不急于尋求豎式計(jì)算，而是提供給學(xué)生點(diǎn)子圖，讓他們獨(dú)立嘗試，用自己的方法求出它的積，并在點(diǎn)子圖上表示出來。盡管這是孩子們未學(xué)過的知識，但他們卻能通過自己的理解借助點(diǎn)子圖求出它的積。如下圖：有的先求出6套的本數(shù)，12套里有2個(gè)6，所以再乘2，即14×6×2，有的是先求4套書有幾本，再求3個(gè)4套，即14×4×3，還有的是把12套分成10套和2套，先求10套書的本數(shù)，再加上2套書的本數(shù)，即14×10+14×2。等等。這個(gè)教師適時(shí)提供點(diǎn)子圖讓學(xué)生在圖中尋找答案的過程，其實(shí)就是在探明算理的過程，如下：

在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)這些方法都是“先分后合”，先把這些兩位數(shù)乘兩位數(shù)拆分成兩位數(shù)乘一位數(shù)，然后再合并，把沒學(xué)過的知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識，并告訴學(xué)生這是數(shù)學(xué)中很重要的一種思想方法，即轉(zhuǎn)化法。

接著讓學(xué)生嘗試用豎式計(jì)算，并且在點(diǎn)子圖上表示出自己的想法，學(xué)生隨即就會發(fā)現(xiàn)豎式計(jì)算的方法與上面最后一種口算方法的“道理”其實(shí)是一樣的。都是把12套書拆分成10套和2套，只不過表達(dá)形式不一樣，一個(gè)是口算，一個(gè)是豎式計(jì)算。如下：

到這里，很多老師認(rèn)為豎式的探究已到達(dá)目標(biāo)了，接下去就是如何熟練計(jì)算的問題。其實(shí)不然，學(xué)生對于這個(gè)豎式計(jì)算的方法與算理還沒有真正融合在一起，所以還得借助點(diǎn)子圖，繼續(xù)追問學(xué)生：“這個(gè)豎式計(jì)算都用了哪幾句口訣？（二四得八，一二得二。一四得四，一一得一。）它們分別表示點(diǎn)子圖的哪個(gè)部分？”學(xué)生很快就在點(diǎn)子圖上找到了這四次相乘的蹤跡。如下：

在此基礎(chǔ)上，教師利用課件將點(diǎn)子圖中的圓點(diǎn)隱去，抽象成一個(gè)矩形，用數(shù)形結(jié)合的方式解釋了豎式計(jì)算中每一步的意義和道理，并直觀地解釋了第二層積的末尾要寫在十位上的原因。

以上的教學(xué)中，教師通過“點(diǎn)子圖”這個(gè)直觀模型，很清晰地演示了豎式計(jì)算最簡單、最直觀的道理和方法，使算理與算法融為一體。這里的“點(diǎn)子圖”將“冷冰冰”的算法與“神秘秘”的算理透徹地揭示出來，讓學(xué)生清楚“法中見理，理中得法，原本不可剝離”。

三、借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，溝通算理與算法的關(guān)系

數(shù)學(xué)知識是緊密相連，環(huán)環(huán)相扣的，任何一個(gè)新知識都是在所謂舊知識基礎(chǔ)上衍生，發(fā)展而來的，所以當(dāng)學(xué)生動用已有的認(rèn)知基礎(chǔ)對新知進(jìn)行探索、解釋時(shí)，也就漸漸明白了這些方法后面的道理，從而達(dá)到算理與算法的融合。

如在《小數(shù)加減法》中，當(dāng)數(shù)位不同時(shí)，如何進(jìn)行正確計(jì)算是小數(shù)加減法的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而為了講解清楚“小數(shù)點(diǎn)對齊”的道理，我借助學(xué)生熟悉的“元、角分”知識創(chuàng)設(shè)了購物實(shí)例：買兩樣物品，一個(gè)是2.8元，一個(gè)是3.15元，求一共要花多少錢？學(xué)生以前做過很多加減法題，包括一位小數(shù)的加減法都是把末位的兩個(gè)數(shù)字對齊，但在這里，學(xué)生都有購物經(jīng)驗(yàn)，對這一知識背景很熟悉，他們就會發(fā)現(xiàn)如果把末位的8和5對齊，就是用8角加5分，單位不同，不能直接相加，所以肯定是不對的，只能是角與角、元與元相加，即2元與3元相加，8角與1角相加。學(xué)生這些樸素的解釋其實(shí)就蘊(yùn)含了他們心目中的“算理”即：相同數(shù)位要對齊，相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減。最后結(jié)合豎式讓學(xué)生思考：“為什么要把小數(shù)點(diǎn)對齊？”學(xué)生很快就會明白小數(shù)點(diǎn)對齊了，相同的數(shù)位就對齊了，而相同數(shù)位對齊就意味著它們的計(jì)數(shù)單位是一樣的，所以小數(shù)加減法其實(shí)就是“相同的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)直接相加減”這個(gè)“道理”。

在這個(gè)過程中，教師沒有急于進(jìn)行方法上的探究，而是放手讓學(xué)生借助已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，闡述自己的計(jì)算過程，并通過師生之間、生生之間的交流，教師的點(diǎn)撥，讓學(xué)生感悟豎式計(jì)算的算法，并理解算法背后的算理。

再如，教學(xué)“0除以任何一個(gè)不是0的數(shù)，結(jié)果得0”這一知識點(diǎn)時(shí)，由于學(xué)生已理解了除法的含義，積累了相關(guān)0的乘法的知識，因此我在教學(xué)中就直接出示0÷5這個(gè)算式問學(xué)生：你能算嗎？

學(xué)生立即就說出等于0，這時(shí)的回答可能是出于一種直覺。我繼續(xù)追問：你是怎么想的？學(xué)生的回答中就闡釋了得出這一結(jié)果的“道理”

生1：0÷5肯定是0。比如：盤子里一個(gè)蘋果也沒有，平均分給5個(gè)人，每人分到0個(gè)蘋果，就是0÷4=0。

生2：0÷5盡管要把一些東西平均分成5份，但是一個(gè)東西也沒有，怎么分呢？當(dāng)然就只能是0了。

生3：我們可以想乘法做除法，想（ ）×5=0，0乘5等于0，所以0÷5=0。

……

接著又討論了0不可以做除數(shù)……

這里沒有具體的情境，也沒有直觀的模型，而是直接出示算式，讓學(xué)生憑借已有的生活經(jīng)驗(yàn)，舉出一個(gè)個(gè)例子來解釋，理解算理、獲得答案，這樣同樣激活了其他同學(xué)的思維，使他們紛紛從已有的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)提取相關(guān)知識來尋找解決問題的辦法，讓不同思維水平的學(xué)生用不同的思維方式解決問題。這里討論時(shí)間充足，不受情景的約束，算理與算法都得到解決。

總之，計(jì)算教學(xué)中理解算理與掌握算法不可偏頗，它們是一個(gè)有機(jī)整體，形式上可以分但實(shí)質(zhì)上是不可以分的，重算法也要明算理，我們必須處理好算理和算法的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生循“理”入“法”，以“理”馭“法”，實(shí)現(xiàn)算理與算法的融會貫通，讓學(xué)生真正自由地行走在算理與算法之間。