探索知識(shí)的海洋，激蕩思維的琴弦

崔平社

摘 要： 2014年11月，在西安高新一中開(kāi)展了全國(guó)“聚焦課堂”活動(dòng)，參與講課的三位老師分別來(lái)自清華附中、上海北郊高級(jí)中學(xué)、西安高新一中，本節(jié)課教學(xué)的主要內(nèi)容是理解函數(shù)零點(diǎn)的定義及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的聯(lián)系，了解“函數(shù)零點(diǎn)存在”的判斷方法，對(duì)新知識(shí)加以應(yīng)用；滲透由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，提高學(xué)生的抽象和概括能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想；認(rèn)識(shí)函數(shù)零點(diǎn)的價(jià)值所在，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)；讓學(xué)生在自我解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)成功的喜悅.三位的展示雖然在知識(shí)背景、教學(xué)習(xí)慣上不盡相同，但是卻折射出相同的教學(xué)理念，作者結(jié)合對(duì)新課程的理解，試從他們成功的亮點(diǎn)談?wù)務(wù)J識(shí)和體會(huì)，供大家參考.

關(guān)鍵詞： 函數(shù)性質(zhì) 同課異構(gòu) 方程

一、案例分析

1.情景導(dǎo)入——“形態(tài)各異”.良好的開(kāi)端是成功的一半，一節(jié)課也是如此.如果能夠在數(shù)學(xué)課堂上創(chuàng)設(shè)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，讓學(xué)生懷著求知的欲望和愉悅的心情學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，就會(huì)使學(xué)生變苦學(xué)為樂(lè)學(xué)、變被動(dòng)為主動(dòng)探索，課堂就會(huì)充滿朝氣、活力.

案例1：醉不成歡慘將別（復(fù)習(xí)式）

T：請(qǐng)判斷一元二次方程2013x■-2015x+1=0是否有實(shí)數(shù)解？

S■：因?yàn)椤?（2015）■-4×2013>0，所以方程有實(shí)數(shù)解.

T：很好！還有其他方法嗎？

S■：令f（x）=2013x■-2015x+1，由f（0）=1>0，f（1）=-1<0，頂點(diǎn)在x軸下方，所以方程有實(shí)數(shù)解.

T：這位同學(xué)將解決方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，回答正確！還有哪位同學(xué)有其他見(jiàn)解？

S■：判斷一元二次方程2013x■-2015x+1=0可以通過(guò)兩個(gè)函數(shù)y■=2013x■與y■=2015x-1的交點(diǎn)有無(wú)進(jìn)行，顯然兩圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有實(shí)數(shù)解.

同學(xué)們通過(guò)不同的角度回答問(wèn)題，從本質(zhì)上解決了我們今天要講的第一個(gè)概念——函數(shù)的零點(diǎn)，請(qǐng)看函數(shù)的零點(diǎn)的定義（略）.

案例2：忽聞水上琵琶聲（發(fā)現(xiàn)式）

T：你如何看待y=2x-1？

S■：直線.

S■：一次函數(shù).

T：作出直線y=2x-1，不難得出直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為■，■你是如何得到的？

S■：直線y=2x-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

S■：y=2x-1對(duì)應(yīng)方程的解.

T：■也是今天我們要講的函數(shù)f（x）=2x-1的零點(diǎn).請(qǐng)看函數(shù)的零點(diǎn)的定義（略）.

史寧中教授認(rèn)為：?jiǎn)栴}往往是看出來(lái)的，而不是證出來(lái)的，牛頓覺(jué)得“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”.

案例3：尋聲暗問(wèn)彈者誰(shuí)（設(shè)疑式）

T：方程3x■+6x-1=0的解？（學(xué)生有些遲疑）

T：有五次方程求根公式嗎？（學(xué)生搖搖頭）

T：（微笑）不刁難大家了！其實(shí)在1825年，挪威學(xué)者阿貝爾（Abel）證明了：一般的一個(gè)代數(shù)方程，如果方程的次數(shù)n≥5，那么此方程不可能用根式求解.即不存在根式表達(dá)的一般五次方程求根公式.這就是著名的阿貝爾定理.

學(xué)生釋然.

T：但今天我們想借助函數(shù)解決這個(gè)問(wèn)題，求出它的近似解.

學(xué)生此時(shí)有些迫不及待.在講授某些新知識(shí)前，教師可先提出一些與學(xué)生已有知識(shí)相聯(lián)系而暫時(shí)有無(wú)法解答的問(wèn)題，讓學(xué)生產(chǎn)生懸念，急于要了解問(wèn)題的結(jié)果，使學(xué)生一開(kāi)始就對(duì)新問(wèn)題的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣.

2.探究過(guò)程——“千姿百態(tài)”.在教學(xué)中，問(wèn)是很重要的，進(jìn)而應(yīng)該是有技巧的.好的問(wèn)題對(duì)于激發(fā)學(xué)生的思維，活躍課堂氣氛，鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生能力起到積極的作用.

案例1：轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲（實(shí)問(wèn)和虛問(wèn)）

T：請(qǐng)看下面一段文字填空，然后請(qǐng)三位同學(xué)作答.

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]？搖？搖？搖？搖？搖？搖 ，并且 ？搖？搖？搖？搖？搖？搖 ，則在（a，b）內(nèi)，函數(shù)y=f（x）？搖？搖 ？搖有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f（x）=0在（a，b）內(nèi) 有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

S■：圖像連續(xù)不間斷.

S■：區(qū)間端點(diǎn)值相反即f（a）f（b）<0.

S■：至少……

T：上面這段話就是零點(diǎn)存在性定理.

“實(shí)問(wèn)”即針對(duì)教學(xué)內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行提問(wèn)，一般用于難度較大或較抽象的新知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中.“虛問(wèn)”是似問(wèn)非問(wèn)，巧設(shè)迷霧，但要虛中有實(shí)，一般用于活躍課堂氣氛.對(duì)于一些重要的概念，一般水平的學(xué)生往往以為能記住、背熟就算是懂了，其實(shí)不然，教師在課堂上應(yīng)針對(duì)一些知識(shí)提出一系列題意明確、清楚的問(wèn)題，誘發(fā)學(xué)生思考、理解，幫助他們克服盲目自滿情緒，達(dá)到突破、分散難點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率的目的.

案例2：弦弦掩抑聲聲思（啟發(fā)性提問(wèn)）

T：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上是否一定存在零點(diǎn)？

S■：不一定，比如分段函數(shù).

T：很好！還有哪些函數(shù)？

S■：反比例函數(shù).

T：很典型！那需要添什么條件可使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上是一定存在零點(diǎn)？

S■：函數(shù)y=f（x）為連續(xù)函數(shù).

T：由存在性定理能確定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？

S■有1個(gè)3個(gè)5個(gè)等.

T：你說(shuō)的都是奇數(shù)，有偶數(shù)嗎？

S■：有！上臺(tái)我畫(huà).

T：不錯(cuò)！什么條件下函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)？

S■：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上為單調(diào)函數(shù).

T：好的，以上回答從本質(zhì)上解釋了零點(diǎn)存在性定理.

教師通過(guò)提問(wèn)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；通過(guò)追問(wèn)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)認(rèn)識(shí)過(guò)程中自相矛盾之處，從而掌握正確知識(shí)；通過(guò)啟發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題，在自我評(píng)價(jià)與集體評(píng)價(jià)相結(jié)合的評(píng)價(jià)方式中有效提高自我學(xué)習(xí)的能力.

案例3：低眉信手續(xù)續(xù)彈（階梯式提問(wèn)）

T：（回到課前提出的問(wèn)題）判斷方程3x■+6x-1=0是否有實(shí)數(shù)解？

S■：有，因?yàn)閒（0）=-1<0，f（1）=8>0，f（0）f（1）<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，該方程有解.

T：有幾個(gè)？

S■：有一個(gè)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=3x■+6x-1為單調(diào)增函數(shù).

T：能否寫(xiě)出一個(gè)有解的閉區(qū)間？

S■：根據(jù)第一位同學(xué)所講應(yīng)該是[0，1].

T：能否將有解的閉區(qū)間[0，1]再縮??？S■：[0，■].

T：以上幾位同學(xué)回答得都很漂亮！當(dāng)然，根據(jù)今天所學(xué)的定理我們可以將有解區(qū)間進(jìn)一步縮小，最后達(dá)到方程的近似解.

在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師的提問(wèn)應(yīng)該要由低層次的機(jī)械記憶、認(rèn)知類問(wèn)題逐步過(guò)渡到深層次的分析理解、綜合應(yīng)用、鑒賞評(píng)價(jià)類的問(wèn)題，這樣一系列的“階梯式”提問(wèn)方式，可以讓學(xué)生的思考由表及里，從而養(yǎng)成從機(jī)械記憶到深層思考的良好習(xí)慣，拓展學(xué)生思維的深度.

二、教學(xué)感悟

合理的問(wèn)題設(shè)置，猶如一顆石子投向平靜的湖面，總能激起學(xué)生思維的“千層浪”，成為發(fā)展學(xué)生思維能力，提高課堂教學(xué)效率的有效途徑；尊重學(xué)生的思維過(guò)程，因?yàn)樗麄儠r(shí)刻在創(chuàng)造，過(guò)多地將自認(rèn)為自然的解法技巧強(qiáng)制灌輸給學(xué)生，不但不能達(dá)到預(yù)期效果，反而容易挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.可以這樣說(shuō)，新課堂要努力引導(dǎo)學(xué)生播種生命的理想，探索知識(shí)的海洋，激蕩思維的琴弦，收獲人生的幸福.