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    透過現(xiàn)象看本質(zhì),審清題意找方法

    2015-09-10 07:22:44姚琦
    初中生世界·七年級 2015年6期
    關(guān)鍵詞:油彩方程組題意

    姚琦

    通過本章的學(xué)習(xí),同學(xué)們經(jīng)歷了從“三元”到“二元”,從“二元”到“一元”的轉(zhuǎn)化過程,體會到了“消元”、“化歸”等思想,學(xué)會把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”,把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題. 懂得這些是為了利用二元一次方程組解決實(shí)際問題,關(guān)鍵是找出問題中蘊(yùn)涵的等量關(guān)系,建立合適的方程組求解.

    例1 若(a-2)x↑a-1+3y=1是關(guān)于x、y的二元一次方程,則a=______.

    【分析】本題根據(jù)二元一次方程的定義,需要滿足兩個條件:(1) 含有兩個未知數(shù); (2) 未知數(shù)的最高次數(shù)是1,據(jù)此就可求解.

    解:由題意得:a-2≠0,

    a-1=1.求得a=-1.

    例2 寫出一個解為x=1,

    y=2.的二元一次方程組.

    【分析】給未知數(shù)添加一定的系數(shù)就可得到一個方程,要注意的是確定一個方程后,第二個方程的系數(shù)要和第一個方程系數(shù)不成比例,否則化簡后將是同一個方程.

    解:2x+y=4,

    3x-2y=1.

    例3 若x=1,

    y=-1.是方程組ax+2y=b,

    4x-by=2a-1.的解,則a=______

    b=______.

    【分析】根據(jù)方程組解得定義,將x=1,

    y=-1.代入方程組ax+2y=b,

    4x-by=2a-1.后便可得到關(guān)于未知數(shù)a、b的新的方程組a-2=b,

    4+b=2a-1.,即可求出a、b的值.

    解:將x=1,

    y=-1.代入方程組ax+2y=b,

    4x-by=2a-1.得a-2=b,

    4+b=2a-1.解這個方程組得a=3,

    b=1.

    例4 已知方程組x+2y=k,①

    2x+y=k-7.②的解滿足x+y=3,求k的值.

    【分析】本題有4種解法:

    (1) 由已知方程組消去k,得x與y的關(guān)系式,再與x+y=3聯(lián)立組成方程組,求出x與y的值. 最后將x,y的值帶代入方程組中任一方程即可求出k的值.

    (2) 把k當(dāng)做已知數(shù),解方程組,再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于k的方程,便可求出k的值.

    (3) 把方程組中的兩個方程相加,得到3(x+y)=2k-7,把x+y=3整體代入即可求出k的值.

    (4) 把三個方程聯(lián)立構(gòu)成三元一次方程組,求出k的值.

    x+y=3,③

    解法一:

    ②-①得 x-y=7,④

    ③+④得2x=-4,

    ∴x=-2.

    把x=-2代入④得y=5,

    把x=-2,y=5代入①得k=8,

    解法二:①×2-②,得:y=k+73,

    ②×2-①得:x=k-143,

    把x,y代入③得k+73+k-143=3:

    ∴k=8.

    解法三:①+②得:3(x+y)=2k-7,

    把x+y=3代入得

    3×3=2k-7

    ∴k=8.

    解法四:解方程組x+2y=k,

    2x+y=k+7,

    x+y=3.得x=-2,

    y=5,

    k=8.

    例5 已知方程組ax-5y=15,

    4x-by=-2.由于甲看錯了方程中的得到的方程組①的a得到方程組的解為x=-3,

    y=-1.乙看錯了方程②中的b,得到的解為x=5,

    y=4.若按正確的計(jì)算,求原方程的解x與y.

    【分析】甲看錯了①中的a得到的解不影響方程②,同樣乙看錯了方程②中的b得到的解不影響方程①,運(yùn)用方程解的定義重新組成新的方程組,這樣可以求出待定系數(shù)a、b,重新代入可求出方程組的解.

    解:由題意得方程組:

    -12+b=-2,

    5a+20=15.解得a=-1,

    b=10.代入原方程組得-x-5y=15,

    4x-10y=-2.

    解這個方程組得x=-1,

    y=295.

    例6 解方程組 x+y=3,①

    y+z=4,②

    x+z=5.③

    【分析】有三種解法:(1) 直接用加減消元法解方程組;(2) 用代入消元法;(3) 用整體代換的思想.

    解法一:③-②得,x-y=1,和①組成方程組解得x=2,y=1,再把y=1代入②得z=3.

    解法二:由②、③得,y=4-z,x=5-z,代入①得,z=3,所以y=1,x=2.

    解法三:①+②+③得,2(x+y+z)=12,所以x+y+z=6④,④-①得z=3,④-②得x=2,④-③得y=1.

    例7 某班級組織學(xué)生做游戲,男生臉都涂藍(lán)色油彩,女生臉都涂紅色油彩. 做游戲時(shí),每個男生都看見涂涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍(lán)色油彩的人數(shù)的2倍少一人,而每個女生都看見涂藍(lán)色油彩的人數(shù)是涂紅色油彩人數(shù)的. 問男生,女生各有幾人?

    【分析】本題關(guān)鍵是結(jié)合生活實(shí)例,知道每個男生看到涂藍(lán)色油彩人數(shù)不是題中男生數(shù),而是除了自己之外的男生數(shù). 同理,女生看到的涂紅色油彩的人數(shù)也是除自己之外的女生人數(shù).

    解:設(shè)男生有x人,女生有y人.

    根據(jù)題意,得

    y=2(x-1)-1,

    x=35(y-1).

    解之得x=12,

    y=21.

    答:男生有12人,女生有21人.

    例8 某校組織學(xué)生到100米之外的湖邊去夏令營. 汽車只能坐一半人,另一半人步行. 先坐車的人在途中某處下車步行,汽車則立即回去接線步行的一半人. 已知步行每小時(shí)走4千米,汽車每小時(shí)走20千米(不計(jì)上下車的時(shí)間),要使大家5點(diǎn)鐘同時(shí)到達(dá),問需幾點(diǎn)出發(fā)?

    【分析】我們從行程問題的3個基本量去尋找,可以發(fā)現(xiàn)速度已明確給出,只能從路程和時(shí)間兩個量中找出等量關(guān)系.

    由題意知,先坐車的一半人,后坐車的一半人,車之間所用的時(shí)間相同,所以根據(jù)時(shí)間來列方程組,如圖所示是路程示意圖,正確使用示意圖,有助于分析問題,尋找等量關(guān)系.

    解:設(shè)先坐車的一半人下車點(diǎn)距起點(diǎn)x千米,這個下車點(diǎn)與后坐車的一半人上車點(diǎn)相距y千米,根據(jù)題意,得:

    x20+100-x4=100+2y20,

    x-y4+100-x+y20=100+2y20.解這個方程組得x=75,

    y=50.100+2y20=10.

    答:需要七點(diǎn)鐘出發(fā).

    通過以上問題的解決不難發(fā)現(xiàn),解決問題的途徑往往有很多,因此,在遇到問題時(shí),要善于結(jié)合實(shí)際問題,聯(lián)系已學(xué)知識,尋求簡潔的解決方法.

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