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    一類廣義Sierpin'ski圖的原子鍵連通度

    2015-09-07 10:50:39辛玉忠梁曉東
    關鍵詞:條邊拷貝正則

    辛玉忠, 梁曉東

    (新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,新疆烏魯木齊830046)

    一類廣義Sierpin'ski圖的原子鍵連通度

    辛玉忠, 梁曉東?

    (新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,新疆烏魯木齊830046)

    Sierpin'ski圖;廣義Sierpin'ski圖;ABC指標

    拓撲指標在化學,藥理學等方面的研究中發(fā)揮著重要的作用。上世紀中葉以來,研究者們提出了各種各樣的拓撲指標(參見[1,2000]),其中以1975年由MilanRandic′提出的Randic′指標最具代表性[2]。1998年,Estrada等人提出了原子鍵連通度(ABC)指標[3]。一個圖G的原子鍵連通度(ABC)指標定義為:

    其中,d(u)表示點u在G中的度數(shù)。ABC指標在化學熱力學及數(shù)學化學中均有廣泛的研究[4]。

    定義1 Sierpin'ski圖S(kn,t)的頂點集是V(S(kn,t))={1,2,…,n}t。{u,v}是S(kn,t)的一條邊,當且僅當存在i∈{1,2,…,t}使得:

    在文獻[9]中,這個結構推廣到了任意圖G,定義為廣義Sierpin'ski圖,記作S(G,t)。

    定義2 廣義Sierpin'ski圖S(G,t)的頂點集是V(S(G,t))={1,2,…,n}t。{u,v}是S(G,t)的一條邊,當且僅當存在i∈{1,2,…,t},使得:

    圖1 Sierpin'ski圖S(K3,3)和廣義Sierpin'ski圖S(C4,3)

    注意到S(G,t)可以由G構造,步驟如下:當t=1時,S(G,1)=G。當t≥2時,首先將S(G,t-1)復制n次,然后在與x相應的那個S(G,t-1)的每個頂點標簽之前添加x,對于G的每一條邊{x,y},在點xyy…y和yxx…x之間添加一條邊。標號為xx…x的點稱為極點。對于任意n階圖G以及任意整數(shù)t≥2,S(G,t)有n個極點。若點x在G中的度數(shù)為d(x),則極點xx…x在S(G,t)中的度數(shù)也為d(x)。S(G,t)中的兩點xyy…y和yxx…x連接S(G,t-1)的兩個拷貝,故它們的度數(shù)分別為d(x)+1和d(y)+1。

    圖2 聚合物Sierpin'ski圖P(K2,3)

    用Pn表示階為n的路。在文獻[10,11,2003-2005]中,介紹了構造P(Kn,t)的方法。對于n階連通圖G,文獻[12,2015,145-160]中給出了聚合物Sierpin'ski圖P(G,t)的如下定義。

    定義3 對任意i∈{1,2,…,t},定義集合Ai={ai1,ai2,…,aini-1}。記S(G,i)=(Vi,Ei),其中Vi={vi1,vi2,…,vini}。則廣義Sierpin'ski圖P(G,t)的點集和邊集分別為:

    注意到,P(G,t)可以由如下步驟構造:當t=1時,P(G,1)是由a11連接S(G,1)的一個拷貝的每個頂點構成的。當t=2時,為了得到P(G,2),需要運用P(G,1),A2,S(G,2);把每一個a2j∈A2與v1j∈V1連接,并且把a2j與G在S(G,2)中的第j個拷貝的所有點連接。相似地,為了得到P(G,t),需要運用P(G,t-1),At,S(G,t);把每一個atj∈At與vt-1j∈Vt-1連接,并且把atj與G在S(G,t)中的第j個拷貝的所有點連接。

    文章中考慮基于廣義Sierpin'ski圖的網(wǎng)絡模型,獲得了聚合物Sierpin'ski圖P(G,t)的ABC指標的公式,其中G是一個完全圖或一個無三角形δ正則圖。

    1 計算P(G, t)的原子鍵連通度

    其中,

    證明 令d(x)為點x在P(G, t)中的度數(shù),對P(G, t)中的邊 {x, y},分如下情況討論:

    (1)x=a1,y∈V1。這種情況下,P(Kn,t)有n條邊 {x, y},其中d(x)=n,d(y)=n+1,這些邊對ABC指標的貢獻為:

    (3)x∈Ai,y∈Vi,2≤i≤t-1。P(Kn,t)有n條邊 {x, y},其中y是S(Kn,i)的極點,d(x)=d(y)= n+1。同時有ni-n條邊 {x, y},其中y不是S(Kn,i)的極點,d(x)=n+1,d(y)=n+2。這些邊對ABC指標的貢獻為:

    (5)x∈Vi,y∈Ai+1,1≤i≤t-1,P(Kn,t)n條邊 {x, y},其中x是S(Kn,i)的極點d(x)=d(y)= n+1。同時有ni-n條邊 {x, y},其中x不是S(Kn,i)的極點,d(x)=n+2,d(y)=n+1。這些邊對ABC指標的貢獻為

    (6)x∈At,y∈Vt。P(Kn,t)有n條邊{x,y},其中y是S(Kn,t)的極點,d(x)=n+1,d(y)=n。同時有nt-n條邊{x,y},其中y不是S(Kn,t)的極點,d(x)=d(y)=n+1。這些邊對ABC指標的貢獻為:

    推論2 對任意階為n≥2的δ正則圖G,

    對給定的圖H,用gH(δ)表示度數(shù)為δ的點的個數(shù)。

    引理3[12]對于任意無三角形的n階δ正則圖G以及任意正整數(shù)t≥2,

    對給定的圖H,用fH(δ,δ')表示兩個頂點度數(shù)分別為δ和δ'的邊的個數(shù)。

    引理4[12]對于任意無三角形的n階δ正則圖G以及任意正整數(shù)t≥2,

    定理5 對于任意無三角形的n≥2階δ正則圖G以及任意整數(shù)t≥2,

    其中,

    證明 令d(x)為點x在P(G,t)中的度數(shù),{x, y}為P(G,t)中的邊。

    (1)x=a11,y∈V1。這種情況下,P(G,t)有n條邊 {x, y},其中d(x)=n,d(y)=δ+2。這些邊對ABC指標的貢獻為:

    (2)x,y∈V1。 P(G,t)有條邊 {x, y},其中d(x)=d(y)=δ+2。這些邊對ABC指標的貢獻為:

    d(x)=d(y)=δ+3。 這些邊對ABC指標的貢獻為:

    [1]R.Todeschini,V.Consonni.Handbook ofmo1ecu1ar descriptors[J].Wi1ey-VCH,Weinheim,2000.

    [2]M.Randic′.On characterization ofmo1ecu1ar branching[J].Am.Chem.Soc,1975,(97):6609-6615.

    [3]E.Estrada,L.Torres,L.Rodríguez,I.Gutman.An atom-bond connectivity index:mode11ing the entha1py of formation of a1kanes,Indian[J]. Chem.1998,(37A):849-855.

    [4]E.Estrada,Atom-bond connectivity and the energetic of branched a1kanes[J].Chemica1Physics Letters,2008,(463):422-425.

    [5]I.Gutman,J.Tosovic',S.radenkovic',S.Markovic',On atom-bond connectivity index and its chemica1app1icabi1ity[J].Indian Journa1of Chemistry,2012,(51A):690-694.

    [6]A.Graovac,M.Ghorbani,A new version of the atom-bond connectivity index[J].Acta Chimica S1ovenica,2010,(57):609-612.

    [7]X.Ke,Atom-bond connectivity index of benzenoid systems and f1uoranthene congeners[J].po1ycyc1ic Aromatic Compounds,2012,(32):27-35.[8]S.K1avzar,U.Mi1utinovic,Graphs S(n,k)and a variant of the tower of Hanoi prob1em,Czech[J].Math.J.1997,(47):95-104.

    [9]S.Gravier,M.Kovse,A.Parreau,Genera1ized Sierpin'ski graphs[J].Des.Codes Cryptogr.2013(69):181-188.

    [10]A.Jurjiu,Dynamics of po1ymer networksmode1ed by finite regu1ar fracta1s[J].Ph.thesis.Univ.Freiburg,2005.

    [11]A.Jurjiu,T.Kos1owski,A.B1umen,Dynamics of deterministic fracta1po1ymer networks:hydrodynamic interactions and the absence of sca1ing[J]. Chem.Phys.,2003,(118):2398.

    [12]Juan A.Rodriguez-Veazquez,Jessica Toma's-Andreu.On the randic′index of po1ymeric networksmode11ed by genera1ized Sierpin'ski graphs,MATCH Commun[J].Math.Comput.Chem,2015,(74):145-160.

    Atom-bond Connectivity Index of Generalized Sierpin'ski Graph

    XlNYu-zhong, LlANG Xiao-dong?
    (School ofMathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi,Xinjiang,830046,China)

    Sierpin'ski graph;Genera1ized Sierpin'ski graph;ABC index

    O157.5

    A

    1008-9659(2015)04-031-07

    2015-09-17

    新疆維吾爾自治區(qū)重點實驗室開放課題資助(2015KL019)。

    辛玉忠(1991-),男,青海人,碩士研究生,主要從事圖與網(wǎng)絡優(yōu)化方面的研究。

    ?[通訊作者]梁曉東(1970-),男,副教授,博士,碩士生導師,主要從事圖與網(wǎng)絡優(yōu)化方面的研究。

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