新型人字齒同步帶帶輪齒廓曲面加工特性研究

郭建華，姜洪源，胡清明，孟慶鑫

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001;2.齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾161006)

嚙合傳動是機(jī)械傳動中重要形式，不同的嚙合方式中輪齒廓曲線形式不同，如漸開線齒廓［1］、圓弧齒廓、擺線齒廓、雙漸開線齒廓［2］及其他齒輪，如非對稱斜齒廓、正交面齒輪［3］、標(biāo)準(zhǔn)圓弧線圓柱齒輪、橢圓齒輪［4］、圓形螺旋錐齒輪［5］等，進(jìn)行滾切加工過程中都涉及根切問題。研究根切的本質(zhì)是找出根切原因，分析根切可能導(dǎo)致齒形變化是否能滿足設(shè)計要求，以便設(shè)計、加工時力求避免根切發(fā)生。研究根切問題需從嚙合原理研究入手，假設(shè)Σ2是形成齒輪齒面Σ1的工具面，數(shù)學(xué)上防止根切是包絡(luò)齒廓曲面Σ1上出現(xiàn)奇異點［6］。

同步帶輪的加工通常由專用滾刀加工，且由于同步帶傳動形式的特殊性，需對帶輪全部輪廓進(jìn)行加工。新型人字齒同步帶傳動設(shè)計具有壽命長、傳動精度高、傳動噪聲低等傳動特點［7-9］。采用范成原理加工的帶輪齒廓能否實現(xiàn)設(shè)計要求，將直接影響傳動設(shè)計效果。人字齒帶輪由左右旋帶輪裝配而成，單只螺旋帶輪齒廓是由7段空間曲面連接而成。本文根據(jù)新型人字齒同步帶與帶輪傳動嚙合關(guān)系建立帶輪加工刀具齒面空間模型，研究刀具曲面Σ2與帶輪曲面Σ1之間共軛條件、瞬時嚙合線形成、包絡(luò)齒廓曲面Σ1的根切界限函數(shù)、工具面Σ2上嚙合界限函數(shù)計算公式。通過數(shù)值計算分析，研究各空間曲面的瞬時嚙合線形成原理，分析根切界限和嚙合界限條件，為刀具設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 新型人字齒同步帶帶輪刀具齒廓曲面建模Σ2

刀具曲面Σ2模型由法面齒形做螺旋運(yùn)動形成。齒條刀具曲面Σ2與加工帶輪曲面Σ1坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，見圖1。

人字齒同步帶輪滾刀法面齒廓為對稱齒形，齒廓方程建立在法面坐標(biāo)系 σn=［on;xn，yn，zn］中，右側(cè)齒廓由直線ab、頂弧(rp1)bc、側(cè)弧(rp2)cd、根弧(rp3)de組成。各段曲線采用極坐標(biāo)表示，且各圓弧連接點對應(yīng)極坐標(biāo)轉(zhuǎn)角分別為 θb、θc、θd、θe。刀具法面齒廓分段矢量方程為:

式中:(rix，riy)i=1，2，3，表示圓弧曲線bc、cd、de圓心坐標(biāo)。斜齒條固連在端面坐標(biāo)系σ2=［o2;x2，y2，z2］中，原點o2為齒對稱線與節(jié)線交點，齒條空間三維曲面Σ2表達(dá)式為:

式中:β為螺旋角，u為刀具沿z方向距離。將方程(1)代入(2)中，得到刀具齒條在σ2中平面、3段圓弧曲面Σ2參數(shù)方程:

圖1 齒條刀具與加工帶輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.1 Coordinate conversion relationship of hob and pulley

方程(3)中Σ2曲面矢徑r2為關(guān)于u和θ的分片曲面函數(shù)，θ取值區(qū)間不同，對應(yīng)曲面不同。

2 確定刀具曲面Σ2與帶輪曲面Σ1嚙合方程及帶輪曲面Σ1方程

斜齒條刀具曲面Σ2加工帶輪曲面Σ1，如同一對共軛嚙合的空間齒條、齒輪傳動。對于斜齒條刀具與帶輪關(guān)系，采用瞬時回轉(zhuǎn)軸法確定嚙合函數(shù)。共軛接觸面Σ2上的瞬時接觸點的法線應(yīng)當(dāng)通過嚙合軸z，見圖1。在σ2中法線方程為:

式中:曲面 Σ2上nx2、ny2、nz2為法矢n2在坐標(biāo)系 σ2中分量;X2、Y2、Z2分別為法線與嚙合軸的交點X2=0、Y2=r1φ1、Z2=0坐標(biāo)，r1和φ1分別代表帶輪的節(jié)圓半徑和轉(zhuǎn)角。參數(shù)代入式(4)得:

在曲面Σ2上法矢定義:

由式(6)得平面和圓弧段曲面的法矢方程為:

式中:θj中j代表b、c、e;θl中l(wèi)代表c、d及d＇。將式(7)代入式(5)分別得出直線段與3圓弧曲線段瞬時嚙合線統(tǒng)一表達(dá)式為:

利用圖1坐標(biāo)系σ2到坐標(biāo)系σ1的變換關(guān)系，聯(lián)立式(3)和(8)，得帶輪曲面Σ1分片曲面方程，對應(yīng)刀具平面的帶輪曲面方程為:

對應(yīng)刀具圓弧曲線bc的帶輪曲面方程為:

對應(yīng)刀具圓弧曲線cd的帶輪曲面方程為:

對應(yīng)刀具圓弧曲線de的帶輪曲面方程為:

3 確定帶輪曲面Σ1根切界限點和刀具曲面Σ2嚙合界限點

斜齒條刀具加工帶輪時，帶輪曲面Σ1不產(chǎn)生根切點方程為

曲面Σ2與Σ1接觸點的相對運(yùn)動速度v(21)2是齒條以角速度ω(21)2=ω(1)·k2繞瞬時軸Z回轉(zhuǎn)速度:

將(14)代入(13)得根切界限方程為:

或

滿足刀具齒面Σ2參與切削帶輪曲面Σ1嚙合界限點方程是對方程(8)求導(dǎo)得:

刀具曲面Σ2上沒有嚙合界限點曲線，曲面Σ2全部參加加工帶輪曲面Σ1，刀具曲面Σ2建模是合理的。

4 帶輪齒廓曲面加工特性分析

表1提供滾刀法面齒廓的標(biāo)準(zhǔn)齒形參數(shù)，圖2表示加工齒數(shù)Z=34、帶輪寬16 mm、螺旋角30°，當(dāng)φ1=0.1 rad時，帶輪齒廓曲面Σ1和其上形成的瞬時嚙合線。式(8)刀具側(cè)弧段cd，形成瞬時嚙合線方程式:r1φ1-(0.5w-rp2)sinβ-ucosβ=0，與弧極坐標(biāo)轉(zhuǎn)角θ無關(guān)，轉(zhuǎn)角φ1一定，瞬時接觸線是距端面u距離法平面上半徑為rp2的圓弧曲線，刀具的齒頂圓弧bc、齒根圓弧de、齒頂直線段ab形成的瞬時嚙合線是空間曲線。瞬時接觸線延長，在帶輪加工過程中，加工末期切削阻力劇增，引起滾齒機(jī)振動，影響加工精度。根據(jù)上述理論分析制定特殊切削方案，帶輪加工過程得到滿意的結(jié)果。

表1 刀具法面齒形參數(shù)Table 1 Parameters of hob normal tooth profile

圖2 帶輪齒槽曲面與瞬時嚙合線Fig.2 Profile of pulley groove and Instantaneous meshing line

圖3表示不產(chǎn)生根切的最小帶輪齒數(shù)與刀具各段圓弧轉(zhuǎn)角范圍關(guān)系。式(15)影響根切臨界點參數(shù)r1或齒數(shù)z、θ。刀具齒頂圓弧rp1和側(cè)弧rp2在給定的θ范圍內(nèi)，如圖3(a)、(b)沒有產(chǎn)生根切。刀具根圓弧rp3在90°≤θ≤169.6°范圍內(nèi)，如圖3(c)產(chǎn)生根切。對應(yīng)最小齒數(shù)22時，θ=157°。轉(zhuǎn)角達(dá)到最大值 θ=167.6°，不根切齒數(shù)z=253。滿足式(16)條件，意味θ=±90°，產(chǎn)生根切臨界點。在刀具bc弧端點b，de弧端點e是根切臨界點，因是曲線端點對帶輪齒廓無影響。

通過仿真分析，刀具齒根弧rp3形成的變態(tài)漸開線等距曲線為折返線，折點為根切點J，如圖4。隨不根切臨界齒數(shù)增大，根切點J與刀具側(cè)弧與根弧交點的共軛點d逼近。當(dāng)z＜253，根切點J和交點d在帶輪齒側(cè)與帶輪齒頂交點D右上側(cè)，實際加工時，帶輪的實際輪廓曲線為EDC，根切點J和交點d在切削時已經(jīng)切掉，對齒廓無影響。

圖3 不產(chǎn)生根切的最小帶輪齒數(shù)與圓弧轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.3 Relationship of minimum pulley teeth without undercutting and arc angle

圖4 根切點與帶輪齒槽關(guān)系Fig.4 Relationship of undercutting point and pulley groove

5 結(jié)論

基于新型人字齒同步帶傳動機(jī)理，建立加工帶輪滾刀刀具曲面Σ2空間齒廓模型，并對加工過程帶輪形成曲面Σ1特性進(jìn)行計算研究，得出如下結(jié)論:

1)通過對刀具空間齒廓曲面Σ2函數(shù)與嚙合函數(shù)計算，得出刀具齒廓曲面Σ2模型不存在嚙合界限點，且模型建立合理。

2)刀具加工帶輪齒廓曲面Σ1存在2種根切界限點，一是刀具曲面Σ2頂弧b點和根弧e點，但它們是曲線端點，不會產(chǎn)生根切;另一是帶輪齒頂?shù)淖儜B(tài)漸開線等距曲線，存在根切，但實際切削過程中根切點位置被刀具齒側(cè)弧形成曲面切掉。帶輪齒面產(chǎn)生“棱線D”，齒數(shù)越小，越明顯。消除棱線方法對刀具進(jìn)行修形設(shè)計。

3)刀具齒側(cè)弧加工帶輪形成的共軛瞬時嚙合線為該法面半徑相等的圓弧，刀具齒廓其他曲線部分形成的瞬時嚙合線越遠(yuǎn)離法平面空間曲線且延長曲折，瞬時接觸線越長，切削阻力越大，易引起機(jī)床振動?；谏鲜隼碚撗芯?，實際加工過程中通過控制滾刀參與切削的齒數(shù)，可降低切削阻力并保證帶輪加工質(zhì)量。

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