基于已有信息的轉(zhuǎn)移區(qū)域抽樣可靠度數(shù)值模擬方法

房艷峰（浙江海洋學(xué)院海運(yùn)與港航建筑工程學(xué)院，浙江舟山　316022）

基于已有信息的轉(zhuǎn)移區(qū)域抽樣可靠度數(shù)值模擬方法

房艷峰
（浙江海洋學(xué)院海運(yùn)與港航建筑工程學(xué)院，浙江舟山316022）

對結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算中的數(shù)值模擬方法進(jìn)行了討論，推導(dǎo)出模擬值方差的理論公式和影響因素。提出了一種可以降低模擬值方差、增加抽樣效率的重要抽樣方法——基于已有信息的轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法。應(yīng)用這種方法時(shí)，可只在包括失效區(qū)的且概率已知的某局部區(qū)域內(nèi)抽樣。在相同的抽樣數(shù)量下，由于利用該區(qū)域的已知抽樣概率作為已有信息，其模擬方差與直接抽樣的比值小于1，且該比值隨著抽樣區(qū)的減小而減小，近似呈線性變化。該局部區(qū)域可取以原點(diǎn)為中心以結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為半徑的圓形區(qū)域外部空間。理論分析和模擬結(jié)果都表明，轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法得到的模擬值方差與直接抽樣法的比值，隨結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的增大而呈非線性降低。當(dāng)可靠指標(biāo)大于3時(shí)，這個(gè)比值可以降低到1/100以下。

可靠度；數(shù)值模擬；重要抽樣；方差；區(qū)域

結(jié)構(gòu)可靠度的研究始于20世紀(jì)初，標(biāo)志是美國人FREUDENTHAL發(fā)表的“the safety of structrues”一文［1］直到1969年美國人Cornell提出在可靠度分析中應(yīng)用直接與失效概率相聯(lián)系的可靠指標(biāo)β來衡量結(jié)構(gòu)的可靠度，并建立一次二階距理論［2］，該理論才收到工程界的重視。1971年加拿大人LIND提出將可靠指標(biāo)轉(zhuǎn)化為易于為工程所接受的分項(xiàng)系數(shù)的形式。推動(dòng)了結(jié)構(gòu)可靠度理論在設(shè)計(jì)規(guī)范中的應(yīng)用［3］。工程結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算方法是可靠度理論中的研究課題之一［4］。由于多重積分帶來的數(shù)學(xué)困難，現(xiàn)有的計(jì)算方法均為近似方法。工程上常采用一次二階矩法［5］，其實(shí)質(zhì)是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，求得原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的距離作為可靠指標(biāo)，原理是在該空間沿任一軸的邊緣分布均為正態(tài)分布。缺點(diǎn)是當(dāng)極限狀態(tài)面是非線性時(shí)，特別是在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處非線性較高時(shí)，根據(jù)其相對原點(diǎn)或凸或凹，計(jì)算結(jié)果偏大或偏小，即計(jì)算結(jié)果是近似的［6］。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算精度較高的數(shù)值模擬方法，Monte Carlo法越來越受到人們的重視，并成為結(jié)構(gòu)可靠度分析和設(shè)計(jì)的一個(gè)重要組成部分［4］。此種方法的缺點(diǎn)是當(dāng)抽樣數(shù)量不是很大時(shí)，模擬值離散性較大，得不到可靠的結(jié)果。為提高抽樣效率，人們研究出許多降低模擬方差，改善模擬精度的抽樣技巧，如重要抽樣法、相關(guān)抽樣法、分層抽樣法等［7，8］。SHINOZUKA［9］將重要抽樣法引入到結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算中，至今已被許多學(xué)者研究和改進(jìn)［10］。此方法中，取抽樣函數(shù)與原分布函數(shù)形式相同，抽樣函數(shù)重心取由一次二階矩法求得的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)［11］。此方法也用于多失效模式的結(jié)構(gòu)［12］。BUCHER［13］提出了自適應(yīng)抽樣法，用失效子樣對原變量密度函數(shù)的一階和二階矩構(gòu)造正態(tài)分布的抽樣密度函數(shù)，此法得到的失效概率常常偏低。ANG［14］提出了核函數(shù)法，構(gòu)造的密度函數(shù)非常接近最佳抽樣函數(shù)，但用于形成核函數(shù)的失效子樣必須來自直接Monte Carlo法，即失效概率較小時(shí)不適用。金偉良提出了將條件抽樣和重要抽樣相結(jié)合的改進(jìn)模擬方法［15］，進(jìn)一步提高了模擬的抽樣效率。貢金鑫提出一種新的方向重要抽樣法［16］，該方法構(gòu)造以驗(yàn)算點(diǎn)為中心的橢球抽樣空間，將以驗(yàn)算點(diǎn)為中心的方向矢量變換為以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的方向矢量來抽樣，邊優(yōu)化邊模擬，計(jì)算不復(fù)雜，卻提高效率很多。張崎［6］提出一種基于Kriging模擬的重要抽樣方法，此方法用Kriging模擬的高非線性極限狀態(tài)方程來進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，大大減低了有限元分析時(shí)間。楊飛躍等提出了結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的特殊邊緣區(qū)間抽樣法，其基本思想是基于抽取的樣本點(diǎn)大部分落在最大似然點(diǎn)附近且處于可靠域，只有少數(shù)遠(yuǎn)離最大似然點(diǎn)的特殊邊緣區(qū)間抽樣點(diǎn)才有可能落入失效域，故只對特殊邊緣區(qū)間抽樣點(diǎn)進(jìn)行功能函數(shù)和示性函數(shù)的計(jì)算，以替代全局計(jì)算，從而提高抽樣效率［17］。劉佩等首次對比分析了結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度計(jì)算的三種重要抽樣法，并對部分方法進(jìn)行了補(bǔ)充修正。單元失效域法補(bǔ)充了依據(jù)隨機(jī)數(shù)決定抽樣區(qū)間的產(chǎn)生方法，根據(jù)單元失效域的條件概率和權(quán)重系數(shù)給出重要抽樣密度函數(shù)。方差放大系數(shù)法直接通過激勵(lì)過程的特性給出重要抽樣密度函數(shù)的具體表達(dá)式［18］。KINGSTON等［19］在Monte Carlo中引入了有限元對幾何復(fù)雜的、邊界沒有明確表達(dá)的極限狀態(tài)方程，用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法構(gòu)造響應(yīng)面，并利用遺傳算法進(jìn)行了數(shù)值模擬，抽樣效率高，精度好。RAJABALINEJAD等［20］提出了基于Bayesian思想的Monte Carlo結(jié)構(gòu)可靠度模擬方法，將極限狀態(tài)方程附近抽樣點(diǎn)信息作為已知信息來提高模擬速度，此方法特別適用于動(dòng)態(tài)邊界的問題。ECHARD等［21］將Kriging模型與Monte Carlo數(shù)值模擬方法結(jié)合（AK-MCS方法），來提高結(jié)構(gòu)可靠度的模擬速度。本文從模擬結(jié)果的方差入手，推導(dǎo)出模擬結(jié)果的方差計(jì)算公式，并借助重要抽樣法原理，轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域，在此基礎(chǔ)上提出新的抽樣法——基于已有信息的轉(zhuǎn)移區(qū)域抽樣法。其方法是將包括失效區(qū)的抽樣區(qū)域盡可能減小，跨越已知抽樣概率的安全區(qū)域，獲得了較高的模擬精度。

1　Monte Carlo法中的抽樣原理

由于模擬結(jié)果結(jié)果相對比較精確，Monte Carlo法（又稱數(shù)值模擬法）的模擬結(jié)果，可作為其它近似計(jì)算結(jié)果精度的檢驗(yàn)和校核［4］。當(dāng)樣本數(shù)取得無窮大時(shí)，Monte Carlo法的模擬結(jié)果無限接近解析解。其理論依據(jù)為大數(shù)定律［22］。如果已知隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為fx（x）和分布函數(shù)Fx（x），根據(jù)失效概率的定義，可進(jìn)行下面的公式推導(dǎo)

公式（1）中，pf表示結(jié)構(gòu)的失效概率，Df表示失效域，f（x）為隨機(jī)變量的密度函數(shù)。I［x］為示性函數(shù)，當(dāng)功能函數(shù)x≤0時(shí)，示性函數(shù)I［x］=1，反之，I［x］=0。從公式（1）中可以看出，結(jié)構(gòu)失效概率即極限狀態(tài)方程所對應(yīng)示性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。設(shè)U是單位均勻分布的隨機(jī)變量。則y=FX-1（u）是與x具有相同分布的隨機(jī)變量［23］。設(shè)隨機(jī)變量y=（y1，y2，L，yn）是抽到的容量為N的一個(gè)樣本，由于失效概率可表示為極限狀態(tài)方程對應(yīng)示性函數(shù)I［g（x）］的數(shù)學(xué)期望，而樣本平均值又是失效概率的無偏估計(jì)。這樣失效概率的估計(jì)值可表示為

圖1　抽樣點(diǎn)分布圖（N=1 000）Fig.1　Distribution of sampling points （N=1 000）

圖2　抽樣點(diǎn)分布圖（N=5 000）Fig.2　Distribution of sampling points （N=5 000）

圖3　數(shù)值模擬結(jié)果的對比分析Fig.3　Contrast and analysis of simulation results

2　利用已有信息的抽樣區(qū)域轉(zhuǎn)換法

在可靠度分析中，由于可靠度數(shù)值模擬的結(jié)果實(shí)質(zhì)是樣本均值，是一個(gè)隨機(jī)變量。其波動(dòng)性可用方差來表示為公式（3）

公式中D（p?f）表示模擬值的方差，其他符號(hào)同前。從公式（3）可看出，隨著抽樣數(shù)量的增加，模擬結(jié)果的方差逐漸減小。這與圖3的模擬結(jié)果相符。當(dāng)數(shù)學(xué)期望不同時(shí)，模擬結(jié)果的集中程度可以用變異性來表示。用公式（4）來表達(dá)為

公式（4）中，δ（p?f）表示模擬結(jié)果的變異系數(shù)。為增加數(shù)值模擬的精度，減少變異性，本文引入條件概率思想，通過轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域進(jìn)一步加強(qiáng)模擬結(jié)果的穩(wěn)定性。

圖4　概率空間劃分分析Fig.4　Space division of probability space

圖5　比值K與pB的關(guān)系曲線Fig.5　Relationship btween ratio K and pB

圖4表示抽樣點(diǎn)的概率空間分成A和B兩部分，失效區(qū)域位于空間B。如果抽樣點(diǎn)落入空間A和B的概率p（A）=pA和p（B）=pB已知，則根據(jù)全概率公式，結(jié)構(gòu)的失效概率可表示為

模擬結(jié)果的期望和方差分別為

顯然抽樣區(qū)域的分布概率pB是關(guān)鍵。圖5表示，當(dāng)結(jié)構(gòu)失效概率pf在1e-3和9.1e-2之間時(shí)，方差比值k與pB的關(guān)系。轉(zhuǎn)換抽樣區(qū)域后的模擬方差隨著pB的減小而減小，基本成線性關(guān)系。當(dāng)pB固定時(shí)，方差縮減的程度隨pf的增加而增加。這種增加的趨勢隨pB的增大而減小。即在pB較大時(shí)，方差縮減的程度對pf不敏感。例如，當(dāng)pB=1.0，方差不縮減，即對任意值的pf，都有k=1。當(dāng)pB=0.1時(shí)，pf從1e-3增加到9.1e-2，k從0.099 1降低到0.009 9。方差變化近10倍。

圖6　概率空間劃分分析Fig.6　space division of probability space

對于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的可靠度計(jì)算問題，可以利用上述思想。將概率空間分為已知概率的安全區(qū)域A和未知概率的包含失效區(qū)域的區(qū)域B，如圖6所示。圖中的黑點(diǎn)和圓圈表示有限抽樣點(diǎn)在整個(gè)概率空間中的模擬分布。A區(qū)域是以原點(diǎn)為中心以結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為半徑的圓。B區(qū)域是除A以外的概率空間，其包含失效區(qū)域FAILURE。由于正態(tài)分布的優(yōu)良性［28］，的解析解易得。根據(jù)概率論中的3原則，是一微量。根據(jù)圖5，數(shù)值模擬的方差可以縮減到直接模擬法的1/10以下，結(jié)果能夠令人滿意。

3　算例分析

3.1算例一

已知某結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為fw-1365=0，隨機(jī)變量f、w均服從正態(tài)分布，其參數(shù)見表1。分別利用直接Monte Carlo法和本文提出的基于已有信息的轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法求得失效概率并比較收斂情況。

表1　隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)Tab.1　Parameters of random variables

Danny Shapiro先生：我們的汽車客戶包括了寶馬、本田和大眾等。這些主機(jī)廠教會(huì)了英偉達(dá)應(yīng)該如何針對汽車及使用環(huán)境進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)，比如為汽車設(shè)計(jì)的芯片就必須經(jīng)受粉塵、劇烈振動(dòng)和極端溫度等惡劣環(huán)境的考驗(yàn)。很難想象在筆記本電腦和PC機(jī)的芯片設(shè)計(jì)中會(huì)遇到這樣的嚴(yán)酷條件。

經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化后的極限狀態(tài)方程為

本例題的解析解為=8.237e-4，pB=0.064。圖7表示使用本文推薦方法后抽樣點(diǎn)的分布情況。抽樣點(diǎn)只分布在以結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β為半徑的圓形區(qū)域以外，可靠指標(biāo)通過一次二階矩求得，圓形區(qū)域內(nèi)分布概率已知，并且此區(qū)不出現(xiàn)失效情況。結(jié)構(gòu)失效概率可以由以下兩式得出

公式中β表示由一次二階矩法求得的可靠指標(biāo)，x21-pB（2）表示卡方分布的分位點(diǎn)，其他符號(hào)意義同前。為了比較此方法的優(yōu)越性，將直接Monte Carlo方法（simulation 1）和轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法（simulation 2）的模擬方法結(jié)果分別用黑點(diǎn)和圓圈表示，以模擬值為橫坐標(biāo)，以抽樣數(shù)量為縱坐標(biāo)繪于圖8中。抽樣次數(shù)從10 000增到50 000，步長10 000。在同樣抽樣次數(shù)下，進(jìn)行30次模擬，得到30個(gè)結(jié)果列在圖上。可以看出，隨抽樣次數(shù)的增加，數(shù)值模擬的分散程度減小，但不顯著，例如當(dāng)抽樣數(shù)從10 000增加到5 000，增加了5倍，模擬結(jié)果的分布范圍值減少到原來的0.5倍。所以依靠增加抽樣次數(shù)來達(dá)到減少方差的目的并不明智。相比之下，用本文的方法進(jìn)行數(shù)值模擬，在抽樣數(shù)量不多的情況下，模擬解的穩(wěn)定性很好。模擬結(jié)果的分布區(qū)間長度大約是直接法的1/20。分散區(qū)域非常集中，模擬值可靠，沒有較大偏差，精確度較高。圖9和圖10分別表示了采用直接模擬法和本文轉(zhuǎn)換抽樣區(qū)域法，隨著抽樣數(shù)目的增加模擬結(jié)果的方差變化情況。抽樣次數(shù)從10 000增加到100 000，在每次確定的抽樣次數(shù)下，模擬出300個(gè)結(jié)果并求其樣本方差。從模擬結(jié)果來看，使用兩種方法得到的模擬結(jié)果，樣本方差隨抽樣次數(shù)增多而降低的趨勢完全相同，即比值是一個(gè)常數(shù)，這和理論分析公式（3）和（8）完全吻合。

圖7　抽樣點(diǎn)分布（N=1000）Fig.7　Distribution of sampling points

圖8　模擬結(jié)果分布和對比分析Fig.8　Contrast and Analysis of simulation results

圖9　直接抽樣法模擬方差與抽樣次數(shù)關(guān)系Fig.9　Relationship btween variance from direct simulation and sampling number

圖10　轉(zhuǎn)換區(qū)域法模擬方差與抽樣次數(shù)關(guān)系Fig.10　Relationship btween variance from transfer regionmethod and sampling number

設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為線性，pf=1-Φ-（β），pB=1-chi2cdf（β2，2），結(jié)合方程（9）可以得到

公式（14）中，normcdf（·）是MATLAB軟件中表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，chi2cdf（·，2）表示二維卡方分布函數(shù)。圖11表示使用區(qū)域法前后模擬方差之比與結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)之間的關(guān)系。從圖上看出，隨可靠指標(biāo)β的增大，即隨著失效概率pf的減小，方差的比值迅速增大。即結(jié)構(gòu)的失效概率越小，用轉(zhuǎn)移區(qū)域方法進(jìn)行模擬優(yōu)勢越大，效果更為顯著。當(dāng)β=3時(shí)，使用區(qū)域法后的模擬方差可縮減到原來的1/100，β=3.5時(shí)，方差可縮減到原來的1/500。

圖11　轉(zhuǎn)換區(qū)域法模擬結(jié)果方差與可靠指標(biāo)β關(guān)系Fig.11　relationship btween variance of simulation results by transfer region method and index β

3.2算例二

已知某結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為，隨機(jī)變量、均服從正態(tài)分布，其參數(shù)見表2。分別利用直接Monte Carlo法和本文提出的基于已有信息的轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法求得失效概率并比較收斂情況。

表2　隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)Tab.2　Parameters of random variables

經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化后的極限狀態(tài)方程為

本例題的解析解為pf=0.014 95，pB=0.082 1。圖12表示使用本文推薦方法后抽樣點(diǎn)的分布情況。圖13將直接Monte Carlo方法（simulation 1）和轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法（simulation 2）的模擬方法結(jié)果分別用黑點(diǎn)和圓圈表示。圖中的橫坐標(biāo)是模擬值，縱坐標(biāo)是抽樣次數(shù)。在相同抽樣次數(shù)下，與直接模擬法（simulation 1）相比，轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法（simulation 2）模擬結(jié)果的分散程度明顯減小，但減小的幅度不如圖8顯示的強(qiáng)烈，那是本例題中結(jié)構(gòu)失效概率較大，這個(gè)結(jié)論與圖11所示相符。

圖12　抽樣點(diǎn)分布（N=1 000）Fig.12　Distribution of sampling points

圖13　模擬結(jié)果分布和對比分析（N=1 000）Fig.13　Contrast and Analysis of simulation results

3.3算例三

已知某結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為，隨機(jī)變量、均服從正態(tài)分布，服從對數(shù)正態(tài)分布。其參數(shù)見表3。設(shè)，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)化后，分別利用直接Monte Carlo法和本文提出的基于已有信息的轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法求得失效概率并比較收斂情況。本例中，由一次二階矩法求得，。

表3　隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)Tab.3　Parameters of random variables

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化后的方程為

本例題的解析解為pf=0.0255，pB=0.3068。圖14、圖15表示使用直接抽樣（simulation 1）和本文推薦方法（simulation 2）后抽樣點(diǎn)的分布情況。圖16表示兩種方法的模擬結(jié)果對比分析。在相同抽樣次數(shù)下，與直接模擬法（simulation 1）相比，轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域法（simulation 2）模擬結(jié)果的分散程度減小，但不是很顯著，因?yàn)楸纠}的失效概率較小。這個(gè)結(jié)論進(jìn)一步證明圖11的正確性。

圖14　抽樣點(diǎn)分布（N=1 000）Fig.14　Distribution of sampling points

圖15　抽樣點(diǎn)分布（N=1 000）Fig.15　Distribution of sampling points

圖16　模擬結(jié)果分布和對比分析Fig.16　Contrast and Analysis of simulation results

4　結(jié)論

本文所采用的轉(zhuǎn)換抽樣區(qū)域法基于Monte Carlo重要抽樣法原理，通過轉(zhuǎn)移抽樣區(qū)域的方法來達(dá)到提高抽樣效率的目的，證明時(shí)采用了全概率公式?？邕^已知概率解析解的安全區(qū)域，只在此外的概率空間中求解，極大提高了抽樣效率。原因是在模擬中融入了解析部分。模擬結(jié)果和理論分析表明，通過增加抽樣次數(shù)而達(dá)到縮小模擬值方差的目的不能達(dá)到理想的效果，速度較慢。使用本文提出的模擬方法，數(shù)值解的波動(dòng)性很小，方差減小的幅度很大。與直接抽樣方差的比值，隨著抽樣區(qū)域的減小而減小，基本呈線性關(guān)系。它隨結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的增大而減小。當(dāng)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β＞3時(shí)，模擬方差可以縮減到原來的1/100。即可靠指標(biāo)越大，采用本文的抽樣方法效果越顯著。

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Structural Reliability Analysis by Transfer Region Method based on the Information Obtained

FANG Yan-feng （School of Maritime and Civil Engineering of Zhejiang Ocean University，Zhoushan316022，China）

In the paper，simulation for structural reliability is discussed thoroughly.The formula of simulation variance is deduced and analysis of influencing factors on the variance is given.A new sampling method——transfer sampling region method is given which can reduce the simulation variance and praise the sampling efficiency.In the method，sampling points only come from some region with known probability and where，the failure area is included entirely.The certain region is choose because the probability of sampling points come from here is obtained easily for simple geometry，and by the known information，the simulation can be approached efficiently.The ratio of the variance of simulation from the method to that of direct method is less than 1，and the value will decrease with the size of sampling region linearly.The outer space of the circle with the origin as center and the reliability index as radius can be choose as the certain sampling region. Analysis and simulation results show that the ratio of the variance of simulation from transfer sampling region method to that from direct method will decrease with the increasing of reliability index nonlinearly and it can be reduced to be less than 1/100 when the reliability is greaterr than 3.

reliability；simulation；importance sampling；variance；region

TU311.2

A

1008-830X（2015）04-0395-08

2015-01-02

浙江省教育廳項(xiàng)目（Y201018955）

房艷峰（1976-），男，遼寧鐵嶺人，講師，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)工程研究.E-mail：fyf20021976@126.com