“二元一次方程組”常見錯誤面面觀

徐亮

二元一次方程組在中考中的考查常以填空、選擇形式為主，或者直接是解方程組，雖然要求不高，但是很多同學在解題中錯誤百出，丟分較為嚴重，下面就平時教學中發(fā)現(xiàn)學生容易出錯的地方進行舉例分析，引起大家的注意.

1. 二元一次方程組的概念理解不透徹

例1 方程組：①m-n=1，

m+n=2. ；②y-z=0，

x+y=1. ；③x+y=1，

xy=-2. ；④x+y=3，

1x-1y=32. 中二元一次方程組的個數(shù)是（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【錯解】D.

【分析】二元一次方程組是指由含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程聯(lián)立構成的方程組.因此二元一次方程組應包含三個方面：1. 整式方程；2. 含有兩個未知數(shù)；3. 未知數(shù)的次數(shù)是一次. 方程組②含有三個未知數(shù)；方程組③是二次的；方程組④不是整式，因此它們都不是二元一次方程組，只有方程組①滿足條件.

【正解】A.

2. 方程組的解的概念模糊不清

例2 方程組x+y=1，

2x-y=5.的解是 （ ）.

A. x=-1，

y=2.

B. x=-2，

y=3.

C.x=2，

y=1.

D. x=2，

y=-1.

【錯解】A或B或D.

【分析】A和B答案只滿足了方程組中的一個方程.

【正解】二元一次方程組的解是使方程組中每一個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，而x=-1，

y=2.和x=-2，

y=3.都只是方程組x+y=1，

2x-y=5.中一個方程的解，并不能讓另一個方程的左右兩邊相等，所以不是方程組的解，因此答案是D.

3. 二元一次方程組的解法掌握不熟練

例3 用代入法解方程組2x+y=4，

x+2y=5.

【錯解】由方程組②得x=5-2y③，把③代入②得，5-2y+2y=5，所以0×y=0，因此y可以是任意值，所以該方程組有無數(shù)個解；

【分析】代入法是求二元一次方程組的解的一種基本方法. 它的一般步驟是：（1） 從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)，用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，如本題中方程②中的x，用含y的代數(shù)式表示為x=5-2y；（2） 將這個變形所得的代數(shù)式代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；這里要求代入“另一個”方程，“誤解”把它代入到變形的同一個方程中，得到了一個關于y的恒等式，出現(xiàn)了錯誤. （3） 解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；（4） 將求出的未知數(shù)的值代入前面變形所得的式子中，求出另一個未知數(shù)，從而得到方程組的解.

【正解】由方程組②得x=5-2y③，把③代入①得，2（5-2y）+y=4，解得y=2，把y=2代入③得x=1，所以原方程組的解為x=1，

y=2.

例4 解方程組4x-3y=5，

4x+6y=14.

【錯解】由①-②得3y=-9，解得y=-3，把y=-3代入①得x=-173.

【分析】①-②時出現(xiàn)錯誤.

【正解】由①-②得-9y=-9，解得y=1，代入①得x=2，所以方程組的解為x=2，

y=1.

4. 考慮問題不全面，忽視隱含條件

例5 已知方程組（a+2）x=3，

2x+（a-3）y↑a↑2-3=0.是二元一次方程組，求a的值.

【錯解】由條件得，a↑2-3=1，a=±2，所以a的值為2或者-2.

【分析】由二元一次方程組的定義可知，a+2≠0，a-3≠0，即a≠-2，a≠3，而本題忽略了題目中的隱含條件

【正解】由條件得，a↑2-3=1，a=±2，當a=-2時原方程組不是二元一次方程組，所以a=2.

以上一些典型錯誤是在平時教學中學生常見的問題，分析錯誤的原因多是學生的知識理解不夠透徹，或者是審題不清，通過對錯誤原因的分析，幫助學生逐漸形成良好的知識結構和嚴謹?shù)乃季S品質，從而避免以上錯誤的發(fā)生.

“二元一次方程組”課本習題拓展探究

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國語學校）

徐 亮

課本的習題是數(shù)學知識、解題策略和思想方法的有機結合，具有基礎性、啟發(fā)性、示范性，很多同學往往會認為其簡單而忽視，然而很多中考試題就是在課本習題的基礎上通過變式、拓展演變而來，因此重視對課本習題的研究與應用有著重要的價值，本文以“二元一次方程組”一章中的一道課本習題為例，對練習進行一些拓展探究，供同學們學習參考.

原題 （蘇科版教材七下第十章107頁練一練2）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是7，如果把它的個位數(shù)字與十位數(shù)字對換，那么所得的兩位數(shù)比原數(shù)大45，求這個兩位數(shù).

【解析】設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)題意，得x+y=7，

（10y+x）-（10x+y）=45.解得x=1，

y=6.所以這個兩位數(shù)是16.

【說明】解決兩位數(shù)問題時，通常先設出某個位上的數(shù)字，然后借助題中的條件表示出另外一個位數(shù)上的數(shù)字，根據(jù)題中的數(shù)量關系列出方程或方程組加以求解.

變式1 有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把兩個數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個兩位數(shù).

【解析】設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y. 根據(jù)題意，得y=x+5，

（10y+x）+（10x+y）=143.解這個方程組得x=4，

y=9.所以這個兩位數(shù)為4×10+9=49.

【說明】變式1是將原題中的數(shù)量關系作了一些變化，由變式1可知，涉及兩位數(shù)的計算問題要把握住兩個相等關系：（1） 個位數(shù)字—十位數(shù)字=5；（2） 新數(shù)+原數(shù)=143. 根據(jù)這兩個相等關系，可通過設十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，列方程組求得十位數(shù)字和個位數(shù)字，然后確定兩位數(shù).

變式2 有一個兩位數(shù)，其值等于十位數(shù)字與個位數(shù)字之和的4倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這個兩位數(shù).

【解析】設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，

則可列方程組為10x+y=4（x+y），

y=x+2.

解這個方程組得x=2，

y=4.，所以這個兩位數(shù)為24.

變式3 有一個兩位數(shù)和一個一位數(shù)，如果在這個一位數(shù)后面多寫一個0，則它與這個兩位數(shù)的和是146，如果用這個兩位數(shù)除以這個一位數(shù)，則商6余2，求這個兩位數(shù)和一位數(shù).

【解析】設這個兩位數(shù)為x，這個一位數(shù)為y，根據(jù)題意，得 x+10y=146，

x-2=6y.解這個方程組得x=56，

y=9.所以這個兩位數(shù)是56，一位數(shù)是9.

【說明】變式3中，根據(jù)條件一位數(shù)后面多寫一個0，也就是這個一位數(shù)擴大了10倍，如果設兩位數(shù)為x，一位數(shù)為y，則根據(jù)兩個數(shù)的和為146可得x+10y=146；根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)×商數(shù)+余數(shù)可得x=6y+2，由此可得到方程組.通過解方程組確定兩位數(shù)和一位數(shù).

變式4 一個三位數(shù)，現(xiàn)將最左邊的數(shù)字移到最右邊，則比原來的數(shù)小45；又已知百位數(shù)字的9倍比由十位和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)小3，求原來的三位數(shù).

【解析】設百位數(shù)字為x，由十位和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為y， 則原來的三位數(shù)為100x+y，對調的三位數(shù)為10y+x，則 9x=y-3，10y+x=100x+y-45，x=4，y=39，則原來的三位數(shù)為100x+y=4×100+39=439.

【說明】變式4是在兩位數(shù)的基礎上研究三位數(shù)問題，若已知一個三位數(shù)百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，個位上的數(shù)字是c，則這個三位數(shù)可以表示為100a+10b+c.

總之，課本習題是教學的重要資源，同學們應多加重視，通過變式訓練等途徑對問題進行多角度、多層次的思考，以獲得解決問題的方法，從而提高分析問題、解決問題的能力.