構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解析一元一次方程應(yīng)用題

陸喜芳

初中階段的應(yīng)用題，總是令學(xué)生特別頭疼。對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，用方程解決問(wèn)題無(wú)疑是第一學(xué)年的難點(diǎn)。根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在解決常規(guī)應(yīng)用題時(shí)，我采用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法進(jìn)行分析，以此提高學(xué)生的解題能力。以下是我在教授一元一次方程的應(yīng)用時(shí)經(jīng)常采用的分析方法，與大家共同探討。

一、線(xiàn)段分析法

有些應(yīng)用題可以用構(gòu)建線(xiàn)段模型的方法，直觀(guān)地找到題中的等量關(guān)系，從而更容易地利用方程解決問(wèn)題。

如行程問(wèn)題之相遇問(wèn)題：

A、B兩地相距1260千米，慢車(chē)以50千米/小時(shí)的速度從A地出發(fā)，同時(shí)一列快車(chē)以70千米/小時(shí)的速度從B地出發(fā)相向而行，兩車(chē)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間在途中相遇？

分析：

圖中最粗線(xiàn)表示慢車(chē)相遇前的行程，較粗線(xiàn)表示快車(chē)相遇前的行程，細(xì)線(xiàn)表示A、B兩地間的距離，即快慢車(chē)的初距離。由圖可得等量關(guān)系：慢車(chē)行程+快車(chē)行程=初距離。

上題拓展：

A、B兩地相距1260千米，慢車(chē)以50千米/小時(shí)的速度從A地出發(fā)，同時(shí)一列快車(chē)以70千米/小時(shí)的速度從B地出發(fā)相向而行，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距60千米？

分析：

圖中虛線(xiàn)表示兩車(chē)間的距離60千米，由圖可以看出，此題有兩種情況，發(fā)生在相遇前和相遇后：

情況I等量關(guān)系：慢車(chē)行程+快車(chē)行程=初距離-60千米

情況II等量關(guān)系：慢車(chē)行程+快車(chē)行程=初距離+60千米

如行程問(wèn)題之追及問(wèn)題：

A、B兩地相距1260千米，慢車(chē)以50千米/小時(shí)的速度從A地出發(fā)，同時(shí)一列快車(chē)以70千米/小時(shí)的速度從B地出發(fā)同向而行，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間快車(chē)追上慢車(chē)？

分析：

由圖可得等量關(guān)系：快車(chē)行程-慢車(chē)行程=初距離

如分配問(wèn)題之余缺問(wèn)題：

隔墻聽(tīng)得客分銀，不知人數(shù)不知銀；七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。請(qǐng)同學(xué)們想想有幾人，幾兩銀？（1斤=16兩）

分析：首先考慮設(shè)x人還是設(shè)x兩銀子？若設(shè)銀子則表示人數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，故權(quán)衡下來(lái)設(shè)人數(shù)簡(jiǎn)單。故設(shè)有x人。

圖中細(xì)線(xiàn)表示總銀兩，最粗線(xiàn)表示分法1所需的銀兩，較粗線(xiàn)表示分法2所需的銀兩，由圖可得等量關(guān)系：分法1所分銀兩+4兩=分法2所分銀兩-8兩。

二、射線(xiàn)分析法

對(duì)于分段收費(fèi)的題型，構(gòu)建射線(xiàn)模型有利于用代數(shù)式表示各種情況下的費(fèi)用。

如生活常見(jiàn)題：

某種出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)為10元，即行駛不超過(guò)3千米需付10元車(chē)費(fèi)；超過(guò)3千米后每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米計(jì)）。若苗苗乘坐這種出租車(chē)從甲地到乙地共支付車(chē)費(fèi)19元，求甲地到乙地的距離。

分析：設(shè)甲乙兩地相距x千米，由費(fèi)用可知x>10，圖中粗線(xiàn)表示3千米，細(xì)線(xiàn)部分表示超過(guò)3千米的部分。

等量關(guān)系：3千米費(fèi)用+超過(guò)部分費(fèi)用=19元

上題拓展：

為增強(qiáng)市民的節(jié)水意識(shí)，某市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯收費(fèi)”：規(guī)定每戶(hù)每月不超過(guò)月用水標(biāo)準(zhǔn)部分的水價(jià)為1.5元/噸，超過(guò)月用水標(biāo)準(zhǔn)量部分的水價(jià)為2.5元/噸。該市小明家5月份用水12噸，交水費(fèi)20元。請(qǐng)問(wèn)：該市規(guī)定的每戶(hù)月用水標(biāo)準(zhǔn)量是多少?lài)崳?/p>

分析：該市規(guī)定的每戶(hù)月用水標(biāo)準(zhǔn)量是x噸，由于費(fèi)用20元用水12噸，平均每噸費(fèi)用>1.5元，可得x<12。

等量關(guān)系：標(biāo)準(zhǔn)用水部分水費(fèi)+超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)部分水費(fèi)=20元

上題延伸：

中國(guó)現(xiàn)行的個(gè)人所得稅法自2011年9月1日起施行，其中規(guī)定個(gè)人所得稅納稅辦法如下：

一、以個(gè)人每月工資收入額減去3500元后的余額作為其每月應(yīng)納稅所得額。

二、個(gè)人所得稅納稅率如下：個(gè)人每月應(yīng)納稅所得及所對(duì)應(yīng)的納稅稅率分別為：不超過(guò)1500元的部分，稅率為3%；超過(guò)1500元至4500元部分，稅率為10%；超過(guò)4500元至9000元的部分，稅率為20%……超過(guò)80000元的部分為45%。

（1）若甲、乙兩人的每月工資收入額分別為4000元和6000元，請(qǐng)分別求出甲、乙兩人每月應(yīng)繳納的個(gè)人所得稅；

（2）若丙每月繳納的個(gè)人所得稅為95元，則丙每月工資收入額應(yīng)為多少？

分析：這題顯然是分段收費(fèi)問(wèn)題中的“戰(zhàn)斗機(jī)”，納稅的層次較多，分析時(shí)容易出錯(cuò)且容易讓學(xué)生感到煩躁。這一類(lèi)的題目作為考試題時(shí)，第2小題的得分率會(huì)偏低，現(xiàn)在我們?cè)囍鴺?gòu)建射線(xiàn)模型來(lái)分析。

由圖，個(gè)人所得稅為95元，則每月應(yīng)納稅所得額介于1500元到4500元之間，設(shè)每月應(yīng)納稅所得額為x元，前1500元納稅45元，超過(guò)部分（x-1500）元納稅10%（x-1500）元，列方程即可。

利用射線(xiàn)模型，面對(duì)如此瑣碎的分段收費(fèi)難題，我們也能清晰地理清收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，羅列出每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的費(fèi)用，從而有一個(gè)明顯的著手點(diǎn)解決問(wèn)題。

三、列表分析法

對(duì)于調(diào)配問(wèn)題的應(yīng)用題，我們可以列表格幫助分析。如：

溫州和杭州某廠(chǎng)同時(shí)生產(chǎn)某種型號(hào)的機(jī)器若干臺(tái)，溫州廠(chǎng)可支援外地10臺(tái)，杭州廠(chǎng)可支援外地4臺(tái)?，F(xiàn)在決定給武漢8臺(tái)，南昌6臺(tái)。每臺(tái)機(jī)器的運(yùn)費(fèi)為：溫州廠(chǎng)到南昌是4百元每臺(tái)，到武漢8百元每臺(tái)；杭州廠(chǎng)到南昌3百元每臺(tái)，到武漢是5百元每臺(tái)。設(shè)杭州運(yùn)往南昌的機(jī)器為x臺(tái)。若總運(yùn)費(fèi)為8400元，則杭州運(yùn)往南昌的機(jī)器應(yīng)為多少臺(tái)？

分析：要解決這一問(wèn)題，我們既要關(guān)注調(diào)配機(jī)器的臺(tái)數(shù)，又要關(guān)注調(diào)配機(jī)器運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用，故可列如下表格。

完成上表，題目也就迎刃而解了。

總之，應(yīng)用題包羅萬(wàn)象，分析方法不勝枚舉。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型分析并解決一元一次方程的應(yīng)用題，簡(jiǎn)單說(shuō)就是在學(xué)生精讀題目的前提下，將題中的信息進(jìn)行整合，使信息直觀(guān)清晰地展現(xiàn)在模型中，便于確定各種量之間的關(guān)系，找到解題思路，提高學(xué)生解題能力。