誘導(dǎo)公式教法新理念

鄭美華

摘 要： 快速高效記憶誘導(dǎo)公式是學(xué)好三角函數(shù)的必要條件，記憶誘導(dǎo)公式要從記憶象限角的三角函數(shù)符號開始，因為誘導(dǎo)公式最后均可化為象限角的三角函數(shù)符號問題，所以誘導(dǎo)公式的記憶必須從象限角的第一節(jié)開始做好鋪墊，而不是給出誘導(dǎo)公式再記憶，這種方法可謂化繁為簡，化難為易.

關(guān)鍵詞： 三角函數(shù) 誘導(dǎo)公式 象限角 數(shù)形結(jié)合

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，也是高考的必考題型之一，而且大部分以中低難度的選擇、填空或解答題形式出現(xiàn)，解答題一般與向量綜合排在第十六至第十八題，這題的解題效率對后面的解題起到至關(guān)重要的作用.新課標(biāo)中三角函數(shù)部分雖去掉了余切、正割、余割，但誘導(dǎo)公式依然是每次考試的點，準(zhǔn)備無誤地記住誘導(dǎo)公式是學(xué)好三角函數(shù)的必要條件。如何讓學(xué)生快速高效地記住這些公式并靈活應(yīng)用，以下是我在教學(xué)中總結(jié)出來的方法，事實證明，這種方法是行之有效的.

大多數(shù)老師會在給出誘導(dǎo)公式之后要求學(xué)生記憶，學(xué)生大都死記硬背，對數(shù)學(xué)而言，這是最不可取的記憶方法，而且誘導(dǎo)公式大多只是正負的差異，這種方法極易造成混淆.我認為誘導(dǎo)公式的記憶前期的鋪墊工作是非常必要的，首先，引進象限角概念后，用角的終邊上點的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義，進而用單位圓上點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)，由此得出三角函數(shù)所在象限的符號：正弦一、二象限正，三、四象限負；余弦一、四象限正，二、三象限負；正切一、三象限正，二、四象限負，圖示為：

此時要求學(xué)生必須記住這三個三角函數(shù)所在象限的符號至滾瓜爛熟，采用的方法應(yīng)該多樣，比如定義法、圖像法、不斷重復(fù)等，也可用符號判斷口訣“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”；第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，第三象限內(nèi)只有正切是“+”，第四象限內(nèi)只有余弦是“+”.

記住了象限角的三角函數(shù)的符號，就等于記住了所有誘導(dǎo)公式.這個部分多花點時間，對后面公式的記憶可以起到事半功倍的作用.這時，可以讓學(xué)生判斷“當(dāng)α為銳角時，2kπ+α、π+α、-α、π-α、π/2+α、π/2-α、3π/2+α、3π/2-α分別是第幾象限的角？”到熟練為止.

其次，誘導(dǎo)公式部分，除了公式（一）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα由定義直接得到外，還有誘導(dǎo)公式（二）sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）=tanα

（三）sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα

（四）sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα，tan（π-α）=-tanα

（五）sin（2π-α）=-sinα，cos（2π-α）=cosα，tan（2π-α）=-tanα

（六）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=-sinα

抓住誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，用數(shù)形結(jié)合的思想，從單位圓關(guān)于坐標(biāo)軸、直線y=x、原點等的對稱性出發(fā)研究誘導(dǎo)公式，這樣不僅與象限角的符號相呼應(yīng)，而且讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點或坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使得誘導(dǎo)公式（數(shù)）與單位圓（形）緊密結(jié)合，成為一個整體，不僅大大簡化了誘導(dǎo)公的推導(dǎo)過程，縮減了認識、理解誘導(dǎo)公式的時間，而且有利于學(xué)生對公式的記憶，減輕了學(xué)生的記憶負擔(dān)，其中公式（五）由公式（一）與（三）結(jié)合得到，之所以給出，是因為其常用，而且掌握記憶方法之后公式再多都不是問題.當(dāng)然，推導(dǎo)出這五個誘導(dǎo)公式后，還要將左邊的α當(dāng)成銳角，讓學(xué)生判斷左邊的角屬于哪個象限，結(jié)合相應(yīng)象限角的三角函數(shù)符號，由學(xué)生自行得到右邊的符號，看看是否一致，這樣就更進一步加深對公式的理解與記憶.

學(xué)完五個誘導(dǎo)公式后，再給出“奇變偶不變，符號看象限”的口訣，“奇、偶”指的是π/2的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，余弦變正弦；“符號看象限”的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n·（π/2）±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號.

接下來，用口訣驗證誘導(dǎo)公式（七）sin（π/2-α）=cosα，cos（π/2-α）=sinα；

再用誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出公式（八）sin（3π/2+α）=-cosα，cos（3π/2+α）=sinα；

公式（九）sin（3π/2-α）=-cosα，cos（3π/2-α）=-sinα；用口訣驗證.

接著，給出由誘導(dǎo)公式的變形填空題（只要在原公式上填上符號即可）.

（右邊填正負號）

1.sin（-π+α）=sinα，cos（-π+α）=cosα，tan（-π+α）=tanα

2.sin（-π-α）=sinα，cos（-π-α）=cosα，tan（-π-α）=tanα

3.sin（-π/2+α）=cosα，cos（-π/2+α）=sinα

4.sin（-π/2-α）=cosα，cos（-π/2-α）=sinα

5.sin（-3π/2+α）=cosα，cos（-3π/2+α）=sinα

6.sin（-3π/2-α）=cosα，cos（-3π/2-α）=sinα

這些都可以在課內(nèi)及時完成，用時不多，完成后同桌互改，或者用小測的形式老師收回，以分?jǐn)?shù)的形式發(fā)還，這兩種方法都能收到很好的效果.接下來讓學(xué)生做有關(guān)誘導(dǎo)公式的練習(xí)，學(xué)生做起來便能得心應(yīng)手，不用再做一道題目翻一次書，順手了興趣自然就來了，有了興趣學(xué)習(xí)自然就不是問題了.

最后，用誘導(dǎo)公式的各類型練習(xí)題檢驗學(xué)生的靈活掌握程度.

1.tan690°的值為（A）

A.-■ B.■ C.■ D.-■

解：tan690°=tan（-30°+2×360°）=tan（-30°）=-tan30°=-■，此題主要是誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用.

2.已知sinα=■，α∈（■，■），則cos（π-α）等于（D）

A.-■ B.-■ C.■ D.■

解析：∵sinα=■，α∈（■，■），∴cosα=-■，

∴cos（π-α）=-cosα=■，故選D.此題是誘導(dǎo)公式（三）的應(yīng)用及象限角正負號的判定.

3.若tan110°=k，則sin70°的值為（A）

A.-■ B.■ C.■ D.-■

解：解法一：k=tan110°=-tan70°，∴tan70°=-k>0，

∴cos70°=-■sin70°代入sin■70°+cos■70°=1中得，sin■70°=■，

∵k<0，sin70°>0，∴sin70°=-■.

解法二：∵k<0，sin70°>0，∴排除C、B，又|sin70°|<1，故排除D，此題是誘導(dǎo)公式（三）及三角函數(shù)平方和關(guān)系的應(yīng)用，解法一直接，解法二快捷，其中排除法是選擇題中常用的一種方法，可以適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生這方面的解題思路.

4.若cos（2π-α）=■且α（-π/2，0），則sin（π-α）=（-■）.

解：由知cos（2π-α）=cosα知cosα=■，又α∈（-■，0），

故sin（π-α）=sinα=-■=-■.此題是誘導(dǎo)公式（三）（五）應(yīng)用及象限角符號的判斷.

5.若P（-4，3）是角α終邊上的一點，則cos（α-3π）tan（α-2π）/Sin■（π-α）=（-■）.

解：由已知得sinα=■，原式=■=■=■=-■.

此題是三角函數(shù)定義及各誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.

6.化簡■

■=■=■

=■=|sin20°-cos20°|=cos20°-sin20°

此題是誘導(dǎo)公式（二）（四）的應(yīng)用.

7.求sin■1°+sin■2°+sin■3°+…+sin■8°+sin■89°+sin■90°值

解：∵sin■1°+sin■89°=sin■1°+cos■1°=1，

sin■2°+sin■88°=sin■2°+cos■2°=1，

sin■x°+sin■（90°-x°）=sin■x°+cos■x°=1，（1≤x≤44，x∈N）

∴原式=（sin■1°+sin■89°）+（sin■2°+sin■88°）+…+（sin■44°+sin■46°）+sin■90°+sin■45°=45+■■=■.此題是誘導(dǎo)公式（七）與三角函數(shù)平方和關(guān)系的綜合應(yīng)用.

8.（2012年福州質(zhì)檢）已知cos（α+■）=■，則sin（■-α）的值等于（A）

A.■ B.-■ C.■ D.±■

解析：sin（■-α）=sin[■（α+■）]=cos（α+■）=■，

此題通過誘導(dǎo)公式（七）的巧妙應(yīng)用，化未知為已知.

9.若■=2，則sin（θ-5π）sin（■-θ）=（■）.

解析：由已知得■=2，∴tanθ=3，∴sin（θ-5π）·sin（■）=sinθcosθ=■=■=■.

此題充分利用三個三角函數(shù)之間的關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式（一）（三）（九），化繁為簡，得解.

通過以上練習(xí)，大部分學(xué)生能靈活準(zhǔn)確地掌握誘導(dǎo)公式，為后面的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

由上所述，讓學(xué)生高效快速記憶誘導(dǎo)公式，并不僅僅是一個口訣一兩節(jié)課的問題，還必須有我們老師做大量的前期準(zhǔn)備與鋪墊工作，才有學(xué)生的高效快速記憶.總之，誘導(dǎo)公式的記憶不是一節(jié)課兩節(jié)課的問題，我們必須注重知識的連貫性，未雨綢繆，誘導(dǎo)公式的記憶也不是學(xué)生花上一兩個小時的問題，數(shù)學(xué)公式的記憶必須在理解的基礎(chǔ)上，盡量地化繁為簡，化難為易，這樣不僅老師事半功倍，學(xué)生也能從中受益無窮.