高中算法教學(xué)研究性課題的開發(fā)

王敏

摘 要： 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)解決實際問題的創(chuàng)新能力，本文提出了基于智能優(yōu)化算法的研究性課題。在這一研究性課題的教學(xué)設(shè)計中，通過引入課題、介紹算法、建立模型、進(jìn)行運(yùn)算、討論結(jié)果這五步，使學(xué)生解決了日常生活中的優(yōu)化問題。教學(xué)設(shè)計的結(jié)果表明，基于智能優(yōu)化算法的課題適用于高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 研究性學(xué)習(xí) 算法

1.高中數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)

高中數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)有著重要意義[1，2]，它能使學(xué)生在思考和分析數(shù)學(xué)材料的過程中，培養(yǎng)理解和感悟數(shù)學(xué)的能力，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)。研究性學(xué)習(xí)可以啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，使學(xué)生遇到生活中的一些問題時，能夠自主使用數(shù)學(xué)知識解決這些問題。由此可見，研究性學(xué)習(xí)需要的問題，應(yīng)該是與高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相近的問題。對于高中數(shù)學(xué)的研究性課題，學(xué)生可以進(jìn)行學(xué)習(xí)、試驗、思考、爭辯，并在課題的研究中找到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新天地。

高中數(shù)學(xué)教材[3]指出，算法是計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)，計算機(jī)已成為人們?nèi)粘Ｉ畈豢扇鄙俚墓ぞ?。對于高中生，從日常生活中選擇引入研究性課題的材料，更容易被學(xué)生接受。人們在日常生活遇到的很多問題，都可以利用一些已有的算法和相應(yīng)的計算機(jī)程序解決。因此，在算法教學(xué)中開展研究性學(xué)習(xí)，有著廣闊的前景。下面提出一種基于智能優(yōu)化算法的課題式教學(xué)設(shè)計。我們計劃采用NSGA2作為教學(xué)實踐中的智能優(yōu)化算法。

2.基于智能優(yōu)化算法的課題式教學(xué)設(shè)計

基于智能優(yōu)化算法的課題式教學(xué)設(shè)計分為引入課題、介紹算法、建立模型、進(jìn)行運(yùn)算、討論結(jié)果五個部分。

2.1引入課題

教師：如果在假期我們打算去旅游，有很多景區(qū)可以選擇。我們對這些景區(qū)的興趣不同，這些景區(qū)的門票和交通費(fèi)用也不同，去更多的景區(qū)開闊眼界是每個人的愿望。因此，我們應(yīng)該認(rèn)真思考選擇哪些景區(qū)。這是一個很難通過思考得到結(jié)果的問題，通過智能優(yōu)化算法可以代替我們的大腦解決這個問題。

2.2介紹算法

教師：所謂人工智能，就是通過各種算法模擬大腦的工作，目的是代替我們的大腦進(jìn)行思考，解決各種問題。智能優(yōu)化算法是人工智能的一種算法，它可以代替我們的大腦解決優(yōu)化問題。

學(xué)生：那上面的問題是優(yōu)化問題嗎？

教師：在上面選擇哪些景區(qū)的問題中，我們有三個目的，一是選擇的景區(qū)總的興趣較高，二是選擇的景區(qū)總的門票和交通費(fèi)用較低，三是選擇景區(qū)的數(shù)量盡量多。這三個目的往往是相互沖突的，我們需要選擇一些景區(qū)最好地達(dá)到這三個目的。由此可見，這是一個優(yōu)化問題，智能優(yōu)化算法可以幫助我們解決這個問題。

學(xué)生：我們怎么使用智能優(yōu)化算法呢？

教師：我們首先應(yīng)該運(yùn)用課本中所學(xué)的算法知識，初步了解智能優(yōu)化算法的計算原理。我們已經(jīng)選擇的這些景區(qū)被稱為決策變量；對于我們選擇范圍內(nèi)的所有景區(qū)，稱為決策空間。決策變量是在決策空間中隨機(jī)選擇的。如果我們可以最多同時選擇5個景區(qū)，決策變量就是5維向量，即■=（x■，x■，…，x■），其中x■到x■這5個景區(qū)在所有景區(qū)中隨機(jī)選擇，這5個景區(qū)可以互相重復(fù)。

學(xué)生：景區(qū)怎么用數(shù)字代替呢？

教師：景區(qū)可以按照先后順序依次用數(shù)字代替，比如第一個景區(qū)就是1。對于我們的三個目的，也需要把它們轉(zhuǎn)化成數(shù)字才能進(jìn)行計算。我們對每個景區(qū)都進(jìn)行排名，排名靠前表明興趣高。這樣第一個目的就是中所有互不重復(fù)的景區(qū)名次的和。類似的，第二個目的就是中所有互不重復(fù)的景區(qū)門票和交通費(fèi)用的和。第三個目的應(yīng)該是中所有互不重復(fù)的景區(qū)數(shù)量。景區(qū)的名次和費(fèi)用如表1所示。表中第一行和第四行是景區(qū)的編號，第二行和第五行是景區(qū)的排名，第三行和第六行是景區(qū)的費(fèi)用，數(shù)字的單位是元。

表1 景區(qū)的名次和費(fèi)用

學(xué)生：怎樣計算呢？

教師：通過以上分析可知，不管是景區(qū)名次的和，景區(qū)門票和交通成本的和，還是景區(qū)數(shù)量，它們的大小都是由■決定的。它們是■的函數(shù)，因此我們稱這些函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)。我們只要擁有用數(shù)字表示的決策空間和決策變量，以及用數(shù)字計算的目標(biāo)函數(shù)，就可以使用智能優(yōu)化算法選擇到最適合我們的景區(qū)。

2.3建立模型

學(xué)生：怎樣建立目標(biāo)函數(shù)呢？

2.4進(jìn)行運(yùn)算

學(xué)生：怎樣調(diào)用智能優(yōu)化算法的程序呢？

教師：為了降低讀寫程序的難度，我們選擇matlab語言。在調(diào)用智能優(yōu)化算法程序的主文件中正確編程，就可以實現(xiàn)建立的數(shù)學(xué)模型，得到需要的結(jié)果。主文件中的matlab代碼是：

X2=fix（X*20）；

X3=X2+1；

C=zeros（20，1）；

forn=1：5

C（X3（n，1），1）=1；

end

[a，b]=find（C）；

C2=[a，b]；

[a1，b1]=size（C2）；

A=[6；3；16；11；7；17；14；8；5；19；15；1；2；4；18；13；9；20；10；12]；

forn=1：a1

W1（n）=A（C2（n，1），1）；

end

W2=sum（W1）；

B=[1200；2000；200；1400；1500；1000；1300；1800；800；900；100；500；1700；1100；700；600；1600；300；400；1900]；

forn=1：a1

W3（n）=B（C2（n，1），1）；

end

W4=sum（W3）；

F（1）=W2；

F（2）=W4；

F（3）=1/a1；

對于智能優(yōu)化算法，代碼中的X是m1維矩陣。通過設(shè)定m=5，這里X是5x1維矩陣，其中的5個元素均是從0.0000到0.9999中的隨機(jī)數(shù)。fix（）是matlab的取整函數(shù)，即實數(shù)的整數(shù)部分。因此，X2中的5個元素均是從0到19中的隨機(jī)數(shù)。X3中的5個元素均是從1到20中的隨機(jī)數(shù)。這樣，代碼中的X3是模型中的。zeros（）是matlab的矩陣生成函數(shù)，生成的矩陣中元素都是0。因此C是201維0矩陣。通過for循環(huán)語句，我們使X3指定的元素全是1。find（）是matlab的查找函數(shù)，查找矩陣中非0元素的位置，生成相應(yīng)的矩陣。因此C2是C中非0元素的位置，也是X3中所有互不重復(fù)的數(shù)。size（）函數(shù)得到矩陣的行數(shù)和列數(shù)，這樣a1是C2的行數(shù)，是模型中的n。代碼中的A和B是模型中的A和B。通過for循環(huán)語句，我們使W1和W3中的元素，是C2指定的A和B中的值，代碼中的F（1）、F（2）、F（3）表示目標(biāo)函數(shù)。對于智能優(yōu)化算法，可以設(shè)定優(yōu)化結(jié)果的個數(shù)，我們設(shè)定結(jié)果的個數(shù)是10，計算結(jié)果如表2所示。

表2 計算結(jié)果

2.5討論結(jié)果

教師：從表2可以看出，這10個景區(qū)的選擇方式都很好，分別偏向了我們的三個目的。把它們互相比較，難分高低。智能優(yōu)化算法很好地解決了選擇哪些景區(qū)的問題，我們的大腦也很難想出這樣的結(jié)果。在生活中還有很多其他的優(yōu)化問題，我們也可以通過建立數(shù)學(xué)模型、編寫matlab程序、進(jìn)入智能優(yōu)化算法進(jìn)行計算的辦法，解決這些復(fù)雜的問題。

3.總結(jié)

基于智能優(yōu)化算法的課題式教學(xué)設(shè)計，主要涉及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和矩陣的基本定義這兩個知識點，它們在高中數(shù)學(xué)教材中都有介紹。matlab語言簡單易學(xué)，通過互聯(lián)網(wǎng)就可以了解其編程技巧。因此，基于智能優(yōu)化算法的課題適用于高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]杜振義.關(guān)于高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2014（10），54-55.

[2]張曉兵.例談數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微課題”研究[J].數(shù)學(xué)教育研究，2012（5），13-14.

[3]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修3[M].人民教育出版社，2012.

[4]鄭金華.多目標(biāo)進(jìn)化算法及其應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，2007.