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    “釘子板上的多邊形”教學(xué)片斷及評(píng)析

    2015-09-07 18:04張志明
    關(guān)鍵詞:多邊形完善探索

    張志明

    [摘 要] “釘子板上的多邊形”是蘇教版義務(wù)教育教科書五年級(jí)(上)108~109頁的內(nèi)容. 筆者在教學(xué)中的四個(gè)主要片斷是:巧用前置,觸碰規(guī)律;巧借猜想,探索規(guī)律;巧作驗(yàn)證,完善規(guī)律;巧設(shè)拓展,應(yīng)用規(guī)律.

    [關(guān)鍵詞] 釘子板;多邊形;觸碰;探索;完善;應(yīng)用;規(guī)律

    筆者執(zhí)教的一堂數(shù)學(xué)研究課的課題是“釘子板上的多邊形”,現(xiàn)將研究課中的四個(gè)主要教學(xué)片斷和簡(jiǎn)析整理如下.

    巧用前置,觸碰規(guī)律

    師:(揭示課題)同學(xué)們,今天我們研究的課題是(板書)“釘子板上的多邊形”.

    (生齊讀課題)

    (屏幕上顯示《預(yù)習(xí)單》)

    1. 數(shù)一數(shù)、算一算、填一填

    根據(jù)圖1填下列表格:

    2. 在釘子圖上畫兩個(gè)多邊形

    師:昨天,大家已完成《預(yù)習(xí)單》,咱們一起將《預(yù)習(xí)單》中的相關(guān)數(shù)據(jù)解讀一下. ①②③④號(hào)圖形的面積數(shù)分別是2,3,3.5,4,②號(hào)圖形的面積數(shù)3,怎么得到的?

    生(齊):算出來的,(上底+下底)×高÷2=(1+2)×2÷2=3.

    師:③號(hào)圖形的面積數(shù)是3.5,是怎么想的?

    生1:分成上下(或左右)兩部分,用梯形的面積加上長(zhǎng)方形的面積.

    生2:先補(bǔ)上一個(gè)三角形,用正方形的面積減去補(bǔ)上的三角形的面積.

    生3:直接數(shù)格子.

    師:行!釘子板上多邊形的面積,既可以用學(xué)過的公式計(jì)算,也可以直接數(shù)格子. 下面請(qǐng)報(bào)告一下,①②③④號(hào)圖形邊上的釘子數(shù)分別是4,6,7,8,為什么都少數(shù)了一枚釘子?

    生(齊):因?yàn)槎加幸幻夺斪硬辉诙噙呅蔚倪吷?

    師(追問):它在多邊形的哪里?

    生(齊):在多邊形里面.

    師:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),大家發(fā)現(xiàn)了什么?

    生4:多邊形邊上的釘子數(shù)越多,面積就越大.

    生5:多邊形的面積數(shù)是多邊形邊上釘子數(shù)的一半.

    生6:多邊形邊上的釘子數(shù)是多邊形面積數(shù)的2倍.

    師:其實(shí),這些不同的說法都是告訴我們(板書)S=n÷2,能舉例表述嗎?

    生7:多邊形邊上的釘子數(shù)是4,多邊形的面積數(shù)就是4÷2=2.

    生8:多邊形邊上的釘子數(shù)是8,多邊形的面積數(shù)就是8÷2=4.

    生9:多邊形邊上的釘子數(shù)是10,多邊形的面積數(shù)就是10÷2=5.

    師:大家還在《預(yù)習(xí)單》中畫了兩個(gè)多邊形,這里有3位同學(xué)的作品(屏幕上顯示圖2),這六個(gè)多邊形都存在S=n÷2的規(guī)律嗎?

    生10:有兩個(gè)多邊形存在S=n÷2的規(guī)律,有4個(gè)多邊形不存在S=n÷2的規(guī)律.

    師:為什么呢?

    生11:有兩個(gè)多邊形的里面都是1枚釘子.

    師:你再說一遍.

    生11:有兩個(gè)多邊形的里面都是1枚釘子.

    師:噢,真的!它們的里面都是1枚釘子. 然而,4個(gè)多邊形不存在S=n÷2的規(guī)律,它們的里面是幾枚釘子呢?

    生11:它們的里面有2枚的、4枚的、6枚的,還有一個(gè)多邊形里面沒有釘子.

    師:里面不是1枚釘子的多邊形,面積與邊上的釘子數(shù)又有什么關(guān)系呢?讓我們一起進(jìn)入活動(dòng)1,研究里面有2枚釘子的多邊形.

    簡(jiǎn)析?搖 “釘子板上的多邊形”是蘇教版義務(wù)教育教科書五年級(jí)(上)中安排的實(shí)踐活動(dòng). 這一實(shí)踐活動(dòng),既要引領(lǐng)學(xué)生得出結(jié)論,又要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律探索的過程,更要引領(lǐng)學(xué)生積累數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度,善于發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)眼光,歸納概括的數(shù)學(xué)能力. 對(duì)此,想在一個(gè)課時(shí)內(nèi)完成教學(xué)目標(biāo),只能是教師帶著學(xué)生蜻蜓點(diǎn)水、走馬觀花,既不可能完整體驗(yàn)知識(shí)的生長(zhǎng)過程,也不可能完整經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展過程. 為了解決這一難題,考慮到學(xué)生針對(duì)“多邊形里面有1枚釘子”時(shí),很容易發(fā)現(xiàn)面積數(shù)和釘子數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系,這一內(nèi)容完全可以前置,讓學(xué)生通過完成《預(yù)習(xí)單》而觸碰規(guī)律. 這樣的話,就可以為新課的開始部分打開“綠色通道”,還可以把節(jié)省下來的寶貴時(shí)間用在探索后面更復(fù)雜的規(guī)律上.

    巧借猜想,探索規(guī)律

    (屏幕上顯示《活動(dòng)單1》)

    (生讀活動(dòng)單1中“畫一畫,填一填”的要求后,各學(xué)習(xí)小組合作學(xué)習(xí))

    師:請(qǐng)各學(xué)習(xí)小組交流合作學(xué)習(xí)的成果(下面的n表示多邊形邊上的釘子總數(shù)).

    A學(xué)習(xí)小組:我們發(fā)現(xiàn)多邊形里面有2枚釘子時(shí),面積數(shù)是多邊形邊上的釘子數(shù)除以2再加上1.

    B學(xué)習(xí)小組:我們發(fā)現(xiàn)a=2時(shí),S=n÷2+1.

    C學(xué)習(xí)小組:我們發(fā)現(xiàn)多邊形里面有2枚釘子時(shí),它的面積數(shù)是用邊上釘子數(shù)與里面釘子數(shù)的和除以2.

    D學(xué)習(xí)小組:我們發(fā)現(xiàn)a=2時(shí),S=(n+2)÷2.

    師(邊講邊板演):S=(n+2)÷2,用n與2的和除以2,如果把括號(hào)去掉,先用n除以2,那括號(hào)里的2也要除以2,S=(n+2)÷2=n÷2+2÷2=n÷2+1,盡管表達(dá)式不一樣,但意思是一樣的. 同學(xué)們,剛才我們研究了當(dāng)a=1時(shí),S=n÷2;當(dāng)a=2時(shí),S=n÷2+1. 現(xiàn)在,很多同學(xué)肯定有了大膽的猜想:當(dāng)a=3時(shí),S=?

    生(齊):n÷2+2.

    (師板書:當(dāng)a=3時(shí),S=n÷2+2)

    師(追問):那當(dāng)a=4時(shí),S=?

    生(齊):n÷2+3.

    (師板書:當(dāng)a=4時(shí),S=n÷2+3)

    師(追問):當(dāng)多邊形里面一枚釘子也沒有,也就是a=0時(shí)呢?

    (寂靜片刻后,一學(xué)生說出了自己的猜想)

    (師板書:當(dāng)a=0時(shí),S=n÷2-1)

    這些都只是我們的猜想,還需要我們驗(yàn)證. 讓我們一起進(jìn)入活動(dòng)2,親自動(dòng)手驗(yàn)證一下這3個(gè)偉大的猜想吧!endprint

    簡(jiǎn)析?搖 此教學(xué)片斷,重點(diǎn)突破了“當(dāng)a=2時(shí),S=n÷2+1”后,“趁熱打鐵”,讓學(xué)生大膽猜想“當(dāng)a=3時(shí),S=?”“當(dāng)a=4時(shí),S=?”“當(dāng)a=0時(shí),S=?”. 猜想既是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種手段,也是讓學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的一種策略. 培養(yǎng)和提高學(xué)生的猜想能力,不但有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、直覺思維、創(chuàng)新意識(shí),發(fā)展學(xué)生的推理能力,而且有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和積極性,促使學(xué)生主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí). “沒有大膽的猜想,就不會(huì)有偉大的發(fā)現(xiàn). ”人們通常把數(shù)學(xué)譽(yù)為科學(xué)的皇后,數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇冠,數(shù)學(xué)皇冠上有一顆明珠,就是著名的哥德巴赫猜想. 總而言之,在此教學(xué)環(huán)節(jié),巧借猜想,探索規(guī)律,恰到好處.

    巧作驗(yàn)證,完善規(guī)律

    (屏幕上顯示《活動(dòng)單2》)

    (生讀活動(dòng)單2的要求后,各學(xué)習(xí)小組合作學(xué)習(xí))

    師:請(qǐng)各學(xué)習(xí)小組交流合作學(xué)習(xí)的成果.

    A學(xué)習(xí)小組:我們小組驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn),當(dāng)a=3時(shí),S=n÷2+2.

    B學(xué)習(xí)小組:我們小組驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn),當(dāng)a=4時(shí),S=n÷2+3.

    C學(xué)習(xí)小組:我們小組驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn),當(dāng)多邊形里面沒有釘子時(shí),它的面積數(shù)是邊上釘子數(shù)除以2再減去1,即當(dāng)a=0時(shí),S=n÷2-1.

    師:同意這些發(fā)現(xiàn)的同學(xué)請(qǐng)舉手!

    (生紛紛舉手)

    師:那好!老師來考考大家,如果a=5,S=?

    生(齊):n÷2+4.

    師:a=6,S=?

    生(齊):n÷2+5.

    師:a=25呢?

    生(齊):n÷2+24.

    師:a=100呢?

    生(齊):n÷2+99.

    師:當(dāng)多邊形內(nèi)有a枚釘子時(shí),S=?

    生(齊):n÷2+a-1.

    (師板書)

    師:老師真誠(chéng)地為大家喝彩,因?yàn)榇蠹野l(fā)現(xiàn)了“有史以來‘最重要的100個(gè)定理之一”. (播放錄音:奧地利數(shù)學(xué)家皮克在1899年發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律,并進(jìn)行了證明. 這個(gè)規(guī)律被稱為“皮克定理”,這個(gè)定理被譽(yù)為有史以來“最重要的100個(gè)定理”之一)

    簡(jiǎn)析?搖 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能停留于猜想,重要的是驗(yàn)證. 此教學(xué)片斷,在學(xué)生親自動(dòng)手驗(yàn)證了3個(gè)偉大的猜想后,“一路高歌”,依次找到:a=5時(shí),S=n÷2+4;a=6時(shí),S=n÷2+5;a=25時(shí),S=n÷2+24;a=100時(shí),S=n÷2+99;一直找到“有史以來‘最重要的100個(gè)定理之一”的“皮克定理”(S=n÷2+a-1). 此時(shí),師生之間、生生之間,除了喜悅,還是喜悅;除了高興,還是高興;除了快樂,還是快樂. 這是因?yàn)?,通過驗(yàn)證,說明那3個(gè)偉大猜想是合理的、正確的、科學(xué)的. 加之驗(yàn)證后的舉一反三,學(xué)生對(duì)規(guī)律一目了然、一清二楚、一通百通. 特別是教師的真誠(chéng)喝彩和播放錄音,更是讓學(xué)生沉浸在成功的歡樂氣氛之中.

    巧設(shè)拓展,應(yīng)用規(guī)律

    1. 出示智力沖浪A,即圖3

    圖3中給大家提供了哪些信息?大家有什么想法?

    生1:四角星的面積是:10÷2+5-1=9(平方分米),皇冠的面積是:10÷2+6-1=10(平方分米),皇冠的面積大.

    生2:不計(jì)算也能比較,多邊形邊上的釘子數(shù)相等時(shí),里面的釘子數(shù)越多,面積就越大.

    2. 出示智力沖浪B,即圖4

    圖4給大家提供了哪些信息?大家有什么想法?同座之間交流一下.

    (同座之間交流)

    師:請(qǐng)全班交流.

    生1:哥哥覺得妹妹的面積大,是因?yàn)楦绺缈吹闹皇嵌噙呅芜吷系臉?

    生2:妹妹覺得哥哥的面積大,是因?yàn)槊妹每吹闹皇嵌噙呅卫锩娴臉?

    生3:哥哥的面積是15÷2+17-1=23.5(平方米),妹妹的面積是17÷2+16-1=23.5(平方米),哥哥和妹妹的面積一樣大.

    生4:在釘子板上看多邊形面積的大小,既要看邊上的釘子數(shù),也要看里面的釘子數(shù).

    師:說得真好!請(qǐng)你再說一遍!

    生4:在釘子板上看多邊形面積的大小,既要看邊上的釘子數(shù),也要看里面的釘子數(shù).

    師:請(qǐng)大家復(fù)述一下.

    生(齊):在釘子板上看多邊形面積的大小,既要看邊上的釘子數(shù),也要看里面的釘子數(shù).

    簡(jiǎn)析?搖 通常情況下,拓展是以智能活動(dòng)引發(fā)出的認(rèn)知活動(dòng)、意志活動(dòng)、情感活動(dòng)和交往活動(dòng),需要學(xué)生全情投入,向自己的能力極限挑戰(zhàn). 此教學(xué)片斷,教師兩次引領(lǐng)學(xué)生投入智力沖浪,讓學(xué)生在沖浪中應(yīng)用規(guī)律. 沖浪A中,四角星的面積S=n÷2+a-1=10÷2+5-1=9(平方分米),皇冠的面積S=n÷2+a-1=10÷2+6-1=10(平方分米),皇冠的面積大. 沖浪B中,哥哥的面積S=n÷2+a-1=15÷2+17-1=23.5(平方米),妹妹的面積S=n÷2+a-1=17÷2+16-1=23.5(平方米),哥哥和妹妹的面積一樣大. 這使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到:求釘子板上的多邊形面積,既要找多邊形邊上的釘子數(shù),也要找多邊形里面的釘子數(shù). 通過這樣的拓展,既能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力,又能提高學(xué)生分析問題的能力,更能提高學(xué)生解決問題的能力.endprint

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