函 數(shù) f（x）=x+■（k>0） 的 最 值 及 應(yīng) 用

陳俊杰

函數(shù)f（x）=x+■（k>0） 在高中數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用.本文就函數(shù)f（x）=x+■（k>0）的圖像，性質(zhì)，以及其在三角函數(shù)等方面的應(yīng)用進(jìn)行了探討，這對(duì)于訓(xùn)練高中生的歸納和轉(zhuǎn)化思想有一定的意義.

一般地，函數(shù)f（x）=x+■（k>0） 的圖像如下圖所示.

1. 當(dāng)x>0時(shí)，在區(qū)間（0，■]上是減函數(shù)；在區(qū)間[■，+∞）上是增函數(shù).在x=■時(shí)，有最小值2■.當(dāng)且僅當(dāng)x=■，即x=■時(shí)，f（x） ■=2■.

2. 當(dāng)x<0時(shí)，在區(qū)間（-∞， ■]上是增函數(shù)；在區(qū)間[-■，0）上是減函數(shù).在x=-■時(shí)，有最小值-2■.當(dāng)且僅當(dāng)x=■，即x=-■時(shí)，f（x） ■=-2■.

3. 當(dāng)x>0時(shí)

① 若x∈（0，m]，當(dāng)m<■時(shí)，則f（x） ■=■；當(dāng)m>■時(shí)，則f（x） ■=2■.

②若x∈[m，+∞），當(dāng)m<■時(shí)，則f（x） ■=2■；當(dāng)m>■時(shí)，則f（x） ■=■.

4. 當(dāng)x<0時(shí)

① 若x∈（-∞，m]，當(dāng)m<-■時(shí)，則f（x） ■=■；當(dāng)m>-■時(shí)，則f（x） ■=-2■.

② 若x∈[m，0），當(dāng)m<-■時(shí)，則f（x） ■=-2■；當(dāng)m>-■時(shí)，則f（x） ■=■.

例1：求y=x+■（x≠0）的最值

分析：當(dāng)x>0時(shí)，y=x+■有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=■時(shí)，即x=1時(shí)，y■=2；當(dāng)x<0時(shí)，y=x+■有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)x=■時(shí)，即x=-1時(shí)，y■=-2.

解：當(dāng)x>0時(shí)，且x=■時(shí)，即x=1時(shí)，y■=f（1）=2；當(dāng)x<0時(shí)，且僅當(dāng)x=■時(shí)，即x=-1時(shí)，y■=f（-1）=-2.

例2：求y=■的最值

分析：∵■=■=■+■，且■≥■>0，故當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即x=±1時(shí)，有最小值2■.

解：方法1： ∵■=■=■+■，且■≥■>0，∴■=■，即x=±1時(shí)，y■=f（±1）=2■.

方法2：∵■=■=■+■，令■=t（t≥■），∴y=■+t（t≥■），當(dāng)■=t，即t=■時(shí)，當(dāng)t∈[■， ■]時(shí)，f（t）是單調(diào)減函數(shù).當(dāng)t∈[■，+∞]時(shí)，f（t）是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)■=t，即t=■時(shí)，y■=f（t） ■=f（■）=2■.

例3：擬造一底面積為64平方米，底面為矩形，高為2米的長方體水箱.由于受到空間的限制，底面的長、寬都不能超過10米若造價(jià)是每平方米20元（鐵皮的厚度不計(jì)）.求解下列問題：

① 試設(shè)計(jì)水箱的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià).

② 若水箱被隔成七個(gè)體積相等的長方體，求出最低造價(jià).

解：①設(shè)水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設(shè)總造價(jià)為y■元，則y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.

∵x>0，∴當(dāng)且僅當(dāng)x=■，即x=8時(shí)，y■=f（8）=3840.

又0

∵8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是單調(diào)減函數(shù)，在[8，10]上是單調(diào)增函數(shù)，∴y■=f（8）=3840，當(dāng)水箱的長和寬都是8米時(shí)，造價(jià)最低，且最低造價(jià)是3840元.

②設(shè)水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設(shè)總造價(jià)為y■元，則y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.當(dāng)x=■時(shí)，即x=16時(shí)，y■取最小值.

但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，∵y=x+■在[6.4，10]上是單調(diào)減函數(shù)，在[6.4，16）上亦為單調(diào)減函數(shù).

∴y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，當(dāng)y■=5408時(shí)，x=10，■=6.4.故水箱的長為10米，寬為6.4米時(shí)造價(jià)最低，且最低造價(jià)為5408元.

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