知識、能力、意識

數(shù)學(xué)可以分為三個層面，即知識、能力、意識.代數(shù)、幾何、微積分學(xué)均為數(shù)學(xué)知識.過去我國提出的數(shù)學(xué)能力是：基本運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想像能力.后來數(shù)學(xué)教學(xué)大綱又提出了分析和解決問題的能力.2000年美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會發(fā)布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，提出了六種能力：（1）數(shù)的運(yùn)算能力；（2）問題解決能力；（3）邏輯推理能力；（4）數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力；（5）數(shù)學(xué)交流能力；（6）數(shù)學(xué)表達(dá)能力.數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力是指，把問題的各種要素和其它知識聯(lián)結(jié)起來，使用數(shù)學(xué)方法尋找解題的策略.

意識是對知識融會貫通后的感悟力.美國教育學(xué)家Liliankafz解釋意識是“相對穩(wěn)定的思想意識習(xí)慣”.清朝學(xué)者袁枚說：“學(xué)如箭鏃，才如弓弩，識以領(lǐng)之，方能中鵠.”他解釋了“知識”、“能力”、“意識”三者的關(guān)系，指出了意識是靈魂.實(shí)際上，數(shù)學(xué)意識是用數(shù)學(xué)的立場、觀點(diǎn)和方法處理問題的思維方式，表現(xiàn)為理解數(shù)學(xué)的價值、欣賞數(shù)學(xué)的美麗和知道應(yīng)用數(shù)學(xué)的門徑.20世紀(jì)50年代，筆者在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所訪問進(jìn)修.記得我們到中國農(nóng)業(yè)科學(xué)院了解數(shù)學(xué)應(yīng)用情況時，麥作研究室的同志向我們提出了一個問題，為了研究光合作用的影響，需要計算麥苗的面積.印度有個經(jīng)驗(yàn)公式，即測量麥苗的最長部分a和最寬的部分b，然后用公式a×b1.2求出麥苗的面積，并提出這個公式是否合理.當(dāng)時因?yàn)槲覀兌荚趯W(xué)習(xí)概率統(tǒng)計，討論后得出一個辦法：采集一部分麥苗，一方面使用求積儀測出它們的面積，另外用上述經(jīng)驗(yàn)公式算出它們的面積，后用統(tǒng)計檢驗(yàn)方法，如果沒有顯著性差異，則認(rèn)為該公式可用.時任數(shù)學(xué)研究所所長的華羅庚看了我們采集的麥苗后，即指出印度的經(jīng)驗(yàn)公式可用，因?yàn)辂溍绱笾略谌种惶幨占猓虼他溍缑娣e可由一個近似三角形和長方形組成，簡單計算后，即得經(jīng)驗(yàn)公式a×b1.2.1958年，運(yùn)籌學(xué)傳入我國后，山東數(shù)學(xué)工作者紛紛走出校門，到生產(chǎn)部門尋找合作，特別是將“圖上作業(yè)法”用于交通運(yùn)輸部門，在眾多運(yùn)籌學(xué)推廣隊(duì)伍中，山師的管梅谷慧眼獨(dú)具，將一筆劃問題和圖上作業(yè)法完美地結(jié)合，給出了“奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法”.王元院士在《華羅庚》一書中寫道：受到“圖上作業(yè)法”的啟發(fā)，山東師范學(xué)院青年教師管梅谷提出了這一數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)歐拉關(guān)于奇偶點(diǎn)理論，給出了最短路線的一個類似于“圖上作業(yè)法”的判別法.郵遞員投送信件及大城市垃圾車收集垃圾的行駛路線設(shè)計都符合管梅谷提出的數(shù)學(xué)模型.外國文獻(xiàn)稱之為“中國郵遞員問題”.國外有不少數(shù)學(xué)家又簡化與發(fā)展了管梅谷的工作，華羅庚很贊賞管梅谷的貢獻(xiàn)，稱他為“山東第一條好漢！”上述兩件事反映出不同數(shù)學(xué)意識人之間的差異，正是行家一出手，便知有沒有.

數(shù)學(xué)意識還表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)規(guī)律的“好奇”與“發(fā)現(xiàn)”，對數(shù)學(xué)問題解決的“迫切愿望”和對數(shù)學(xué)完美的追求，陳景潤對歌德巴赫猜想十年如一日的苦苦追求，正是追求數(shù)學(xué)完美的典型.“好奇”、“發(fā)問”又是人類創(chuàng)新的靈魂，美國有位大學(xué)校長幽默地說：一個人大學(xué)畢業(yè)時，如果認(rèn)為自己什么問題都懂了，可授他學(xué)士學(xué)位；如果認(rèn)為自己有一些問題弄懂了，有些問題還沒弄懂，可授他碩士學(xué)位；如果認(rèn)為自己什么問題都沒弄懂，可授他博士學(xué)位.

了解知識、能力和意識的關(guān)系，將有助于我們學(xué)好數(shù)學(xué).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要掌握各種數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的能力，更重要的是要用心思考，細(xì)想出智慧，細(xì)嚼出滋味，“學(xué)而不思則罔.”要從數(shù)學(xué)中吸取正能量，“數(shù)學(xué)使人聰明”、“數(shù)學(xué)使人精確”、“數(shù)學(xué)使人完美”.德國哲學(xué)家赫巴特指出：“數(shù)學(xué)最大的貢獻(xiàn)是直接促進(jìn)嚴(yán)謹(jǐn)思維和創(chuàng)新精神.”你學(xué)到的具體數(shù)學(xué)知識可能在工作中用不著，但是數(shù)學(xué)意識會伴你度過咸淡一生，無時不有，無所不在，讓你終生受益.

了解知識，能力和意識的關(guān)系，也將幫助我們提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.一般認(rèn)為三流教師教知識，二流教師教能力，一流教師教意識.數(shù)學(xué)教學(xué)活動的效果在三個層面上未必是一致的，在極端應(yīng)試教育下，死記硬背模式仿效的教學(xué)，能使學(xué)生產(chǎn)生厭倦情緒，對學(xué)生的長期潛力是一種傷害.教師應(yīng)把培養(yǎng)意識作為終極目標(biāo)，啟發(fā)學(xué)生在思想層面的思考，并從中尋找愉悅和成就感，讓學(xué)生永遠(yuǎn)心懷好奇、自信去探索人生的深度.

作者簡介 章志敏，1957年畢業(yè)于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，分配來曲阜師范學(xué)院工作，曾任曲阜師范大學(xué)教授，本刊首屆編委會主任.

長期從事數(shù)理統(tǒng)計與決策分析的研究和教學(xué)工作，獲國家教委優(yōu)秀教學(xué)成果二等獎、山東省教委科技進(jìn)步一等獎和國際運(yùn)籌學(xué)進(jìn)展二等獎.1983年被評為山東省優(yōu)秀教師，1987年獲全國教育系統(tǒng)勞動模范證書和人民教師獎?wù)拢?992年獲政府特殊津貼.