數(shù)學(xué)化視角下的數(shù)量關(guān)系表征

張敏

【案例】

近日，看到朋友兒子小朱的一份批改過的數(shù)學(xué)試卷，上面有這樣一道題目引起了筆者的注意，見下圖：

這是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生能從簡單情況入手，進行觀察、比較、思考，進而能發(fā)現(xiàn)小棒的根數(shù)與八邊形的個數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，并能將這種關(guān)系以比較抽象的數(shù)學(xué)方式加以表征。題中括號里填寫的“8n-（n-1）”是小朱考試時寫出的答案，很顯然老師給他判了個“×”，后面是小朱訂正寫出的答案“7n+1”，訂正時在每一個圖形的下面還標(biāo)出了“8、15、22”幾個數(shù)據(jù)。

于是就有了下面一段對話：

筆者：你這道題怎么錯了？

小朱：我的答案可能是不簡便吧。

筆者：為什么？

小朱：如果把8n-（n-1）的括號去掉后，后面的減號變成加號，再把8n減去n，就是（7n+1）了，這個答案比較簡潔。

筆者：那你的8n-（n-1）這個答案是怎么想出來的？

小朱：我想，從第二個圖形開始就是八邊形重合在一起了，2個八邊形就有1條邊重合，3個八邊形就有2條邊重合，以此類推n個八邊形就有（n-1）條邊重合，n個八邊形原來有8n條邊，現(xiàn)在減去重合的（n-1）條邊，那么就需要8n-（n-1）根小棒了。

筆者：你的想法很好啊，你這個答案正好體現(xiàn)了你的思考過程。那老師所說的（7n+1）是從你的答案化簡來的嗎？

小朱：不是，老師是這樣講的：1個八邊形是8根，2個八邊形是15根，3個八邊形是22根，小棒的根數(shù)是八邊形個數(shù)的7倍多1，所以n個八邊形就是（7n+1）根。

筆者：你覺得，老師的答案比你的答案好嗎？

小朱：好。

筆者：老師講的思考方法和你的相比，誰的好？

小朱：我的方法應(yīng)該也挺好。要是我把答案化簡一下就好了。

筆者：你覺得老師這樣批改有道理嗎？

小朱：應(yīng)該有吧。

……

這一段對話觸動筆者思考。從上述對話中可以看出，小朱對這道題的思考是完全正確的，他很準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)了圖形的變化規(guī)律以及變化過程中小棒的排列特點，并且依據(jù)這種特點，很自然、很準(zhǔn)確地表征了小棒的根數(shù)與八邊形的個數(shù)之間的關(guān)系，顯得水到渠成。然而老師卻輕易地將孩子的答案判為錯誤，毫無疑問老師的這種評判是不對的，這種誤判折射出了教師在認(rèn)識上的偏差。

【思考】

一、孰高孰低？——原生態(tài)表征與精致化表征

小朱所寫出的答案8n-（n-1）可看成是一種對于小棒根數(shù)與八邊形個數(shù)關(guān)系的原生態(tài)表征，它是在學(xué)生觀察比較的基礎(chǔ)上，獨立探索、自主發(fā)現(xiàn)并表征出來的數(shù)量關(guān)系，反映出學(xué)生思維的原始性，它真實、自然地反映了學(xué)生的思維過程和對題中數(shù)量關(guān)系的理解，更多地體現(xiàn)了對思維過程的直接揭示；而從教師的角度理解，教師給出的答案（7n+1）可以看作是一種在學(xué)生原生態(tài)表征基礎(chǔ)上的進一步精致化，更多地體現(xiàn)了對思維結(jié)果的形式化表達。而這兩種表征方式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都經(jīng)常地、大量地存在著，它們之間是否存在著孰高孰低的問題呢？

從表征的結(jié)果上看，它們都正確地揭示和反映了數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系；從表征的過程上看，兩種答案呈現(xiàn)出不盡相同的形成路徑：小朱的原生態(tài)表征是通過觀察發(fā)現(xiàn)從第二個圖形開始就有八邊形的邊重合在一起了，2個八邊形就有1條邊重合，3個八邊形就有2條邊重合，以此類推n個八邊形就有（n-1）條邊重合，n個八邊形原來有8n條邊，現(xiàn)在減去重合的（n-1）條邊，那么就需要8n-（n-1）根小棒了；教師的精致化表征是將每個圖形中的小棒個數(shù)寫出來，然后發(fā)現(xiàn)1個八邊形是8根，2個八邊形是15根，3個八邊形是22根，從小棒根數(shù)與八邊形個數(shù)的數(shù)據(jù)內(nèi)部關(guān)系中得出：小棒的根數(shù)是八邊形個數(shù)的7倍多1，所以n個八邊形就是（7n+1）根。它們都具有其特定的思維視角，各自從不同的角度揭示和反映了兩個數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，應(yīng)該說都具有獨特的內(nèi)在思維價值，而我們知道內(nèi)在價值是“無價之寶”，無價之寶是無法進行比較的。從實際操作來看，精致化表征可以從數(shù)學(xué)情境中生成，即直接建構(gòu)，如教師向?qū)W生介紹的這種思路；也可以以已有的原生態(tài)表征為依托，通過引入數(shù)學(xué)元素進行化簡，形成更凝練的精致化表征，即間接建構(gòu)，如小朱所理解的由8n-（n-1）到（7n+1）的化簡過程。這種間接建構(gòu)既反映了二者之間的聯(lián)系，同時也是對原生態(tài)表征的內(nèi)在價值的充分肯定。

綜上所述，像本例中教師這樣“厚此薄彼”所作出的評判，視原生態(tài)表征為未完成品，而視精致化表征為成品，并將精致化表征視為唯一恰當(dāng)?shù)谋碚鳂邮降恼J(rèn)識，無疑是錯誤的。

二、何去何從？——橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化

那么，在教學(xué)實踐中，如何恰當(dāng)?shù)靥幚磉@兩種表征方式之間的關(guān)系才能更加有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，更加有利于學(xué)生思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的提升？筆者以為，將數(shù)量關(guān)系的原生態(tài)表征與精致化表征并重，并促進兩者之間的互補與整合，無疑是數(shù)學(xué)教學(xué)明智的選擇。為何要并重，如何互補與整合？弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)化思想應(yīng)該能給我們一定的啟示。

弗賴登塔爾認(rèn)為：當(dāng)我們把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種活動，它的一個主要特征是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化可分為橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化注重從生活到數(shù)學(xué)，從現(xiàn)實情境到數(shù)學(xué)體系，而縱向數(shù)學(xué)化注重的是數(shù)學(xué)體系內(nèi)部的變換、重組。本例中，無論是原生態(tài)表征8n-（n-1），還是精致化表征（7n+1），都可以直接從橫向數(shù)學(xué)化的維度得到，即都可以通過對圖的觀察、分析而抽象出關(guān)系；與此同時，精致化表征（7n+1）還可以通過將原生態(tài)表征8n-（n-1） 以化簡的方式進行數(shù)學(xué)內(nèi)部的重組即縱向數(shù)學(xué)化的維度得到。

對橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化進行分類，數(shù)學(xué)教育可以分成四種類型：①缺少橫向數(shù)學(xué)化，也缺乏縱向數(shù)學(xué)化，是機械主義的教學(xué)；②橫向數(shù)學(xué)化得到成長，但縱向數(shù)學(xué)化不足，是經(jīng)驗主義的教學(xué)；③橫向數(shù)學(xué)化不足，但縱向數(shù)學(xué)化被培養(yǎng)起來，是結(jié)構(gòu)主義的教學(xué)；④橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化都得到成長，是現(xiàn)實主義的教學(xué)。當(dāng)下我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革倡導(dǎo)現(xiàn)實主義的教學(xué)，橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化要結(jié)伴而行，均衡發(fā)展。

這樣，就從數(shù)學(xué)化的角度為我們提供了理論依據(jù)：數(shù)量關(guān)系表征應(yīng)該從單一的精致化表征轉(zhuǎn)向以原生態(tài)表征與精致化表征兩者并重，這就要求教師在教學(xué)實踐中必須重視學(xué)生的原生態(tài)表征，但又不能讓學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展僅僅停滯在“自發(fā)”的水平上，也要及時引導(dǎo)學(xué)生由原生態(tài)表征向精致化表征提升，并實現(xiàn)兩者的互補與整合。所以，當(dāng)學(xué)生得到原生態(tài)表征之后，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維方式從橫向數(shù)學(xué)化的維度直接構(gòu)建精致的數(shù)量關(guān)系，也可以引導(dǎo)學(xué)生運用已學(xué)過的數(shù)學(xué)定律、性質(zhì)對原生態(tài)表征進行形式化處理，從縱向數(shù)學(xué)化的維度邏輯推理出精致化的數(shù)量關(guān)系。但就這種間接構(gòu)建的方式而言，教師必須注意的是：盡管學(xué)生經(jīng)歷了由原生態(tài)向精致化的邏輯推理，但并不意味著學(xué)生隨之自然地建立起與精致化相對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，潛存著知識與方法“分離”的危險。因此，對于形式化推演出來的精致化表征，教師仍然應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生將其與數(shù)學(xué)概念、直觀圖形聯(lián)系起來綜合考查，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟和建立起與精致化表征相對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，實現(xiàn)思維方式的轉(zhuǎn)換，建構(gòu)起精致化數(shù)量關(guān)系表征的完整意義。

就本例而言，教師在評講試題時，一方面要充分肯定學(xué)生給出的這個答案，并鼓勵學(xué)生將這種答案及其思考過程向全體同學(xué)展示；另一方面，也要引導(dǎo)學(xué)生將這個答案進一步化簡為（7n+1），使之在形式上更加簡潔以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的特征。更重要的是引導(dǎo)全體學(xué)生從題中的圖形出發(fā)，從不同的思維視角建構(gòu)起（7n+1）的實際意義。

方法一：根據(jù)題中的圖，形成下列表格。

觀察表格中上下兩行數(shù)據(jù)之間的關(guān)系：8=7+1，15=7×2+1，22=7×3+1，……從而得到：n個八邊形，小棒的根數(shù)是（7n+1）根。

方法二：將題中的圖分解如下，并逐一動態(tài)呈現(xiàn)。

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：1個八邊形，小棒根數(shù)是（1+7）根，2個八邊形，小棒根數(shù)是（1+7×2）根，3個八邊形，小棒根數(shù)是（1+7×3）根，……從而得到：n個八邊形，小棒的根數(shù)是（1+7n）根。

從更高的層次來看，堅持?jǐn)?shù)量關(guān)系原生態(tài)表征與精致化表征并重、橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化結(jié)合，不僅僅是為了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，更重要的是為了學(xué)生智慧的生成與發(fā)展。學(xué)生可以從多種角度去思考問題，其思維視角是多向的而不是單向的，其思維方式是多樣的而不是單一的。如此的數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正“使人具有活躍的智慧”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能真正成為“智慧之學(xué)”。

（江蘇省寶應(yīng)縣實驗小學(xué) 225800）