芻議結(jié)構(gòu)新穎的選擇試題的正解與特解

褚華

隨著高考的不斷的發(fā)展，高考試題也在不斷的變遷與創(chuàng)新.近些年來，在高考試題中、各地的高考模擬試題中，以及重點(diǎn)高校的自主招生的考試中，都出現(xiàn)了一種“也許你不會(huì)求解，但你可以分析判斷”結(jié)構(gòu)的新型選擇題，突出考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.這種試題的特點(diǎn)是：正確選項(xiàng)一般都要通過非高考要求的知識(shí)進(jìn)行求解才能得到，如微積分或高中物理競(jìng)賽解題方法等，我們把這種解題的方法叫做“正解”，同時(shí)這些試題也可以用一些技巧性的方法來求解，學(xué)生通過現(xiàn)有的物理知識(shí)分析或判斷來推理得到正確的答案，我們把這種解題的方法叫做“特殊解法”，簡(jiǎn)稱“特解”.舉例如下.

試題1 （2009年北京卷）圖1為一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面，其單位面積帶電量為σ.取環(huán)面中心O為原點(diǎn)，以垂直于環(huán)面的軸線為x軸.設(shè)軸上任意點(diǎn)P到O點(diǎn)的的距離為x，P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E.下面給出E的四個(gè)表達(dá)式（式中k為靜電力常量），其中只有一個(gè)是合理的.你可能不會(huì)求解此處的場(chǎng)強(qiáng)E，但是你可以通過一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性做出判斷.根據(jù)你的判斷，E的合理表達(dá)式應(yīng)為

A.E=2πkσ（R1x2+R21-R2x2+R21）x

B.E=2πkσ（1x2+R21-1x2+R21）x

C.E=2πkσ（R1x2+R21+R2x2+R21）x

D.E=2πkσ（1x2+R21+1x2+R21）x

正解 如圖2所示，在圓環(huán)內(nèi)部取一個(gè)半徑為R，寬度為dR的細(xì)圓環(huán)，再在細(xì)圓環(huán)上取一個(gè)長(zhǎng)度元dl.不同的長(zhǎng)度元dl所帶的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE方向各不相同，為此把dE分解為平行于x軸的分量dE∥和垂直于x軸的分量dE⊥.根據(jù)對(duì)稱性，細(xì)圓環(huán)在P點(diǎn)處沿垂直x軸方向的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和為零，在x軸方向上的分量和就是細(xì)圓環(huán)在P處的總場(chǎng)強(qiáng)，即為

∫dE∥=∫dEcosθ=∫2πR0kσdRcosθx2+R2dl

=2πkσRdRx2+R2xx2+R2

=2πkσxRdR（x2+R2）3/2.

由于圓環(huán)是由許多同心細(xì)圓環(huán)所構(gòu)成，所以圓環(huán)在P處的場(chǎng)強(qiáng)就是許多同心細(xì)圓環(huán)在P處激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)矢量和，即

E=∫R2R1dEx=∫R2R12πkσxRdR（x2+R2）3/2

=2πkσ（1x2+R21-1x2+R22）x，

故正確選項(xiàng)是B.

特殊解法 場(chǎng)強(qiáng)的單位為N/C，k為靜電力常量，單位為Nm2/C2，σ為單位面積所帶的電量，單位為C/m2，則2πkσ表達(dá)式的單位即為N/C，故各表達(dá)式中其它部分應(yīng)無單位.由此可知選項(xiàng)A、C肯定錯(cuò)誤；當(dāng)x=0時(shí)，此時(shí)要求的場(chǎng)強(qiáng)為O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，由對(duì)稱性可知EO=0，當(dāng)x→∞時(shí)，E→0，而D項(xiàng)中E→4πkσ，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.所以正確選項(xiàng)只能為B.

試題2 （2012年安徽卷）如圖3所示，半徑為R的均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為σ，其軸線上任意一點(diǎn)P（坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度可以由庫侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理求出：E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2]，方向沿x軸.現(xiàn)考慮單位面積帶電量為σ0的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖4所示.則圓孔軸線上任意一點(diǎn)Q（坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度為

A.2πkσ0x（r2+x2）1/2

B.2πkσ0r（r2+x2）1/2

C.2πkσ0xr

D.2πkσ0rx

正解 利用試題1“正解”的結(jié)論，令R2→∞，便可以得到無限大均勻帶電平板中間挖去一半徑為r的圓孔，圓孔軸線上任意一點(diǎn)Q（坐標(biāo)為x）的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=2πkσ0x（r2+x2）1/2.

故正確選項(xiàng)是A.

特殊解法 由于帶電體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直于帶電體表面，無限大均勻帶電平板周圍的電場(chǎng)應(yīng)是垂直于平板的勻強(qiáng)電場(chǎng)，即電場(chǎng)強(qiáng)度處處相等，且等于x=0處的電場(chǎng)強(qiáng)度，由題中信息可得單位面積帶電量為σ0無限大均勻帶電平板電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小為E=2πkσ0.

現(xiàn)在可以這樣假設(shè)，半徑為r的圓孔上帶有均勻分布電荷密度為+σ0和-σ0的兩種電荷.則Q點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)就可以看成是電荷面密度為+σ0的無限大均勻帶電平板在Q點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E1和電荷面密度為-σ0、半徑為r的帶電圓盤在Q點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E2的矢量和，由于E1和E2的方向相反，所以Q點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)E的大小應(yīng)為

E=E1-E2=2πkσ0-2πkσ0[1-x（x2+r2）1/2]

=2πkσ0x（x2+r2）1/2.

故正確選項(xiàng)是A.

試題3 （2013年復(fù)旦千分考）質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，0≤t≤T時(shí)段內(nèi)瞬時(shí)速度為v=v01-（tT）2，其平均速度為.

A.v0 B.v02 C.πv04 D.3v02

正解 可以根據(jù)x=∫T0vdt與=xT進(jìn)行求解.設(shè)t=Tsinθ，其中θ∈（0，π2），則dt=Tcosθdθ，所以

=∫T0v01-t2T2dtT

=∫π/20 v0cos2θdθ

=v02∫π/20 （1+cos2θ）dθ

=v02∫π/20 dθ+v04∫π/20 cos2θd（2θ）

=πv04.

故正確選項(xiàng)是C.

特殊解法 首先可以做一個(gè)初步判斷，A、B兩個(gè)選項(xiàng)肯定不對(duì).其次原式可變?yōu)?/p>

（vv0）2+（tT）2=1，

上述方程在v-t圖象中對(duì)應(yīng)的是一個(gè)橢圓方程，我們知道，在v-t圖象中，曲線與時(shí)間t軸所圍成的面積表示質(zhì)點(diǎn)的位移，而橢圓面積公式是S=πab，可以判斷在最后結(jié)果中，應(yīng)該包含π，所以在C、D兩個(gè)選項(xiàng)，只能選擇C是正確的.

試題4 （合肥2014屆高三第二次模擬考試）如圖5所示，質(zhì)量為M、傾角為θ的斜面體B靜止在光滑水平面上.現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小滑塊A無初速的放在B的光滑斜面上后，相對(duì)地面的加速度為a，重力加速度為g.下面給出a的四個(gè)表達(dá)式，其中只有一個(gè)合理的，你可能不會(huì)求解B相對(duì)地面的加速度，但是你可以通過一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性做出判斷.根據(jù)你的判斷，a的合理表達(dá)式應(yīng)為

A.a=msinθcosθMg B.a=mtanθMg

C.a=msinθcosθM+msin2θg

D.a=mtanθM+msin2θg

正解 選擇水平面地面為參照系，建立坐標(biāo)系，并對(duì)A、B進(jìn)行受力分析，如圖6所示.分別對(duì)兩個(gè)物體列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程如下.

滑塊A： -Nsinθ=-maAx（1）

Ncosθ-mg=-maAy（2）

斜面體B： N′sinθ=MaBx（3）

N′cosθ+Mg-F=0（4）

以上的四個(gè)方程中有五個(gè)未知數(shù)，它們是aAx、aAy、aBx及N、F.所以還必須尋求一個(gè)新的獨(dú)立方程，才能聯(lián)立求解.

根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)中A對(duì)C=A對(duì)B+B對(duì)C的關(guān)系，設(shè)A物塊相對(duì)B斜面的加速度在x-y坐標(biāo)系中分別為aA對(duì)Bx和aA對(duì)By，則

aA對(duì)Bx=-aAx-aBx，

aA對(duì)By=-aAy-0，

所以在以B斜面為參照物時(shí)，應(yīng)滿足如下幾何約束

tanθ=aA對(duì)ByaA對(duì)Bx=-aAy-aAx-aBx（5）

聯(lián)立（1）～（5）式解得aBx=msinθ·cosθM+msin2θg.

故正確選項(xiàng)是C.

特殊解法 首先用極限的方法來排除肯定不對(duì)的選項(xiàng).令θ→90°時(shí)，斜面體B的加速度應(yīng)該是a→0，立刻可以排除選項(xiàng)B、D不對(duì).對(duì)于A選項(xiàng)，是在認(rèn)為“物塊對(duì)斜面體壓力”為N′=mgcosθ情況下得到的斜面體的加速度，顯然這是錯(cuò)誤的，因?yàn)榛瑝K與斜面體之間有相對(duì)加速度，所以N′≠mgcosθ.在排除了A、B、D選項(xiàng)的可能性情況下，只有選擇C.