難點(diǎn)攻略：函數(shù)與方程

函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)中兩個重要的概念，它們貫穿于整個高中教學(xué)之中. 對函數(shù)與方程的復(fù)習(xí)，除了研究函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根之外，還需要注意函數(shù)與方程思想在其他知識中的應(yīng)用. 函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題. 方程思想，是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解. 此外，很多時候我們還需要實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解函數(shù)零點(diǎn)的概念、零點(diǎn)存在性定理；掌握函數(shù)零點(diǎn)和方程的實(shí)根之間的關(guān)系；掌握函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）個數(shù)以及零點(diǎn)（方程的根）所在區(qū)間的判斷方法；了解用二分法求方程近似解的過程；能靈活運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)學(xué)問題.

難點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理的理解及應(yīng)用；函數(shù)零點(diǎn)、方程的根以及兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)三者之間的轉(zhuǎn)化；如何在不同的情境中構(gòu)造函數(shù)或方程來解決數(shù)學(xué)綜合問題.

方法突破

1. 由函數(shù)零點(diǎn)的概念可知，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的實(shí)根，也是其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它是實(shí)數(shù). 寫一個函數(shù)的零點(diǎn)時，所寫的一定是一個數(shù)字，而不是一個坐標(biāo).

2. 在確定一個函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間時，通常利用零點(diǎn)存在性定理，將問題轉(zhuǎn)化為確定區(qū)間兩端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值的符號是否相反. 在運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理時要注意以下幾點(diǎn)：（1）函數(shù)的圖象在某區(qū)間內(nèi)是不是連續(xù)不斷的一條曲線；（2）該函數(shù)是否滿足在上述區(qū)間的兩個端點(diǎn)處，函數(shù)值之積小于0；（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象在閉區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，則“f（a）·f（b）<0”是“函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)”的充分不必要條件；（4）若函數(shù)y=f（x）在[a，b]上單調(diào)，則f（a）·f（b）<0？圳函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有唯一的零點(diǎn).

3. 判斷函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)的方法主要有三種：（1）解方程f（x）=0，計算出方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)（重根按1個計算）即為函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)；（2）作出函數(shù)y=f（x）的圖象，判斷圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，一般是將f（x）=0的若干項(xiàng)移到等式右邊，構(gòu)造兩個基本初等函數(shù)，繼而在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個數(shù).

4. 函數(shù)與方程式密切相關(guān)，函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題. 如函數(shù)的零點(diǎn)問題就可以轉(zhuǎn)化為方程的根來解決；求方程的根或根的近似值就是求函數(shù)的零點(diǎn)值或近似值.將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，不僅直觀展現(xiàn)了方程根的幾何意義，重要的是可以簡化運(yùn)算程序，提高解決問題的效率.

5. 已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有實(shí)根）或已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)（方程的實(shí)根個數(shù)）求參數(shù)的取值范圍是高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；（2）分離參數(shù)法，即先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域或最值問題去解決；（4）數(shù)形結(jié)合法，即先對函數(shù)解析式變形，在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合求解.

6.函數(shù)與方程思想作為一種重要的基本數(shù)學(xué)思想，幾乎滲透于高中數(shù)學(xué)的各大知識板塊之中. 如函數(shù)與不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，不等式f（x）>0的解集等價于函數(shù)y=f（x）的位于x軸上方的圖象所涉及的x的取值范圍；證明不等式f（x）>0恒成立，可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=f（x）的最小值大于0等.

典例精講

1. 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間

例1 已知函數(shù)f（x）=-logx，在下列區(qū)間中，包含f（x）的零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）

A. （0，1） B. （1，2）

C. （2，4） D. （4，+∞）

思索 欲判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，可直接利用零點(diǎn)存在性定理去處理，也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=與y=logx的圖象的交點(diǎn)問題去處理.

破解 方法一：對于函數(shù)f（x）=-logx，因?yàn)閒（2）=2>0， f（4）=-0.5<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)落在區(qū)間（2，4）內(nèi)，故選C.

方法二：在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)h（x）=與g（x）=logx的大致圖象，可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（2，4），故選C.

2. 判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)

例2 函數(shù)f（x）=x2-2，x≤0，2x-6+lnx，x>0 的零點(diǎn)個數(shù)是________.

思索 分段函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)等于其在各段的零點(diǎn)之和，對于x≤0的情形可以直接解出零點(diǎn)個數(shù)；對于x>0的情形可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理共同做出判斷.

破解 當(dāng)x≤0時， f（x）=x2-2，令x2-2=0，得x=（舍）或x=-，即在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn)；當(dāng)x>0時， f（1）=-4<0， f（3）=ln3>0，且f（x）=2x-6+lnx為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=2x-6+lnx（x>0）只有一個零點(diǎn).綜上可知，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個數(shù)是2.

3.已知方程的實(shí)根個數(shù)求參數(shù)的取值范圍

例3 設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log（x+2）=0（a>1）恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）

A. （1，2） B. （2，+∞）

C. （1，）\tD. （，2）

思索 用圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，不僅要通過圖象進(jìn)行直觀估計，而且還要計算x0的鄰近兩點(diǎn)的兩個函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷.

破解 令g（x）=log（x+2）. 因?yàn)楫?dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=-1，所以當(dāng)x∈[0，2]時，-x∈[-2，0]，f（x）=f（-x）=-1=2x-1.

又由f（x-2）=f（x+2）可得f（x+4）=f（x+2+2）=f（x+2-2）=f（x），即f（x）的周期是4. 分別作出函數(shù)f（x），g（x）在（-2，6]上的大致圖象（如圖1），注意到兩臨界點(diǎn)（2，3），（6，3），將其代入并結(jié)合選擇支得D正確.

4. 函數(shù)與方程的綜合問題

例4 已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+-x2-2ax（a∈R）.

（1）若x=2為f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若當(dāng)a=-時，方程f（1-x）=+有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值.

思索 本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的工具性研究函數(shù)的性質(zhì)及方程的根. 第（1）問利用f ′（2）=0求值；第（2）問由f′（x）≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，分類討論求得a的取值范圍；第（3）問先分離b=xlnx+x2-x3，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx+x2-x3，轉(zhuǎn)化為求g（x）的值域.

破解 （1）f ′（x）=+x2-2x-2a=. 因?yàn)閤=2為f（x）的極值點(diǎn)，所以f ′（2）=0. 即-2a=0，解得a=0. 又當(dāng)a=0時，f′（x）=x（x-2），從而x=2為f（x）的極值點(diǎn)，成立.

（2）因?yàn)閒（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)，所以可得f ′（x）=≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立.

①當(dāng)a=0時， f ′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，故a=0符合題意.

②當(dāng)a≠0時，由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1>0對x≥3恒成立，故a>0，所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0對x∈[3，+∞）上恒成立.

令g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），其對稱軸為x=1-，因?yàn)閍>0，所以1-<1，從而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可.

因?yàn)間（3）=-4a2+6a+1≥0，解得≤a≤.

又a>0，所以0

（3）若a=-時，則方程f（1-x）=+可化為lnx-（1-x）2+（1-x）=.

問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，即求函數(shù)g（x）=xlnx+x2-x3的值域.

因?yàn)間（x）=x（lnx+x-x2），所以g′（x）=lnx+1+2x-3x2. 設(shè)p（x）=lnx+1+2x-3x2，則p′（x）=+2-6x=-.

當(dāng)00，所以p（x）在0，上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>時，p′（x）<0，所以p（x）在，+∞上單調(diào)遞減.

因?yàn)閜（1）=0，故必有p>0. 又p=-2+1+-<-<0，

所以必存在實(shí)數(shù)x0∈，使得g′（x0）=0，所以當(dāng)0

當(dāng)x00，所以g（x）在（x0，1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>1時，g′（x）<0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

又g（x）=xlnx+x2-x3=x（lnx+x-x2）≤xlnx+，當(dāng)x→0時，lnx+<0，則g（x）<0，又g（1）=0.

所以當(dāng)x=1時，b取得最大值0.

誤點(diǎn)警示 直接由f ′（x0）=0不能確定f（x）在x=x0處是否取得極值，還必須看f ′（x）在x=x0左、右的函數(shù)值的符號情況，因此本題第（1）問易忽略驗(yàn)證的過程.

變式練習(xí)

1. （2014年高考湖北卷文科，9）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， f（x）=x2-3x，則函數(shù)g（x）=f（x）-x+3的零點(diǎn)的集合為（ ）

A. {1，3}

B. {-3，-1，1，3}

C. {2-，1，3}

D. {-2-，1，3}

2. （2014年高考浙江卷文科，7）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A. c≤3 B. 3

C. 69

3. 函數(shù)f（x）=2x--a的一個零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. （1，3） B. （1，2）

C. （0，3） D. （0，2）

4. （2014年高考天津卷文科，14）已知函數(shù)f（x）=x2+5x+4，x≤0，2x-2，x>0，若函數(shù)y=f（x）-ax恰有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

5. 已知二次函數(shù) f（x）=ax2+bx+c.

（1）若對任意x1，x2∈R，且x1

（2）若關(guān)于x的方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）上的根為m，且x1+x2=2m-1，設(shè)函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為x=x0，求證：x0

參考答案

1. D 2. C 3. C

4. 10，解得a=1，所以y=ax與y=f（x）的圖象有四個交點(diǎn)時，1

5. （1）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-·[f（x1）+f（x2）]=ax2+bx+c-[（ax+bx1+c）+（ax+bx2+c）]=ax2+bx-（ax+ax+bx1+bx2），由于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c為二次函數(shù)，所以a≠0，對于二次函數(shù)g（x）而言，Δ=b2+2a（ax+ax+bx1+bx2）=2a2x+2a2x+2abx1+2abx2+b2=2a2x+2abx1++2a2x+2abx2+=（2ax1+b）2+（2ax2+b）2≥0.

若Δ=0，則有2ax1+b=0且有2ax2+b=0，從而有x1=x2，這與x10，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有兩個不相等的實(shí)數(shù)根. 由于g（x1）=f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）-f（x2）]，g（x2）=f（x2）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）-f（x1）]，所以g（x1）·g（x2）=-[f（x1）-f（x2）]2<0. 由零點(diǎn)存在定理知，方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一個根屬于（x1，x2）.

（2）由題意知f（m）=[f（x1）+f（x2）]，化簡可得am2+bm=+，即有am2+bm=+，則有am2=-，-=m2-. 由于x10，故x0=-=m2-