李冶數(shù)學(xué)教育思想對當代大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的啟示

安宏偉， 鄭莉芳， 張媛媛， 彭 麗

（1.石家莊鐵道大學(xué)四方學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.石家莊學(xué)院，河北 石家莊 050035）

一、李冶的數(shù)學(xué)成就及對我國古代數(shù)學(xué)的重要貢獻

李冶（1192—1279），字敬齋，金真定府欒城（今河北欒城）人，是金末元初著名的學(xué)者，中國數(shù)學(xué)史上宋元四大家之一，他總結(jié)并完善了天元術(shù)，編著了兩部天元術(shù)著作——《測圓海鏡》和《益古演段》，為我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻。

《測圓海鏡》是我國現(xiàn)存最早的一部以天元術(shù)為主要內(nèi)容的著作。天元術(shù)是一種用數(shù)學(xué)符號列方程的方法。書中“立天元一為某某”相當于現(xiàn)在的：設(shè)x為某某?！稖y圓海鏡》的成書對我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展具有深遠的影響。

（1）從內(nèi)容上來說，《測圓海鏡》是一部代數(shù)著作，它總結(jié)并提高了天元術(shù)，使方程理論基本上擺脫了幾何思維的束縛，這是數(shù)學(xué)思想的重大突破。隨著這一重大突破，李冶在方程理論上的研究有了很大的進展，明顯提高了方程的一般化程度。李冶在《測圓海鏡》中改變了傳統(tǒng)的把“實”（指方程中的常數(shù)項）看作正數(shù)的觀念，常數(shù)項可正可負，不再拘泥于它的幾何意義；同時根據(jù)題目需要，可以使用天元術(shù)列出高次方程，不再受到幾何意義的影響；化簡方程時能夠使用方程兩側(cè)同乘一個式子的方法，把分式方程化為整式方程。

（2）從整體結(jié)構(gòu)上來說，《測圓海鏡》在卷一集中給出了各卷問題所需的定義、定理和公式，使該書基本上成為了一部演繹體系的著作，也是第一個構(gòu)造體系的著作。

（3）先進的數(shù)學(xué)符號。數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)符號，先進的數(shù)學(xué)符號可以有效地促進數(shù)學(xué)的進步。李冶在這一方面做出了重要貢獻。在《測圓海鏡》成書之前，我國的數(shù)碼只有一到九，沒有零，計算時遇到零，便空位，如果相鄰有兩個以上零的話，表述是不清楚的，這不利于我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展，在《測圓海鏡》中，○的使用有兩個作用，一是表示數(shù)中的空位；二是表示天元式或多項式中系數(shù)為零的項。使用“○”的記法使書中小數(shù)的記法在當時是比較先進的思想。在當時李冶的另一大成就就是負號的發(fā)明和使用。由于李冶掌握了一整套數(shù)字符號，使得他的方程可以用符號表示，改變了之前人們用文字描述方程的傳統(tǒng)做法，使我國的數(shù)學(xué)進入了半符號化的時代，這對方程理論的發(fā)展具有重要的促進作用。［1-2］

《益古演段》與《測圓海鏡》不同，它是李冶在封龍書院講學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)《測圓海鏡》中的內(nèi)容不易被初學(xué)者掌握，為普及天元術(shù)而專門撰寫的一部著作，是一部由淺入深、簡明易懂、非常實用的數(shù)學(xué)教材?！兑婀叛荻巍肥窃凇兑婀偶返幕A(chǔ)上，以天元術(shù)推演條段，利用新術(shù)和舊術(shù)對比的方法，加深人們對天元術(shù)的理解?！兑婀叛荻巍饭踩?4問，主要處理的是平面圖形的面積、求所涉及圖形的邊長、圓徑（直徑）、周長等問題。內(nèi)容編排先簡后難，逐步加深。書中所涉及問題的解法均采用了新、舊術(shù)并列的方法分別進行求解。新術(shù)指的是天元術(shù)，舊術(shù)指的是條段法。書中各題包括“法”、“依條段求之”、“條段圖”、“義”等四大部分，其中“法”是天元術(shù)；“依條段求之”是利用人們易懂的幾何方法（條段法）對天元術(shù)進行解釋，條段法是一種通過面積圖形的分割、拼補尋找等量關(guān)系，以便求得方程各系數(shù)的圖解法；在當時，條段法是大家比較常用的解題方法；“條段圖”是根據(jù)條段法所畫出的方程各項系數(shù)幾何關(guān)系的圖解；“義”是對圖中已知量的文字說明。［1-2］《益古演段》無論是從內(nèi)容安排上，還是在書中具體問題的解答過程中，都充分體現(xiàn)了李冶“曉然示人”先進的教育理念和優(yōu)秀的教育方法，對我們當代無論是中小學(xué)教育還是大學(xué)教育都具有很好的啟示作用。

數(shù)學(xué)并沒有給李冶帶來功名利祿，在現(xiàn)存的史料和記載中也未能發(fā)現(xiàn)他的學(xué)生有從事數(shù)學(xué)研究的，其兩本算書都是在他去世后才出版的。祖頤為朱世杰《四元玉鑒》寫的序中提到天元術(shù)發(fā)展的過程，但遺憾的是也未能提到李冶的名字。

二、李冶先進的數(shù)學(xué)思想

與之同時代的秦九韶不同，李冶從未有對數(shù)學(xué)的歷史、起源、奇聞逸事等進行過評論，而是把重點放在駁斥世人對數(shù)學(xué)的錯誤認識以及他本人寫算書的心態(tài)與研究數(shù)學(xué)的方式與方法上。

（一）施之人事，最為切務(wù)

李冶對數(shù)學(xué)的應(yīng)用有切身的體會。他在任鈞州知事期間，戰(zhàn)事比較緊張，物資調(diào)度十分頻繁。他掌管出納，“無規(guī)撮之誤”。這說明他有很好的數(shù)學(xué)和計算功底?！兑婀叛荻巍ぷ孕颉罚骸靶g(shù)數(shù)雖居六藝之末，而施之人事，則最為切務(wù)，故古之博雅君子馬、鄭之流未有不精研于此者也?！倍凇稖y圓海鏡·序》：李冶寫到“由技兼于事言之，夷之禮，夔之樂，亦不免為一技；由技進乎道者言之。石之斤，扁之輪，非圣人之所與乎？”充分地表達了他研究數(shù)學(xué)的決心和毅力。此外，李冶能夠充分認識到其算書對后人的作用，臨終前他衷心地囑咐兒子：“吾平生著述，死后盡可燔去，獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數(shù)，吾嘗精思致力焉，后世必有知者，庶可布廣垂永乎？”（《測圓海鏡·王德源后序》）［1-2］

（二）曉然示人，盡軒隸之秘

李冶認識到數(shù)學(xué)的重要性，并且想讓自己的算書布廣垂永，推廣天元術(shù)，撰寫了《益古演段》。李冶在研究當時算書的過程中，發(fā)現(xiàn)它們普遍存在兩大缺陷：

（1）“今之為算者，未必有劉（徽）、李（淳風）之工，而褊心踞見，不肯曉然示人，惟務(wù)隱互錯糅，故為溟滓黯，惟恐學(xué)者得窺其仿佛也?！崩钜薄兑婀叛荻巍分暗臄?shù)學(xué)著作《益古集》就屬于這種情況，李冶在此基礎(chǔ)上，撰寫了《益古演段》，對天元術(shù)的推廣做出了重要貢獻。

（2）“不然則又以淺近粗俗無足觀者，致使軒轅隸首之術(shù)，三五錯綜之妙，盡墮于世井沾沾之兒，及夫荒村下里蚩蚩之民，殊可憫悼。”（《益古演段·自序＞），對于這種情況，李冶是針對當時的民用數(shù)學(xué)、商用數(shù)學(xué)而言的。為了滿足社會的商業(yè)經(jīng)濟發(fā)展及日常生活需要，數(shù)學(xué)的實用性增強，越來越貼近平民百姓。［1-2］

（三）數(shù)學(xué)是能夠認識的

李冶的數(shù)學(xué)思想受到了道家哲學(xué)的影響，認為數(shù)學(xué)是能夠認識的。在《測圓海鏡·序》中李冶對數(shù)學(xué)在哲學(xué)上的意義，論述得尤為深刻。書中寫到“數(shù)本難窮，吾欲以力強窮之，彼其數(shù)不惟不能得其凡，而吾之力且憊矣。然則數(shù)果不可以窮耶？既已名之數(shù)矣，則又何為不可窮也。故謂數(shù)為難窮，斯可；謂數(shù)為不可窮，斯不可。何則？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之數(shù)也；非自然之數(shù)，其自然之理也。數(shù)一出于自然，吾欲以力強窮之，使隸首復(fù)生，亦末如之何也已。茍能推自然之理，以明自然之數(shù)，則雖遠而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣?！崩钜鼻逍训卣J識到數(shù)學(xué)來于自然，自然是有規(guī)律可循的，也是可認識的；他認為研究數(shù)學(xué)要得法，必須遵循自然規(guī)律，不可以力強窮之。［1-2］

（四）“因材勸學(xué)”的教育理念

李冶的思想是融合了儒、道以及其他體系的思想，由于受到儒家思想的影響，他對人性論，特別是對孟子的善惡論做了深入思考。李冶認為，真正的善惡賢愚，在人之初都是不存在的，可以通過后天的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)形成。因此，可以根據(jù)人的不同情況進行有效的誘導(dǎo)，達到勸人為善的目的。［1］李冶將此觀點應(yīng)用到了教學(xué)當中，他說：“大抵今之學(xué)非古之學(xué)也，今之學(xué)不過為利而勤，為名而修爾。因其所為而引之，則吾之勸之者易以入，而聽之者易以進也?！崩钜币浴盀槔?、“為名”來鼓勵中下者學(xué)習(xí)充分反映了順應(yīng)人的本性，因材勸學(xué)的思想，這一思想雖有功利之嫌，但也有我們所值得借鑒的地方，因為這一思想與當代高校所提倡的因人施教、因材施教思想極為接近，其目的都是為了提高教學(xué)效果。

三、李冶先進的數(shù)學(xué)教育思想對當代大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的啟示

（一）對“曉然示人”理念的新理解

在《益古演段》序言中，李冶寫道“今之為算者未必有劉、李（指劉徽，李淳風）之功，而褊心局見。不肯曉然示人，惟務(wù)隱互錯糅，故為溟涬黯黮，惟恐學(xué)者得窺其彷佛也 ”。李冶卻認為“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉。”充分體現(xiàn)了李冶“曉然示人”的先進教育理念。在當代教育中，我們所需要考慮的是如何更好地“曉然示人”。就大學(xué)數(shù)學(xué)教育而言，由于該課程自身具有較強的抽象性、邏輯性等特點，使大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不得其法。這值得大學(xué)數(shù)學(xué)教師深入研究講授大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)思想和教學(xué)方法。作為一名高校教師，應(yīng)在深度和廣度上加深對課程的理解和把握。

本文先對我國目前地理信息資源成果管理的現(xiàn)狀進行了分析，在對地理信息成果進行管理時，以數(shù)據(jù)庫與基礎(chǔ)測繪數(shù)據(jù)庫等設(shè)置為數(shù)據(jù)來源，并以數(shù)據(jù)中心為基礎(chǔ)利用數(shù)據(jù)倉庫的方法對地理信息數(shù)據(jù)進行統(tǒng)一的管理，在大數(shù)據(jù)時代對多樣化數(shù)據(jù)、海量數(shù)據(jù)的管理提供了科學(xué)合理的方式，提升我國地理信息管理效率。

（1）在深度上，首先教師應(yīng)充分理解掌握所講授的內(nèi)容，能夠用學(xué)生容易接受的語言對講授的內(nèi)容進行講解，也就是將數(shù)學(xué)語言形象化；其次，了解相關(guān)知識的產(chǎn)生背景，以便在講授過程中，靈活引入歷史元素，加深學(xué)生對知識的理解。

（2）在廣度上，教師應(yīng)了解數(shù)學(xué)在相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用實例，以便對所教專業(yè)的學(xué)生開展有針對性的數(shù)學(xué)課程教育，因材施教。例如在講授導(dǎo)數(shù)時，對于理工科的學(xué)生，可以引入變速運動中速度與路程的關(guān)系問題；對于經(jīng)濟類專業(yè)的學(xué)生，則應(yīng)聯(lián)系邊際成本和邊際效益講授導(dǎo)數(shù)的思想。此外，在教學(xué)過程中有機地引入數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)在培養(yǎng)其良好的思維方法和后續(xù)課程學(xué)習(xí)與應(yīng)用中的重要性。這樣組織數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生將先進的數(shù)學(xué)思想和方法應(yīng)用于后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)與研究之中。

（二）形象化地講授數(shù)學(xué)思想

在《益古演段》中李冶使用形象的幾何法來解釋天元術(shù)，以此普及天元術(shù)，正如書中提要所說：“此法雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學(xué)者驟欲通之，茫無門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屬易見?！崩钜钡摹兑婀叛荻巍分荚诮柚胺綀A冪積”，建立通向天元術(shù)這一數(shù)學(xué)思想的橋梁，而不在其變化的解題方法上。在當代大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。因此，如何讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想，成為高校數(shù)學(xué)教師應(yīng)認真研究的重要課題之一?！兑婀叛荻巍方o我們留下了很好的范例。大學(xué)數(shù)學(xué)具有很強的抽象性，在講授過程中可以把抽象的概念和思想形象化。例如在極限的思想中，可以引用李白的《黃鶴樓送孟浩然之廣陵 》中“孤帆遠影碧空盡”，在唯美地畫卷中體會極限思想。矩陣的概念和運算是線性代數(shù)中的一個重要概念，而且與行列式的概念容易混淆，在教學(xué)的過程中可以借助生活中的實例進行講解，例如某家電公司向三個商場發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量如表1。

表1 三個商場發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量

在教學(xué)手段和方法上，利用先進的教育技術(shù)輔助教學(xué)，特別是多媒體教學(xué)，可以將一些板書無法實現(xiàn)地連續(xù)變化過程清晰的呈現(xiàn)給學(xué)生，使其更好地理解和掌握教學(xué)思想。例如，講授定積分的定義，用板書很難演示無限細分的過程中與面積真實值的近似程度，使用多媒體課件教學(xué)，就可以將此過程逼真地演示出來，學(xué)生可以更加直觀形象地理解定積分中“微分法”的思想。

（三）對比法的新理解和應(yīng)用

在《益古演段》中，李冶充分使用條段法和天元術(shù)相對比的方法，對天元術(shù)進行闡述，使人們更好地理解和應(yīng)用天元術(shù)，同時也是使用條段法對天元術(shù)的論證。對比法對于當代大學(xué)數(shù)學(xué)教育仍然不落后，它不僅能夠使用在解題運算過程中，在對新知識、新理論的講授過程中同樣也可以靈活運用，而且可以通過新舊知識的對比，加深學(xué)生對新知識的理解和掌握。

矩陣的初等變換是矩陣論的一個重要內(nèi)容。筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，對于學(xué)生來說如何利用矩陣的初等變換將矩陣化為行階梯型或最簡型是一個難點。利用高斯消元法解線性方程組，學(xué)生比較熟悉，可先將矩陣寫成方程組的形式，利用解線性方程組與矩陣的初等變換相對比的方法，闡述將矩陣化為行階梯型和行最簡型，例如：

上述把矩陣A化為行階梯型矩陣的過程可以看作對A對應(yīng)的線性方程組

實施消元的過程。如下

其中，①表示第二個方程減去第一個方程的3倍；②表示第三個方程減去第一個方程的5倍；③表示第三個方程減去第二個方程。

（2）式為方程組的行階梯型方程組，矩陣（1）為行階梯型矩陣。由上述對比過程可以看出利用初等變換化矩陣為行階梯型的過程與解線性方程組的過程類似。利用這種對比方法，可以使學(xué)生清晰地掌握化矩陣為階梯型的解題思路，使復(fù)雜的問題簡單化。

李冶先進的教育思想不僅僅局限于以上幾點，還有待當代大學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者做進一步深入挖掘和研究，借此促進高校教師對當代大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革做更加深入的思考和研究，切實加強數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法改革，使大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科真正成為廣大學(xué)生所喜聞樂見的課程。

［1］孔國平.李冶朱世杰與金元數(shù)學(xué)［M］.石家莊：河北科學(xué)技術(shù)出版社，2000：36-230.

［2］孔國平.李冶傳［M］.石家莊：河北教育出版社，1988：8-35.

［3］孔國平.測圓海鏡導(dǎo)讀［M］.武漢：湖北教育出版社，1996：51-53.

［4］李忠定.線性代數(shù)與幾何［M］.北京：中國鐵道出版社，2011：37-40.