關(guān)于麥克斯韋方程組教學(xué)研究探討

田碩 丁佩

摘 ? ?要： 本文對麥克斯韋方程組教學(xué)進行研究探討，對其誕生的背景、形式、推導(dǎo)、理解等情況進行分析，并闡述了其物理內(nèi)涵和物理學(xué)史的意義，討論了麥克斯韋方程組教學(xué)中注意的問題，分析了其建立過程對我們的啟迪意義。

關(guān)鍵詞： 麥克斯韋方程組 ? ?電磁場 ? ?散度 ? ?旋度 ? ?電磁波

麥克斯韋方程組是電磁學(xué)中的基本物理公式，是整個電磁學(xué)大廈的基石。這在電磁學(xué)、電動力學(xué)等大學(xué)物理基礎(chǔ)課程里都有深入的講解，但還有不少同學(xué)對麥克斯韋方程組的理解不夠深刻，不能熟練利用其解決電磁學(xué)問題。筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗和科研工作的體會，從教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法及應(yīng)用等方面給出了麥克斯韋方程組研究性教學(xué)的體會。

一、了解麥克斯韋方程組誕生的背景

麥克斯韋方程組是英國物理學(xué)家麥克斯韋總結(jié)電磁場基本規(guī)律的一組方程，是19世紀物理學(xué)領(lǐng)域最矚目的科學(xué)成果之一，雖然歷史賦予麥克斯韋完成這一科學(xué)歷史使命，但從整個科學(xué)界的發(fā)展環(huán)境來看，麥克斯韋方程組的誕生也具有歷史發(fā)展的必然性。庫侖定律、畢奧—薩伐爾定律、安培定律、歐姆定律及法拉第電磁感應(yīng)定律的相繼建立，并表明電磁學(xué)各個局部的規(guī)律已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，同時意味著建立普遍的電磁理論，對各種電磁現(xiàn)象提供統(tǒng)一解釋的條件已經(jīng)成熟。此外，在關(guān)于電磁作用的機制和本質(zhì)解釋上，超距說和近距說有過激烈的斗爭和交鋒，但最終以麥克斯韋和法拉第為代表的近距說，能更好地解釋實驗事實，并最終導(dǎo)致了近距作用的電磁理論——麥克斯韋電磁場理論的誕生，而麥克斯韋方程組就是麥克斯韋理論中的重要部分。1864年12月8日，麥克斯韋在英國皇家學(xué)會宣讀了關(guān)于電磁場理論的總結(jié)性論文《電磁學(xué)動力學(xué)理論》，并于1865年在英國《皇家學(xué)會學(xué)報》上發(fā)表。在該論文的第三部分“電磁場的普遍方程組”中，第一次提出了麥克斯韋方程組，這是該論文的核心和主要成果。

二、掌握麥克斯韋方程組在不同情況下的形式

麥克斯韋方程組是指下列的一組方程組：

（1）真空情況下

上面第一組方程反映了電荷電流激發(fā)電磁場及電磁場內(nèi)部的運動規(guī)律，上面第二組方程表示的是，不存在自由電荷和電流，電磁場的相互激發(fā)，通常稱作無源麥氏方程組。

（2）介質(zhì)中的麥克斯韋方程組

很明顯可以證明，真空中麥克斯韋方程只是介質(zhì)中麥克斯韋方程的特殊形式。

（3）麥克斯韋方程的積分形式

以介質(zhì)中麥克斯韋方程為例：

（4）介質(zhì)表面的麥克斯韋方程——邊值關(guān)系：

三、關(guān)于麥克斯韋方程組的最初推演過程

麥克斯韋在《電磁學(xué)動力學(xué)理論》中建立的電磁場普遍方程組，是用直角坐標分量形式給出的，共20個標量方程，其中包括20個變量（標量），它與教科書中的麥克斯韋方程很接近，只是它是以標量形式表示的，并且給出了8組方程，但這個方程顯得很繁雜，寫成矢量形式更簡潔，即下面8個方程：

可以指出，（2）式是磁場高斯定理，（1）和（3）是安培環(huán)路定理，（4）是電磁感應(yīng)定律，（7）式是電場中的高斯定理，（5）、（6）=μ分別描述介質(zhì)極化、導(dǎo)電、磁化性質(zhì)，（8）是電荷守恒規(guī)律。經(jīng)過公式的綜合和推理，進一步簡化即可得麥克斯韋方程現(xiàn)在的形式。

此外，根據(jù)能量原理和近距原理，根據(jù)庫侖定律和洛倫茲變換、根據(jù)變分原理也可以從不同角度建立麥克斯韋方程式，大家可以參閱相關(guān)參考書。

三、關(guān)于麥克斯韋方程組的理解

麥克斯韋方程由四個方程組成，每個方程的物理意義都很明確，其不包括電流連續(xù)性方程，是因為該方程可以由方程中的另外兩個方程導(dǎo)出。根據(jù)亥姆霍茲定理，矢量場的旋度和散度都表示矢量場的源，所以麥克斯韋方程表明了電磁場和它們的源之間的全部關(guān)系，即除了真實電流外，變化的電場（位移電流）也是磁場的源;除電荷外，變化的磁場也是電場的源。麥克斯韋方程組是宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律，靜電場和恒定磁場的基本方程都是麥克斯韋方程的特例。電磁理論的研究對象通常包括兩個物質(zhì)場，即電磁場和帶電電流場，兩者之間存在相互作用，麥克斯韋方程組就是電磁場的演化（運動）方程組，通過求解麥克斯韋方程組的微分方程，可以得到許多解都表示以光速傳播的波動方程，稱為電磁波，這也表明光是一種電磁波，進而把光學(xué)和電磁學(xué)統(tǒng)一起來，正是麥克斯韋最早最敏銳地發(fā)現(xiàn)了這一點。麥克斯韋方程組不僅揭示了電磁場的運動規(guī)律，更揭示了電磁場可以獨立于電荷之外而存在，這樣就加深了我們對電磁場物質(zhì)性的認識。

四、麥克斯韋方程組教學(xué)過程中要注意的一些問題

在麥克斯韋方程和介質(zhì)方程的教學(xué)中，還有一些值得注意的問題，容易引起困惑和誤解，需要進一步地分析、說明和解釋。

1.建立麥克斯韋方程組，提供了一個很好機會，系統(tǒng)回顧比較靜電場、渦旋電場、恒定磁場，變化電場產(chǎn)生的磁場的性質(zhì)和特質(zhì)，認清異同，有助于理解方程中各量的含義與適用范圍。更重要的是，由于電磁場的內(nèi)在聯(lián)系，使各方程整合成麥克斯韋方程組，不僅描繪了電磁場的性質(zhì)，更成了電磁場運動變化所遵循的規(guī)律，實現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。

2.介質(zhì)方程的建立，提供了全面考察電磁場與實物相互作用的機會，可以詳盡討論電荷的劃分、電流的劃分，準確闡述感應(yīng)、極化、磁化及線性介質(zhì)的含義，使學(xué)生得到比較全面的認識。

3.電位移與磁場強度的理解，知道它們的引入是為了消除麥克斯韋方程中未知或無法測量的極化電荷、磁化電流或極化電流。如果自由電荷和傳導(dǎo)電流中也包括未知的部分，就涉及場源的分解方式是否唯一，以及不同分解方式下怎樣重建麥克斯韋方程的問題。

五、麥克斯韋方程的建立過程帶給我們的啟迪

以麥克斯韋方程為標志的電磁場理論，形式簡潔，內(nèi)容廣泛，影響深遠，物理思想極其深刻。作為重要的教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)?shù)剡M行物理思想和研究方法的教育是必要的。從麥克斯韋方程的建立過程，我們可以得到以下啟示：

1.尋求聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，揭示本質(zhì)，建立統(tǒng)一理論。無論牛頓對天與地的統(tǒng)一，麥克斯韋理論對電、磁、光的統(tǒng)一，以及以后的愛因斯坦狹義相對論將電磁學(xué)與力學(xué)實現(xiàn)統(tǒng)一，都標志物理學(xué)發(fā)展的歷史，就是在不斷地尋求共性，尋求統(tǒng)一的過程。

2.善用類比方法。麥克斯韋通過電磁場與流速場的類比研究，并引入了電力線的概念，引入了流體力學(xué)里的通量與環(huán)流，從而打開了局面，澄清了思想，取得了有效進展。

3.淵博的學(xué)識、深刻的洞察力和嚴謹精確的表達。淵博的學(xué)識、深刻的洞察力和嚴謹精確的表達是一位優(yōu)秀偉大的物理學(xué)家所要具備的素質(zhì)，而麥克斯韋正是這些優(yōu)秀素質(zhì)的綜合體現(xiàn)者。能夠發(fā)現(xiàn)電磁學(xué)局部理論之間的聯(lián)系，需要知識和洞察力，而麥克斯韋方程式的嚴謹和精確是物理學(xué)趨于成熟的重要標志，也是麥克斯韋對物理規(guī)律的深刻理解和數(shù)學(xué)能力的重要體現(xiàn)。

4.和諧意境。自然界是一個相互關(guān)聯(lián)、相互制約的和諧整體，描述自然界基本規(guī)律的物理理論，也應(yīng)該是和諧的。麥克斯韋方程就體現(xiàn)處一種對稱美、和諧美、簡潔美，也是自然界和諧意境的重要體現(xiàn)。

六、麥克斯韋電磁場理論的歷史意義

麥克斯韋電磁場理論是一個完整的理論體系，不僅對電磁學(xué)領(lǐng)域已有的研究成果作了很好的總結(jié)，而且為進一步的研究提供了理論基礎(chǔ)，從而迎來了電磁學(xué)全面蓬勃發(fā)展的新時期。麥克斯韋電磁場理論的建立開辟了許多新的研究課題和方向，如通訊、廣播、電視事業(yè)的發(fā)展，材料電磁性質(zhì)的研究等，對技術(shù)進步和文化生活繁榮起了重要作用。

光的電磁理論是麥克斯韋電磁場理論的重大成果，實現(xiàn)了光學(xué)與電磁學(xué)的統(tǒng)一。麥克斯韋電磁場理論的歷史意義還在于引起了物理實在觀念的深刻變革，電磁場是一種不同于實物粒子的客觀存在，對人類的世界觀和物質(zhì)觀加深了認識，同時印證了電磁作用的近距觀點，電磁作用變化遵循麥克斯韋方程，非接觸的電磁物體之間，以電磁場傳遞電磁作用，傳遞是需要時間的，即是近距的。

當(dāng)然，麥克斯韋的電磁場觀念還不夠徹底，它沒有擺脫以太觀點的影響，在一定程度上還有機械論的色彩，同時，麥克斯韋方程、伽利略變換、相對性原理三者不能共存，直接導(dǎo)致了狹義相對論的誕生。

總之，麥克斯韋方程組的教學(xué)是大學(xué)物理、電磁學(xué)、電動力學(xué)等學(xué)科教學(xué)中的重要部分，本文對麥克斯韋方程組的誕生、形式、教學(xué)注意事項、理解、物理意義及歷史意義分別進行了探討，希望能給教育一線的同行有所啟示。

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