神秘而奇妙的幻方（下）

林革

莫斯納幻方

根據(jù)前文所述，我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝是世界上第一個(gè)對(duì)幻方進(jìn)行詳盡數(shù)學(xué)研究并取得豐碩成果的學(xué)者。在楊輝所著的《續(xù)古摘奇算法》兩卷中，除了呈現(xiàn)3階幻方的研究成果之外，還構(gòu)造出4階至10階幻方。書中，楊輝稱4階幻方為“花十六圖”或“四四圖”，并給出了兩個(gè)實(shí)例（陰、陽兩圖）及陰圖（圖1）的具體構(gòu)造法，令人嘆為觀止。

后人經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，楊輝構(gòu)作的4階幻方中，數(shù)字分布的對(duì)稱性和均勻性不僅表現(xiàn)在數(shù)字之和，甚至還體現(xiàn)在數(shù)字的平方和以及立方和方面。

1947年，德國學(xué)者阿爾弗雷德·莫斯納在《數(shù)學(xué)評(píng)論》上發(fā)表文章《一個(gè)神奇幻方》。在這篇文章中，他給出了一個(gè)4階幻方（圖2），宣稱這個(gè)幻方存在獨(dú)特奇妙的性質(zhì)：

首先，第1行和第4行上的數(shù)字的平方和相等，即122+132+12+82= 92+162+42+52 =378。類似的，第2行和第3行上數(shù)字的平方和也相等，即62+32+152+102= 142+72+22+112=370。因此，幻方上半部和下半部8個(gè)數(shù)字的平方和相等，即：378+370=748。

其次，第1列和第4列上數(shù)字的平方和也相等，即 122+62+72+92=82+102+112+52=310。類似的，第2列和第3列上數(shù)字的平方和也相等，即 132+32+22+162=12+152+142+42=438。因此，幻方左半部和右半部8個(gè)數(shù)字的平方和也相等，而且也等于748。

第三，兩條對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字以及非對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字的平方和也都等于748。與此同時(shí)，兩條對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字以及非對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字的立方和都等于9248。

最后，兩條對(duì)角線上的數(shù)字的平方和以及立方和分別相等;而且，對(duì)角線上4個(gè)數(shù)字的立方和4624竟然還是一個(gè)平方數(shù)。這個(gè)特性是楊輝幻方所不具備的。

對(duì)“莫斯納幻方”稍加分析，就可發(fā)現(xiàn)，它其實(shí)是楊輝4階幻方之陰圖（圖1）的一個(gè)變形：把楊輝4階幻方從左側(cè)開始算的第2列變?yōu)閳D2右側(cè)第1列，圖1左側(cè)第1列變?yōu)閳D2右側(cè)第3列……再把第1行和第4行、第2行和第3行互換。因此，許多專業(yè)人士都認(rèn)為，“莫斯納幻方”源自楊輝4階幻方。盡管這一說法尚無定論，但應(yīng)該承認(rèn)，經(jīng)過變換以后的“莫斯納幻方”確有過人之處。

素?cái)?shù)幻方

所謂素?cái)?shù)幻方，是指幻方中出現(xiàn)的數(shù)全都是素?cái)?shù)。因?yàn)樵乇仨毷撬財(cái)?shù)的限定，所以這種幻方顯然無法滿足從1～n2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的要求。這種非連續(xù)數(shù)幻方是由著名科普大師杜德尼在1900年首先提出的?？梢韵胍姡?cái)?shù)幻方的苛刻要求致使其構(gòu)造起來非常困難。當(dāng)然，這并不意味著構(gòu)造素?cái)?shù)幻方無跡可循。杜德尼自己就給出一個(gè)3階素?cái)?shù)幻方（圖3），幻和為111。其后，又有人構(gòu)造出4階素?cái)?shù)幻方（圖4），幻和為102。

必須指出，在20世紀(jì)初，1還被當(dāng)作素?cái)?shù)，所以這兩個(gè)幻方中都包含1。自從明確1不是素?cái)?shù)以后，人們又重新構(gòu)造了3階和4階的素?cái)?shù)幻方（圖5、6），幻和分別為177和120。頗有意趣的是，不管是否把1當(dāng)成素?cái)?shù)，能構(gòu)成3階素?cái)?shù)幻方的幻方常數(shù)總是大于4階的。

除此之外，幻方研究者還成功構(gòu)造出一些特別的素?cái)?shù)幻方（圖7、8）。在圖7的這個(gè)3階素?cái)?shù)幻方中，最小的素?cái)?shù)是59，最大的素?cái)?shù)是659，其他素?cái)?shù)的末位數(shù)字都是9，仿佛珍品標(biāo)簽一般饒有趣味。圖8中的素?cái)?shù)末位數(shù)字不僅和圖7一樣，而且9個(gè)元素還構(gòu)成等差數(shù)列，公差為210，這就更難能可貴了。

不難看出，這些幻方中的素?cái)?shù)并不連續(xù)，所以人們又開始琢磨能否用9個(gè)連續(xù)素?cái)?shù)構(gòu)成3階幻方。難度可想而知，世界數(shù)學(xué)科普大師馬丁·加德納還曾為此懸賞100美元，獎(jiǎng)給首位成功者。這筆獎(jiǎng)金最終被一位名叫哈里·尼爾遜的計(jì)算機(jī)專家獲得。他利用美國加利福尼亞大學(xué)的一臺(tái)克雷超級(jí)計(jì)算機(jī)，通過程序設(shè)計(jì)攻克了這個(gè)難題，而且一次性提供了22個(gè)答案。

圖9就是其中和常數(shù)最小的一個(gè)3階素?cái)?shù)幻方。在這個(gè)幻方中的9個(gè)連續(xù)素?cái)?shù)，每個(gè)都已經(jīng)超過14.8億。更叫人瞠目的是，日本著名幻方研究家寺村周太郎經(jīng)過長期不懈努力，于1979年11月7日終于構(gòu)造成一個(gè)高達(dá)10階的素?cái)?shù)幻方，其中的元素竟然全是連續(xù)素?cái)?shù)，中間也沒有跳過一個(gè)。如此難得的機(jī)巧，簡直可以用玄之又玄和匪夷所思來形容。也難怪此幻方一經(jīng)問世就震動(dòng)業(yè)界，被公認(rèn)為是幻方研究中的一個(gè)重要里程碑。

玉掛幻方

1986年，在上海浦東陸家嘴附近發(fā)現(xiàn)的古墓中，出土了一塊玉掛。玉掛的反面刻著16 個(gè)古代阿拉伯?dāng)?shù)字。經(jīng)過專家破譯還原，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)，這竟然是一個(gè)4階幻方（圖10）。

看起來，這個(gè)玉掛中的數(shù)字秘密——構(gòu)成4階幻方已然揭曉;但數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，其中充滿玄機(jī)的神奇特性遠(yuǎn)不止于此。只要稍加計(jì)算驗(yàn)證，就能領(lǐng)會(huì)“玉掛幻方”超凡脫俗和奇妙獨(dú)特的個(gè)性：

在這個(gè)幻方中，每行、每列及對(duì)角線上4個(gè)數(shù)字之和都等于34。更為特別的是，即便包括“折斷”后連成的對(duì)角線，每條對(duì)角線上的4個(gè)數(shù)字之和仍是34。比如：14+12+5+3=34，13+16+4+1=34;5+9+12+8=34，11+13+4+6=34等。顯然，只有在這種情況下，對(duì)角線才真正同行、同列平起平坐，取得了完全平等的地位。因此，具有這種性質(zhì)的幻方被稱為“完全幻方”。任何一個(gè)3階幻方都不具備這個(gè)特性，這是由于完全幻方最起碼要4階。

在這個(gè)幻方中，取出任何一個(gè)2×2的小正方形，其中的4個(gè)數(shù)字之和竟然也都等于34。要達(dá)成此點(diǎn)殊為不易，從而更顯卓爾不群。

在這個(gè)幻方中，任何一個(gè)3×3小正方形，其四角數(shù)字之和也都等于常數(shù)34。如此一而再、再而三的非凡特性，簡直叫人拍案叫絕。

如若將此幻方看成象棋棋盤進(jìn)行飛“象”，那么，不管“象”從哪一點(diǎn)出發(fā)飛到哪一點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字（同左下或同右下）之和都等于17。這就更如天外飛仙，妙不可言了。

無獨(dú)有偶，倫敦的南凱星頓大英博物館里，也收藏了一件在印度傳教的弗洛斯特牧師的特殊遺物——一塊精美的玉掛。據(jù)稱，他難得閑暇中的唯一消遣就是研究幻方。

這塊玉掛上的咒語和圖案盡管晦澀難懂，但經(jīng)過破譯，確認(rèn)了其為由1～64組成的幻和為260的8階幻方（圖11）。但當(dāng)初，人們并沒有完全領(lǐng)會(huì)其中的精妙，其中最為玄妙和神奇的特性，竟然與國際象棋中馬、象的走法有關(guān)。為直觀說明，把幻方擴(kuò)倍延展并截取如下（圖12）：

（1）國際象棋中馬的走法是“一直一拐”，類似于中國象棋中的“馬走日字”;而且同樣，上下左右不受限制。也正因?yàn)榇耍R可以從任一起點(diǎn)出發(fā)，沿著一種固定跳法走下去，最終必定跳回出發(fā)點(diǎn)。當(dāng)然，這也需要把單個(gè)棋盤不斷擴(kuò)倍延展。

令人驚奇的是，玉掛幻方竟然也有類似“馬步還原”的特性。即在玉掛幻方中任取一數(shù)作為起點(diǎn)，按馬步前進(jìn)，經(jīng)過8步必然回到起點(diǎn)數(shù)，經(jīng)過的8個(gè)數(shù)字之和與幻和相等。

（2）國際象棋中的象走直線，長短不受限制。若在玉掛幻方中任取一數(shù)為起點(diǎn)，按象步前進(jìn)，仍只需8步就必然回到起點(diǎn)數(shù)，經(jīng)過的8個(gè)數(shù)字之和同樣與幻和相等。

反幻方

有位美國著名科普作家寫到：“有些外星人正在做一道數(shù)學(xué)題：在4×4的正方形里填上1～16個(gè)自然數(shù)，不準(zhǔn)重復(fù)，也不準(zhǔn)雷同或遺漏。要求每行、每列、每條對(duì)角線上的4個(gè)數(shù)字之和都不相等，而且這些和必須是連續(xù)的自然數(shù)。假使你在它們之前先做出來了，你就可以獲得100萬美元的獎(jiǎng)勵(lì)?！惫们也徽撨@位作家的文字是真實(shí)可信還是嘩眾取寵，其中提及的反幻方問題倒是實(shí)實(shí)在在，值得細(xì)細(xì)琢磨。

所謂反幻方，是指把n2個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入n×n的小方格中，使其中每行、每列及對(duì)角線上的數(shù)字之和都不相等。這與幻方的基本要求剛好相反，所以它被人們稱為“反幻方”。

需要說明的是，最簡單的反幻方是3階。因?yàn)榘?～4填入2×2小正方形中，無論怎樣排列，行、列或?qū)蔷€總會(huì)出現(xiàn)1+4=2+3，始終不能符合反幻方的要求，所以2階反幻方根本不存在。

稍加試驗(yàn)可知，符合條件的3階反幻方屢見不鮮。有人曾做過統(tǒng)計(jì)，即使旋轉(zhuǎn)后重疊的8種幻方算作同一個(gè)，3階反幻方也有3120個(gè)。這表明，構(gòu)造出3階反幻方并非難事。于是，研究者又給它們?cè)鎏砹烁鼮榭量痰囊?，其中比較有趣的附加條件是：填入3×3正方形中的自然數(shù)1～9必須按順序首尾相連，成為螺旋形狀。美國數(shù)學(xué)科普大師馬丁·加德納經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，符合條件的反幻方只有兩個(gè)（圖13、14）。鑒于“物以稀為貴”，這樣按序連接“一條龍”的螺旋反幻方又被稱為“完美反幻方”。

需要指出的是，迄今為止的研究表明，反幻方的制作還沒有簡單的系統(tǒng)方法。因此，更高階反幻方的構(gòu)造仍具備相當(dāng)難度。明白了這一點(diǎn)，現(xiàn)在回到前文的那則4階反幻方問題，其難度顯而易見，但也并非完全無解，至少作者給出了一個(gè)正確答案（圖15）。稍加計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)：各行、各列以及對(duì)角線上的和數(shù)分別為30、31、38、37、35、36、32、33、34、29， 剛好是從29到38的10個(gè)連續(xù)自然數(shù)。正所謂，不走尋常路，也得細(xì)琢磨。

六角幻方

隨著幻方研究的深入，突破幻方常規(guī)要求的奇異幻方也開始出現(xiàn)，甚至打破了一般幻方在n×n方格中構(gòu)成的限制，但仍保留了幻方最為本質(zhì)也最為經(jīng)典的要求，即相應(yīng)連線上的各數(shù)之和必須相等。比如下面這個(gè)花費(fèi)了52年光陰才與世人見面的“六角幻方”。

它的發(fā)明人是一位名叫克里福德·亞當(dāng)斯的英國鐵路職工。亞當(dāng)斯是一個(gè)鐵桿的幻方迷，從1910年就開始琢磨構(gòu)造六角幻方（圖16），即把1～19填入六角形數(shù)陣中，使水平、右斜、左斜的各5根連線上的數(shù)字之和都相等。

當(dāng)亞當(dāng)斯開始動(dòng)手嘗試時(shí)才發(fā)現(xiàn)，完成構(gòu)造并非自己想象得那么容易。于是，他認(rèn)真刻苦地潛心研究，甚至隨身帶了19塊紙板剪成的小六角形，把所有空余時(shí)間都用在數(shù)字紙板的擺弄上。這一擺就擺到了1957年。40年的努力依然一無所獲，但無盡的失敗和漫長的挫折并沒有使他退卻。退休后的亞當(dāng)斯仍頑強(qiáng)堅(jiān)持、勤奮鉆研。之后，過度的勞累迫使亞當(dāng)斯住進(jìn)了醫(yī)院，即便躺在病床上，他也沒有停止琢磨擺弄。

功夫不負(fù)有心人，亞當(dāng)斯最終在醫(yī)院擺成了六角幻方，欣喜若狂的他立刻找來紙筆記下擺法。當(dāng)亞當(dāng)斯康復(fù)出院時(shí)，命運(yùn)女神卻與他開了個(gè)殘酷的玩笑——記錄答案的紙弄丟了。倔強(qiáng)的亞當(dāng)斯沒有灰心，他堅(jiān)信，既然第一次能擺出來，就一定有成功的第二次。就這樣，亞當(dāng)斯在1962年終于實(shí)現(xiàn)了自己的諾言，成功彌補(bǔ)了5年前的遺憾。

圖17就是亞當(dāng)斯構(gòu)造完成的六角幻方?？梢则?yàn)證如下：水平方向上5條連線上的數(shù)字之和分別為：15+14+9=38，13+8+6+11=38，10+4+5+1+18=38，12+2+7+17=38，16+19+3=38;右斜方向上5條連線上的數(shù)字之和分別為：15+13+10=38，14+8+4+12=38，9+6+5+2+16=38，11+1+7+19=38，18+17+3=38;左斜方向上5條連線上的數(shù)字之和分別為：9+11+18=38，14+6+1+17=38，15+8+5+7+3=38，13+4+2+19=38，10+12+16=38。

六角幻方公之于世7年后，有一位叫阿萊爾

的大學(xué)生利用電子計(jì)算機(jī)，僅僅用了17秒就得到同樣的結(jié)果;同時(shí)還證實(shí)，六角幻方僅此一例。

兩相對(duì)照，給人們的啟發(fā)是：人類的思維雖然沒有機(jī)器來得快，但人類知難而上、永不放棄的精神是機(jī)器無法比擬的。而這才是取得一切成功的關(guān)鍵。

幻方的作用

在1977年美國發(fā)射的宇宙飛船“旅行者1號(hào)”和“旅行者2號(hào)”上，除了攜帶有向外星人致意的問候訊號(hào)外，還載有一些圖片，其中就有代表人類文明的勾股定理和4階幻方圖?？茖W(xué)家相信，這些簡明扼要、一目了然的圖片，應(yīng)該可以超越語言和文字的障礙，與外星生命進(jìn)行交流和溝通。

幻方能將抽象枯燥的數(shù)字排列后形成奇特現(xiàn)象或規(guī)律，它是如此形象生動(dòng)、趣味盎然，既直觀通俗，又引人入勝。時(shí)常操練這種妙趣橫生的思維游戲，不僅可以強(qiáng)化對(duì)數(shù)字的深刻理解，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;而且，可以開發(fā)智力，拓寬思路。

隨著社會(huì)的進(jìn)步、科學(xué)技術(shù)水平的提高和國際間文化的交流，各國數(shù)學(xué)家都先后開始了對(duì)幻方結(jié)構(gòu)的研究，并提煉出其中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和本質(zhì)。這就使原本別具一格的“思維體操”上升到數(shù)學(xué)學(xué)問的層次。

專業(yè)人士逐漸發(fā)現(xiàn)，幻方同現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些分支如群論、組合分析等有關(guān)。到了近代，幻方已經(jīng)成為組合數(shù)學(xué)研究中一個(gè)有趣課題。組合數(shù)學(xué)是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)新分支，它一般研究有限個(gè)元素在某些事先約定的條件下，如何排成一些有規(guī)律的集合或圖案等問題，幻方便屬于組合數(shù)學(xué)的范疇。特別是從電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后，幻方已經(jīng)在圖論、程序設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、對(duì)策論、人工智能等諸多方面得到了廣泛的應(yīng)用?？梢灶A(yù)見的是，幻方的研究具有非常廣闊的美好前景。

【責(zé)任編輯】趙 ?菲