寂然凝慮，思接千載，悄焉動容，視通萬里

徐昊

摘 要：本文從《紅樓夢》、自相似、分形、克隆等談起，以一個常見問題為基礎(chǔ)，提出進(jìn)一步的問題，并將其推廣為更一般的結(jié)論，通過不動點方法與復(fù)數(shù)理論將此類問題徹底解決。最后進(jìn)一步介紹了此類問題的根本——布勞爾不動點原理，并介紹了其在生活及數(shù)學(xué)中的有趣應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：自相似；函數(shù)迭代；遞推數(shù)列；布勞爾不動點原理

《紅樓夢》的第一句話是什么？很多熟讀紅樓夢的人卻未必能回答出來。正確答案是“此本書第一回也”。

此話初看平淡無奇，但是仔細(xì)品味下來，似乎頗有些內(nèi)涵。這句話的最大特點是它描述了自身，這種句子一般稱為自描述語句，類似的漢語句子還有“三字經(jīng)”“四字天書”等，英語類的自描述句子也很多，例如，“This sentence contains thirty six letters.”

自描述語句中最經(jīng)典非“撒謊者悖論”莫屬——“我在撒謊！”這句話沒法判斷對錯。以前這類問題一直只是作為文字游戲和邏輯問題，直到20世紀(jì)初“羅素悖論”的提出以及哥德爾不完備性的證明后才被數(shù)學(xué)界和邏輯界廣泛關(guān)注。

其實這種自包含性在實際生活中有著重要的應(yīng)用，首先在分形幾何上，自相似性是分形的本質(zhì)特征，大家可以參照以下兩幅圖片。